专题54 一次函数中的45°角问题（解析版）(1)

【例1】．如图，在平面直角坐标系中，点（12，0），点B（0，4），点P 是直线y＝﹣x 1 ﹣上一点，且∠BP＝45°，则点P 的坐标为 （ 5 ，﹣ 6 ） ． 解：如图所示， 将线段B 绕点B 顺时针旋转90°得到线段B，则点的坐标为（﹣4，﹣8）， 由于旋转可知，△B 为等腰直角三角形，令线段和线段BP 交于点M，则M 为线段的中 点， 所以点M 的坐标为（4，﹣4），又B 为（0，4），设直线BP 为y＝kx+b，将点B 和点 M 代入可得 ， 解得k＝﹣2，b＝4，可得直线BP 为y＝﹣2x+4，由于点P 为直线BP 和直线y＝﹣x 1 ﹣ 的交点， 例题精讲 则由 解得 ，所以点P 的坐标为（5，﹣6）， 故答为（5，﹣6）． 变式训练 【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+4 的图象与x 轴、y 轴分别交 于点、B 将直线B 绕点B 顺时针旋转45°，交x 轴于点，则直线B 的函数表达式为 y ＝ 3 x +4 ． 解：∵一次函数y＝﹣2x+4 的图象与x 轴、y 轴分别交于点、B， ∴令x＝0，得y＝4，令y＝0，则x＝2， ∴（2，0），B（0，4）， ∴＝2，B＝4， 过作F⊥B 交B 于F，过F 作FE⊥x 轴于E， ∵∠B＝45°， ∴△BF 是等腰直角三角形， ∴B＝F， ∵∠B+∠B＝∠B+∠EF＝90°， ∴∠B＝∠EF， 在△B 和△FE 中 ， ∴△B≌△FE（S）， ∴E＝B＝4，EF＝＝2， ∴F（﹣2，﹣2）， 设直线B 的函数表达式为：y＝kx+4， 把F 的坐标代入得，﹣2＝﹣2k+4， 解得k＝3， ∴直线B 的函数表达式为：y＝3x+4， 故答为：y＝3x+4． 【变1-2】．如图，已知点：（2，﹣5）在直线l1：y＝2x+b 上，l1和l2：y＝kx 1 ﹣的图象 交于点B，且点B 的横坐标为8，将直线l1绕点逆时针旋转45°与直线l2，相交于点Q， 则点Q 的坐标为 （ ，﹣ ） ． 解：过Q 作QE⊥Q 交B 于E，过Q 作FG∥y 轴，过作F⊥FG 于F，过E 作EG⊥FG 于 G， 将点的坐标代入y＝2x+b 中，得﹣5＝2×2+b， 解得：b＝﹣9， ∴直线l1的解析式为y＝2x 9 ﹣， 将x＝8 代入y＝2x 9 ﹣中， 解得：y＝7， ∴点B 的坐标为（8，7）， 将点B 的坐标代入y＝kx 1 ﹣中，得 7＝8k 1 ﹣， 解得：k＝1， ∴直线l2的解析式为y＝x 1 ﹣， ∵∠G＝∠F＝∠EQ＝90°， ∴∠EQG+∠QF＝90°，∠QF+∠QF＝90°， ∴∠EQG＝∠QF， ∵∠EQ＝90°，∠QE＝45°， ∴△QE 是等腰直角三角形， ∴EQ＝Q， 在△EGQ 和△QF 中， ， ∴△EGQ≌△QF（S）， ∴EG＝QF，QG＝F， 设Q（，﹣1）， ∵（2，﹣5）， ∴F＝2﹣，FQ＝+4，GE＝+4，QG＝2﹣， ∴点E 坐标（2+4，1）， 把E（2+4，1）代入y＝2x 9 ﹣中， 得4+8 9 ﹣＝1，解得：＝ ， ∴点Q 的坐标为（ ，﹣ ）． 故答为：（ ，﹣ ）． 【例2】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x+4 的图象分别与x 轴，y 轴相交于， B 两点．将直线B 绕点逆时针旋转45°后，与y 轴交于点，则点的坐标为 （ 0 ，﹣ 6 ） ． 解：一次函数y＝2x+4 的图象分别与x 轴，y 轴相交于，B 两点． ∴（﹣2，0），B（0，4）， ∴＝2，B＝4， 作DB⊥B 交直线于D，过点D 作DE⊥y 轴与E， ∵∠BD＝45°， ∴△BD 是等腰直角三角形， ∴B＝DB， ∵∠B+∠B＝∠B+∠DBE＝90°， ∴∠B＝∠DBE， 在△B 和△BDE 中 ， ∴△B≌△BDE（S）， ∴BE＝＝2，DE＝B＝4， ∴D（﹣4，6）， 设直线的函数表达式为：y＝kx+4， 把、D 的坐标代入得 ， 解得 ， ∴直线的函数表达式为：y＝﹣3x 6 ﹣， ∴点的坐标为（0，﹣6）． 故答为：（0，﹣6）． 变式训练 【变2-1】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x 2 ﹣的图象分别交x、y 轴于点、 B，直线B 与x 轴正半轴交于点，若∠B＝45°，则直线B 的函数表达式是（ ） ．y＝3x 2 ﹣ B．y＝ x 2 ﹣ ．y＝ x 2 ﹣ D．y＝﹣ x 2 ﹣ 解：∵一次函数y＝2x 2 ﹣的图象分别交x、y 轴于点、B， ∴令x＝0，得y＝﹣2，令y＝0，则x＝1， ∴（1，0），B（0，﹣2）， ∴＝1，B＝2， 如图，过作F⊥B 交B 于F，过F 作FE⊥x 轴于E， ∵∠B＝45°， ∴△BF 是等腰直角三角形， ∴B＝F， ∵∠B+∠B＝∠B+∠EF＝90°， ∴∠B＝∠EF， ∴△B≌△FE（S）， ∴E＝B＝2，EF＝＝1， ∴F（3，﹣1）， 设直线B 的函数表达式为：y＝kx+b， ， ∴ ， ∴直线B 的函数表达式为：y＝ x 2 ﹣， 故选：B． 【变2-2】．如图，一次函数y＝2x+b 的图象经过点M（1，3），且与x 轴，y 轴分别交于， B 两点． （1）填空：b＝ 1 ； （2）将该直线绕点顺时针旋转45°至直线l，过点B 作B⊥B 交直线l 于点，求点的坐标 及直线l 的函数表达式． 解：（1）∵一次函数y＝2x+b 的图象经过点M（1，3）， 3 ∴＝2+b， 解得b＝1， 故答为1； （2）∵一次函数y＝2x+1 的图象与x 轴，y 轴分别交于，B 两点． ∴（﹣ ，0），B（0，1）， ∴＝ ，B＝1， 作D⊥y 轴于D， ∵∠B＝45°，B⊥B， ∴∠B＝45°， ∴B＝B， ∵∠B+∠B＝90°＝∠B+∠BD， ∴∠B＝∠BD， 在△B 和△BD 中， ， ∴△B≌△BD（S）， ∴BD＝＝ ，D＝B＝1， ∴D＝B﹣BD＝ ， ∴（1， ）， 设直线l 的解析式为y＝mx+， 把（﹣ ，0），（1， ）代入得 ，解得 ， ∴直线l 的解析式为y＝ x+ ． 1．如图，直线y＝ x+1 与坐标轴交于、B 两点，点在x 轴上，若∠B+∠＝45°，则点的坐 标为 （﹣ 2 ， 0 ）（ 2 ， 0 ） ． 解：∵直线y＝ x+1 与坐标轴交于、B 两点 ∴当x＝0 时，y＝1；当y＝0 时，x＝﹣3 ∴点（0，1），点B（﹣3，0） 如图：取点D（﹣1，0）， 当点在原点右边，设点（，0） ∵点（0，1），点D（﹣1，0），点B（﹣3，0） ∴＝D＝1，B＝3，BD＝2 ∴∠D＝∠D＝45°，B＝ ＝ ∴∠B+∠BD＝45° 又∵∠B+∠＝45° ∴∠＝∠BD，且∠B＝∠B ∴△BD∽△B ∴ 即 ∴＝2 ∴点坐标为（2，0） 若点在原点左边，记为点1， ∵∠B+∠＝45°，∠B+∠1＝45° ∴∠＝∠1且∠＝∠B＝90°，＝ ∴△△ ≌ 1（S） ∴＝1＝2 ∴点1（﹣2，0） 故答为：（2，0），（﹣2，0） 2．如图，在平面直角坐标系xy 中，直线y＝﹣x+m（m≠0）分别交x 轴，y 轴于，B 两点， 已知点（2，0）．设点P 为线段B 的中点，连接P，P，若∠P＝45°，则m 的值是 12 ． 解：作D＝＝2，连接D．则∠PD＝45°，如图， 由y＝﹣x+m 可得（m，0），B（0，m）． ∴＝B， ∴∠B＝∠B＝45°． 当m＜0 时，∠P＞∠B＝45°， 所以，此时∠P＞45°，故不合题意． ∴m＞0． ∵∠P＝∠B＝45°， ∴∠BP+∠P＝∠BP+∠BP＝135°，即∠P＝∠BP， ∴△PD∽△PB， ∴ ，即 ＝ ， 解得m＝12． 故答是：12． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线B 的解析式为y＝﹣ x+3．点是上一点且＝1，点D 在线段B 上，分别连接B，D 交于点E，若∠BED＝45°，则D 的长是 ． 解：方法一： 在x 轴负半轴截取F＝ ， 过点F 作F⊥F 交D 的延长线于点，过点作P⊥x 轴于点P， ∵：B＝1：4，F：＝ ÷3＝1：4， ∴将△B 逆时针旋转90°时，再将点B 平移到与点重合时，此时的∠F 和∠B 重合， ∴∠F＝∠B， ∵F⊥F， ∴∠F+∠FP＝90°， 而∠F+∠F＝90°， ∴∠F＝∠FP＝∠B， ∴B∥F， ∴∠F＝∠BED＝45°， ∴△F 为等腰直角三角形， ∴F＝F， 而∠F＝∠FP，∠FP＝∠F， ∴△F≌△FP（S）， ∴PF＝＝3，P＝F＝ ， 故P＝FP﹣F＝3﹣ ＝ ， 故点（ ，﹣ ）， 设直线的表达式为y＝kx+b， 则 ，解得 ， 故直线的表达式为y＝﹣ x+3， 令y＝0，则y＝﹣ x+3＝0， 解得：x＝ ， 故点D（ ，0）， 故D＝ ， 故答为 ． 方法二：过点作x 轴的平行线M，交过点E 与y 轴的平行线于点M，交过点F 与y 轴的 平行线于点， 由点B、的坐标得，直线B 的表达式为y＝﹣ x+1， 同理可证：△EM≌△F（S）， 则＝ME＝3+ m 1 ﹣＝ m+2，F＝M＝m， 则点F 的坐标为（﹣ m 2 ﹣，3﹣m）， 将点F 的坐标代入直线B 的表达式并解得m＝ ， 故点E 的坐标为（ ， ）， 由点、E 的坐标得，直线E 的表达式为y＝﹣ x+3， 令y＝﹣ x+3＝0，解得x＝ ， 故D＝ ， 故答为 ． 4．如图，直线y＝4x+4 交x 轴于点，交y 轴于点B，直线B：y＝﹣x+4 交x 轴于点，点P 为线段B 上一点，∠PB＝45°，求点P 的坐标． 解：由题可得（﹣1，0），B（0，4），（4，0）， 设P（m，4﹣m）， 过点P 做PD⊥B， ∴B＝ ，＝5， △B 的面积＝ ＝ + × ×PD， ∴PD＝ m， ∵∠PB＝45°， ∴P＝ m， ∴（ m）2＝（4﹣m）2+（m+1）2， ∴m＝ ， ∴P（ ， ）； 5．如图，正比例函数y＝kx 经过点，点在第二象限，过点作⊥y 轴于点，＝2，且△的面积 为5． （1）求正比例函数的解析式； （2）若直线y＝x 上有一点B 满足∠B＝45°，且B＝B，求的值． 解：（1）∵⊥y 轴． ∴∠＝90° ∵△的面积为5， ∴S△＝ •＝5， 又∵＝2， ∴＝5． ∴（﹣2，5）， 将点（﹣2，5）代入y＝kx，解得k＝﹣ ， ∴正比例函数的解析式为y＝﹣ x； （2）①当点B 在第二象限时，如图， ∵∠B＝45°，且B＝B， ∴△B 是等腰直角三角形． ∴∠B＝90°， ∴∠BF+∠EB＝90°， 如图，过B 作BE⊥x 轴于E，交延长线于点F． ∵∠FE＝∠E＝∠＝90°， ∴四边形FE 是矩形，∠FB＝90°， ∴∠BF+∠FB＝90°， ∴∠EB＝∠FB， ∴△EB≌△FB（S）． ∴BE＝F，E＝FB． 又∵＝FE＝FB+BE＝5， ＝F﹣F＝2， ∴E+BE＝5，E﹣BE＝2， 解得：E＝ ，BE＝ ． ∴B（﹣ ， ）， 将B（﹣ ， ）代入y＝x，解得＝﹣ ． ∴＝﹣ ． ②当点B 在第一象限时，B1＝B，过点作B1⊥B，则∠B1＝45°，如图所示， 过点B1作B1G⊥x 轴于点G，则∠B1G＝∠BE＝90°， 又∵∠B1B＝90°， ∴∠B1G+∠BE＝90°， ∵∠BE+∠BE＝90°， ∴∠BE＝∠B1G， ∴△BE≌△B1G（S）， ∴E＝B1G＝ ，BE＝G＝ ， ∴B1（ ， ）， 将B1（ ， ）代入y＝1x，解得1＝ ． 综上，的值为﹣ 或 ． 6．如图，在平面直角坐标系中，、B、为坐标轴上的三个点，且＝B＝＝6，过点的直线D 交直线B 于点D，交y 轴于点E，△BD 的面积为18． （1）求点D 的坐标． （2）求直线D 的表达式及点E 的坐标． （3）过点作F⊥D，交直线B 于点F，求点F 的坐标． 解：（1）由题可得，B（6，0），（0，6）， 设B 为y＝kx+b（k≠0），则 ，解得 ， ∴B 的解析式为y＝﹣x+6， ∵＝B＝6， ∴B＝12， ∵△BD 的面积为18， ∴ 12×yD＝18， 解得yD＝3， 当y＝3 时，3＝﹣x+6， 解得x＝3， ∴点D 的坐标为（3，3）． （2）由题可得，（﹣6，0）， 设直线D 的表达式为y＝mx+（m≠0），则 ，解得 ， ∴直线D 的表达式为y＝ x+2， 令x＝2，则y＝2， ∴点E 的坐标为（0，2）． （3）∵F⊥D，⊥B， ∴∠F+∠F＝90°，∠E+∠F＝90°， ∴∠F＝∠E， 在△E 和△F 中， ， ∴△E≌△F（S）， ∴F＝E＝2， ∴F（2，0）． 7．如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线y＝﹣ x+3 分别交x、y 轴于点 B、． （1）如图1，点是直线B 上不同于点B 的点，且＝B．则点的坐标为 （﹣ 4 ， 6 ） ； （2）点是直线B 外一点，满足∠B＝45°，求出直线的解析式； （3）如图3，点D 是线段B 上一点，将△D 沿直线D 翻折，点落在线段B 上的点E 处， 点M 在射线DE 上，在x 轴的正半轴上是否存在点，使以M、、、B 为顶点的四边形是 平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）如图1，直线y＝﹣ x+3，当x＝0 时，y＝3；当y＝0 时，由﹣ x+3＝0，得 x＝4， ∴（0，3），B（4，0）； ∵＝B，且点不同于点B， ∴点是线段B 的中点，即点与点B 关于点对称， ∴点的横坐标为﹣4， 当x＝﹣4 时，y＝﹣ ×（﹣4）+3＝6， ∴（﹣4，6）， 故答为：（﹣4，6）． （2）如图2，射线在直线B 的上方，射线′在直线B 的下方，∠B＝∠B′＝45°； 作线段B 的垂直平分线交于点G，交′于点，交B 于点Q，连接BG、B，则Q（2， ）； 作GP⊥y 轴于点P，GF⊥x 轴于点F，则G＝BG，＝B， ∵BG＝G，B＝， ∴∠GB＝∠B＝45°，∠B＝∠B′＝45°， ∴∠BG＝∠G＝∠B＝90°， ∴四边形BG 是正方形； ∵∠GB+∠B＝180°， ∴∠GBF+∠G＝180°， ∵∠GP+∠G＝180°， ∴∠GBF＝∠GP， ∵∠GFB＝∠GP＝90°， ∴△GBF≌△GP（S）， ∴BF＝P，GF＝GP， ∵∠FP＝∠PG＝∠GF＝90°， ∴四边形FGP 是正方形， ∴F＝P， ∵B＝4，＝3， 4 ∴﹣BF＝3+P， 4 ∴﹣P＝3+P， 解得P＝ ， ∴P＝F＝3+ ＝ ， ∴G（ ， ）； ∵点与点G 关于点Q（2， ）对称， ∴（ ， ）； 设直线的解析式为y＝kx+b， 则 ，解得 ， ∴y＝ x+3； 设直线′的解析式为y＝mx+， 则 ，解得 ， ∴y＝﹣7x+3， 综上所述，直线的解析式为y＝ x+3 或y＝﹣7x+3． （3）存在，如图3，平行四边形MB 以B 为对角线， 延长ED 交y 轴于点R，设D＝r， 由折叠得，∠ED＝∠D＝90°，ED＝D， ∴ED＝r，ED⊥B； ∵B＝ ＝5，E＝＝3， ∴BE＝5 3 ﹣＝2， ∵S△B＝ ×3×4＝6，且S△D+S△BD＝S△B， ∴ ×3r+ ×5r＝6， 解得r＝ ， ∴ED＝D＝ ， ∴D（ ，0）； ∵∠DR＝∠DEB＝90°，∠DR＝∠EDB， ∴△DR≌△EDB（S）， ∴R＝BE＝2， ∴R（0，﹣2）， 设直线DE 的解析式为y＝px 2 ﹣， 则 p 2 ﹣＝0，解得p＝ ， ∴y＝ x 2 ﹣； ∵点在x 轴上，且M∥B， ∴M∥x 轴， ∴点M 与点的纵坐标相等，都等于3， 当y＝3 时，由 x 2 ﹣＝3，得x＝ ， ∴M（ ，3）， ∵B＝M＝ ， ∴＝4﹣ ＝ ， ∴（ ，0）； 如图4，平行四边形BM 以B 为一边，则M∥x 轴，且M＝B＝ ． ∵＝4+ ＝ ， ∴（ ，0）， 综上所述，点的坐标为（ ，0）或（ ，0）． 8．直角坐标系中，点的坐标为（9，4），B⊥x 轴于点B，垂直y 轴于点，点D 为x 轴上的 一个动点，若D＝2 ． （1）直接写出点D 的坐标； （2）翻折四边形B，使点与点D 重合，直接写出折痕所在直线的解析式； （3）在线段B 上找点E 使∠DE＝45°． ①直接写出点E 的坐标； ②点M 在线段上，点在线段E 上，直接写出当△EM 是等腰三角形且△M 是直角三角形 时点M 的坐标． 解：（1）如图1， ∵点的坐标为（9，4），⊥y 轴于点， ∴＝4， ∵点D 为x 轴上的一个动点，D＝2 ， 由勾股定理得：D＝ ＝ ＝2， ∴D（2，0）或（﹣2，0）； （2）分两种情况： ①当D（2，0）时，如图2，连接ED， 设ED＝x， 由翻折得D⊥EF，E＝ED＝x， ∴E＝4﹣x， Rt△ED 中，由勾股定理得：x2＝22+（4﹣x）2， 解得：x＝ ， ∴E＝4﹣ ＝ ， ∵∠D+∠EF＝∠D+∠D＝90°， ∴∠EF＝∠D， ∵∠EF＝∠D＝90°， ∴△FE∽△D， ∴ ，即 ， ∴F＝5， ∴F（5，4）， 设直线EF 的解析式为：y＝kx+b， 则 ，解得 ， ∴直线EF 的解析式为：y＝ ； ②当D（﹣2，0）时，如图3，连接ED， 同理得：E（0， ）， ∵△D∽△EF， ∴ ＝ ， ∴F＝2E＝3， ∴F（3，0）， 同理得EF：y＝﹣ x+ ， 综上，折痕所在直线的解析式是y＝ 或y＝﹣ x+ ； （3）①当D（2，0）时，如图4，过E 作EF⊥D，交D 的延长线于F，过F 作F⊥y 轴 于，延长B，F 交于点G， ∵∠DE＝45°， ∴△FE 是等腰直角三角形， ∴F＝EF， ∵∠F+∠F＝∠F+∠EFG＝90°， ∴∠F＝∠EFG， ∵∠F＝∠FGE＝90°， ∴△F≌△FGE（S）， ∴＝FG， ∵D∥F， ∴ ，即 ， ∴ ， 设F＝，则＝FG＝2， ∵G＝B＝9， 即2+＝9， ∴＝3， ∴F＝ ＝3 ， ∴E＝ F＝3 ， Rt△E 中，E＝ ＝ ＝3， ∴BE＝4 3 ﹣＝1， ∴E（9，1）； 当D（﹣2，0）时，如图5，∠DB＞90°，此种情况不存在符合条件的点E， 综上，点E 的坐标是（9，1）； ②）当∠M＝90°，M＝E 时，如图6， 由①知：E＝3， ∵M∥E， ∴ ，即 ， ∴ ， 设M＝b，则M＝3b，E＝b， ∴＝ b， ∵E＝3 ， 3 ∴ ＝b+ b， 解得：b＝ ， ∴M＝3b＝10