重难点突破11 四边形压轴综合（17种题型）（原卷版）

重难点突破11 四边形压轴综合（17 种题型） 目 录 题型01 利用特殊四边的性质与判定解决多结论问题 题型02 利用特殊四边的性质与判定解决新定义问题 题型03 利用特殊四边的性质与判定解决规律探究 题型04 根据图象运动判断函数关系 题型05 四边形中的动点问题 题型06 四边形折叠与旋转中的角度问题 题型07 四边形折叠与旋转中的线段长度问题 题型08 四边形折叠与旋转中的坐标问题 题型09 四边形折叠与旋转中的周长和面积问题 题型10 四边形折叠与旋转中的最值问题 题型11 四边形中的线段最值问题 题型12 探究四边形中线段存在的数量关系 题型13 探究四边形中线段存在的位置关系 题型14 探究四边形与反比例函数综合运用 题型15 探究四边形与二次函数综合运用 题型16 探究四边形与三角形综合运用 题型17 探究四边形与圆综合运用 题型01 利用特殊四边的性质与判定解决多结论问题 1．（2022·山东东营·统考中考真题）如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC 、BD相交于点，点 M，分别是边BC 、CD上的动点，∠BAC=∠MAN=60°，连接MN 、OM以下四个结论正确的是 （ ） ①△AMN是等边三角形；②MN的最小值是❑ √3；③当MN最小时S△CMN=1 8 S 菱形ABCD；④当OM ⊥BC 时，O A 2=DN ⋅AB ．①②③ B．①②④ ．①③④ D．①②③④ 2．（2020·内蒙古·中考真题）如图，在Rt △ABC中，∠ACB=90°，BC> AC，按以下步骤作图： （1）分别以点A ,B为圆心，以大于1 2 AB的长为半径作弧，两弧相交于M , N两点（点M 在AB的上方）； （2）作直线MN交AB于点，交BC于点D；（3）用圆规在射线OM上截取OE=OD．连接AD , AE ,BE， 过点作OF ⊥AC，垂足为F，交AD于点G．下列结论：①CD=2GF；②B D 2−C D 2=A C 2；③ S△BOE=2S△AOG；④若AC=6,OF+OA=9，则四边形ADBE的周长为25．其中正确的结论有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 3．（2023·山东日照·统考中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P 在对角线BD上，过 点P 作MN ⊥BD，交边AD，BC于点M，，过点M 作ME⊥AD交BD于点E，连接EN ，BM ，DN． 下列结论：①EM=EN；②四边形MBND的面积不变；③当AM : MD=1:2时，S△MPE=96 25 ；④ BM +MN +ND的最小值是20．其中所有正确结论的序号是 ． 4．（2022·黑龙江大庆·统考中考真题）如图，正方形ABCD中，点E，F 分别是边AB ,BC上的两个动点， 且正方形ABCD的周长是△BEF周长的2 倍，连接DE , DF分别与对角线AC交于点M，．给出如下几个 结论：①若AE=2,CF=3，则EF=4；②∠EFN +∠EMN=180°；③若AM=2,CN=3，则MN=4； ④若MN AM =2,BE=3，则EF=4．其中正确结论的序号为 ． 5．（2022·广西玉林·统考中考真题）如图，点在双曲线y= k x (k>0, x>0)上，点B 在直线 y=mx−2b(m>0,b>0)上，与B 关于x 轴对称，直线l 与y 轴交于点，当四边形AOCB是菱形时，有以 下结论：①A(b,❑ √3b) ②当b=2时，k=4 ❑ √3③m= ❑ √3 3 ④S四边形AOCB=2b 2 则所有正确结论的序号 是 ． 6．（2022·四川达州·统考中考真题）如图，在边长为2 的正方形ABCD中，点E，F 分别为AD，CD边上 的动点（不与端点重合），连接BE，BF，分别交对角线AC于点P，Q．点E，F 在运动过程中，始终保 持∠EBF=45°，连接EF，PF，PD．以下结论：①PB=PD；②∠EFD=2∠FBC；③ PQ=PA+CQ；④△BPF为等腰直角三角形；⑤若过点B 作BH ⊥EF，垂足为，连接DH，则DH的最 小值为2❑ √2−2．其中所有正确结论的序号是 ． 题型02 利用特殊四边的性质与判定解决新定义问题 7．（2021·湖南岳阳·统考中考真题）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互 异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A (0,2)，点C (2,0)，则互异二次函数y=(x−m) 2−m与正方 形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（ ） ．4，-1 B．5−❑ √17 2 ，-1 ．4，0 D．5+❑ √17 2 ，-1 8．（2023·江苏·统考中考真题）综合与实践 定义：将宽与长的比值为 ❑ √2 2n+1−1 2 n （n为正整数）的矩形称为n阶奇妙矩形． （1）概念理解： 当n=1时，这个矩形为1 阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（AD）与长 (CD )的比值是_________． （2）操作验证： 用正方形纸片ABCD进行如下操作（如图（2））： 第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为EF，连接CE； 第二步：折叠纸片使CD落在CE上，点D的对应点为点H，展开，折痕为CG； 第三步：过点G折叠纸片，使得点A 、B分别落在边AD 、BC上，展开，折痕为GK． 试说明：矩形GDCK是1 阶奇妙矩形． （3）方法迁移： 用正方形纸片ABCD折叠出一个2 阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注． （4）探究发现： 小明操作发现任一个n阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点E为正方形ABCD边 AB上（不与端点重合）任意一点，连接CE，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形AGHE的周长 与矩形GDCK的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由． 9．（2023·浙江宁波·统考中考真题）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为 邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角． (1)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC ,∠A=90°，对角线BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD为 邻等四边形． (2)如图2，在6×5 的方格纸中，，B，三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符合 条件的格点D． (3)如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB=∠ABC=90°，∠BCD为邻等角，连接AC，过B 作 BE∥AC交DA的延长线于点E．若AC=8, DE=10，求四边形EBCD的周长． 10．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，P(a,b)是第一象限内一点，给出如下定义： k1=a b 和k2=b a两个值中的最大值叫做点P 的“倾斜系数”k． (1)求点P(6,2)的“倾斜系数”k 的值； (2)①若点P(a,b)的“倾斜系数”k=2，请写出和b 的数量关系，并说明理由； ②若点P(a,b)的“倾斜系数”k=2，且a+b=3，求P 的长； (3)如图，边长为2 的正方形BD 沿直线：y=x运动，P(a,b)是正方形BD 上任意一点，且点P 的“倾斜 系数”k<❑ √3，请直接写出的取值范围． 11．（2020·湖南益阳·统考中考真题）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹 角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下 列问题： （1）如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将ΔBCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对 应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？ （2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB=BC=5，CD=1，AD> AB，点B到直线 AD的距离为BE． ①求BE的长． ②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求ΔMNC周长的最小值． 题型03 利用特殊四边的性质与判定解决规律探究 12．（2022·山东烟台·统考中考真题）如图，正方形BD 边长为1，以为边作第2 个正方形EF，再以F 为边 作第3 个正方形FG，…，按照这样的规律作下去，第6 个正方形的边长为（ ） ．（2❑ √2）5 B．（2❑ √2）6 ．（❑ √2）5 D．（❑ √2）6 13．（2022·贵州安顺·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将边长为2 的正六边形OABCDE绕点 O顺时针旋转n个45°，得到正六边形O An BnCn Dn En，当n=2022时，正六边形O An BnCn Dn En的顶点 Dn的坐标是（ ） ．(−❑ √3,−3) B．(−3,−❑ √3) ．(3,−❑ √3) D．(−❑ √3,3) 14．（2022·辽宁·统考中考真题）如图，A1为射线ON上一点，B1为射线OM上一点， ∠B1 A1O=60° ,O A1=3,B1 A1=1．以B1 A1为边在其右侧作菱形A1B1C1 D1，且 ∠B1 A1 D1=60° ,C1 D1与射线OM交于点B2，得△C1B1B2；延长B2 D1交射线ON于点A2，以B2 A2为 边在其右侧作菱形A2B2C2 D2，且∠B2 A2 D2=60° ,C2 D2与射线OM交于点B3，得△C2B2B3；延长 B3 D2交射线ON于点A3，以B3 A3为边在其右侧作菱形A3 B3C3 D3，且∠B3 A3 D3=60° ,C3 D3与射线 OM交于点B4，得△C3 B3 B4；…，按此规律进行下去，则△C2022B2022B2023的面积 ． 题型04 根据图象运动判断函数关系 15．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点在y 轴的正半轴上， 顶点B、在x 轴的正半轴上，D (2,❑ √3)，P (−1,−1)．点M 在菱形的边AD和DC上运动（不与点，重合）， 过点M 作MN ∥y轴，与菱形的另一边交于点，连接PM，PN，设点M 的横坐标为x，△PMN的面积为 y，则下列图象能正确反映y 与x 之间函数关系的是（ ） ． B． ． D． 16．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC ,BD交于点，AB=4， BC=4 ❑ √3，垂直于BC的直线MN从AB出发，沿BC方向以每秒❑ √3个单位长度的速度平移，当直线MN 与CD重合时停止运动，运动过程中MN分别交矩形的对角线AC ,BD于点E，F，以EF为边在MN左侧作 正方形EFGH，设正方形EFGH与△AOB重叠部分的面积为S，直线MN的运动时间为ts，则下列图象能 大致反映S 与t 之间函数关系的是（ ） ． B． ． D． 17．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，点P 为线段 AB上的动点，以每秒1 个单位长度的速度从点向点B 移动，到达点B 时停止．过点P 作PM ⊥AC于点 M、作PN ⊥BC于点，连接MN，线段MN的长度y 与点P 的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则 函数图象最低点E 的坐标为（ ） ．(5，5) B．(6, 24 5 ) ．( 32 5 , 24 5 ) D．( 32 5 ,5) 18．（2022·辽宁锦州·统考中考真题）如图，四边形ABCD是边长为2cm的正方形，点E，点F 分别为边 AD，CD中点，点为正方形的中心，连接OE ,OF，点P 从点E 出发沿E−O−F运动，同时点Q 从点B 出发沿BC运动，两点运动速度均为1cm/s，当点P 运动到点F 时，两点同时停止运动，设运动时间为t s， 连接BP , PQ，△BPQ的面积为S cm 2，下列图像能正确反映出S 与t 的函数关系的是（ ） ． B． ． D． 19．（2021·湖南郴州·统考中考真题）如图，在边长为4 的菱形ABCD中，∠A=60°．点P从点A出发， 沿路线A →B→C →D运动．设P点经过的路程为x，以点A，D，P为顶点的三角形的面积为y，则下列 图象能反映y与x的函数关系的是（ ） ． B． ． D． 题型05 四边形中的动点问题 20．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）在平行四边形ABCD中（顶点A ,B ,C , D按逆时针方向排列）， AB=12, AD=10,∠B为锐角，且sin B= 4 5 ． (1)如图1，求AB边上的高CH的长． (2)P是边AB上的一动点，点C , D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C ' , D '． ①如图2，当点C '落在射线CA上时，求BP的长． ②当△A C ' D '是直角三角形时，求BP的长． 21．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图①．在矩形ABCD．AB=3，AD=5，点E在边BC上，且 BE=2．动点P从点E出发，沿折线EB−BA−AD以每秒1个单位长度的速度运动，作∠PEQ=90°， EQ交边AD或边DC于点Q，连续PQ．当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为t秒．（ t>0） (1)当点P和点B重合时，线段PQ的长为__________； (2)当点Q和点D重合时，求tan∠PQE； (3)当点P在边AD上运动时，△PQE的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由； (4)作点E关于直线PQ的对称点F，连接PF、QF，当四边形EPFQ和矩形ABCD重叠部分图形为轴对称 四边形时，直接写出t的取值范围． 22．（2023·山东济南·统考中考真题）在矩形ABCD中，AB=2，AD=2❑ √3，点E在边BC上，将射线 AE绕点A逆时针旋转90°，交CD延长线于点G，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG． (1)如图1，连接BD，求∠BDC的度数和DG BE 的值； (2)如图2，当点F在射线BD上时，求线段BE的长； (3)如图3，当EA=EC时，在平面内有一动点P，满足PE=EF，连接PA，PC，求PA+PC的最小值． 23．（2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠A=60°，点Q为CD的 中点，P为线段AB上的动点，现将四边形PBCQ沿PQ翻折得到四边形P B 'C 'Q． (1)当∠QPB=45°时，求四边形B B 'C 'C的面积； (2)当点P在线段AB上移动时，设BP=x，四边形B B 'C 'C的面积为S，求S关于x的函数表达式． 24．（2023·山东滨州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一边OC在x轴正半轴上， 顶点A的坐标为(2,2❑ √3)，点D是边OC上的动点，过点D作DE ⊥ OB交边OA于点E，作DF ∥OB交边 BC于点F，连接EF．设OD=x , △≝¿的面积为S． (1)求S关于x的函数解析式； (2)当x取何值时，S的值最大？请求出最大值． 25．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，E 是边AD上一动点（不与点，D 重合）． 边BC关于BE对称的线段为BF，连接AF． (1)若∠ABE=15°，求证：△ABF是等边三角形； (2)延长FA，交射线BE于点G； ①△BGF能否为等腰三角形？如果能，求此时∠ABE的度数；如果不能，请说明理由； ②若AB=❑ √3+❑ √6，求△BGF面积的最大值，并求此时AE的长． 26．（2023·吉林·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB=4 cm，点O是对角线AC的中点，动点 P，Q分别从点A，B同时出发，点P以1cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动，点Q以2cm/s的速度沿折 线BC−CD向终点D匀速运动．连接PO并延长交边CD于点M，连接QO并延长交折线DA−AB于点N， 连接PQ，QM，MN，NP，得到四边形PQMN．设点P的运动时间为x（s）（0<x<4），四边形 PQMN的面积为y（cm 2） (1)BP的长为__________cm，CM的长为_________cm．（用含x 的代数式表示） (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (3)当四边形PQMN是轴对称图形时，直接写出x的值． 题型06 四边形折叠与旋转中的角度问题 27．（2023·湖北恩施·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，将矩形ABCD沿BE所 在的直线折叠，C ，D的对应点分别为C '，D '，连接A D '交BC '于点F． (1)若∠DE D '=70°，求∠DA D '的度数； (2)连接EF，试判断四边形C ' D ' EF的形状，并说明理由． 28．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展 数学活动，有一位同学操作过程如下： 操作一：对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平； 操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点落在正方形内部点M 处，把纸片展平，连接PM、BM，延 长PM交CD于点Q，连接BQ． (1)如图1，当点M 在EF上时，∠EMB=¿___________度； (2)改变点P 在AD上的位置（点P 不与点，D 重合）如图2，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明 理由． 29．（2023·湖北·统考中考真题）如图，将边长为3 的正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落 在边AD上（点M不与点A , D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，折痕分别与边AB，CD交 于点E , F，连接BM． (1)求证：∠AMB=∠BMP； (2)若DP=1，求MD的长． 30．（2023·辽宁大连·统考中考真题）综合与实践 问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质． 已知AB=AC ,∠A>90°，点E为AC上一动点，将△ABE以BE为对称轴翻折．同学们经过思考后进行 如下探究： 独立思考：小明：“当点D落在BC上时，∠EDC=2∠ACB．” 小红：“若点E为AC中点，给出AC与DC的长，就可求出BE的长．” 实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答： 问题1：在等腰△ABC中，AB=AC ,∠A>90° , △BDE由△ABE翻折得到． （1）如图1，当点D落在BC上时，求证：∠EDC=2∠ACB； （2）如图2，若点E为AC中点，AC=4 ,CD=3，求BE的长． 问题解决：小明经过探究发现：若将问题1 中的等腰三角形换成∠A<90°的等腰三角形，可以将问题进 一步拓展． 问题2：如图3，在等腰△ABC中，∠A<90° , AB=AC=BD=4,2∠D=∠ABD．若CD=1