模型29 圆内最大张角之米勒角问题（原卷版）

B A O N M C 故事背景：米勒问题和米勒定理1471 年，德国数学家米勒向诺德尔授提出了如 下十分有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在 什么部位，视角最大？最大视角问题是数学史上100 个著名的极值问题中第一 个极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角 问题又称之为“米勒问题” 米勒问题： 已知点，B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的动点，则当在何处时，∠B 最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题 M O N A B C 米勒定理： 已知点B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的一动点，则当且仅当三角形 B 的外圆与边M 相切于点时，∠B 最大 证明： 如图1，设’是边M 上不同于点的任意一点，连结，B，因为∠’B 是圆外角， ∠B 是圆周角，易证∠’B 小于∠B，故∠B 最大。 模型介绍 D B A O N M C C' 米勒定理在解题中的应用 常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖 出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶 颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。 否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。 【例1】．平面直角坐标系内，已知点（1，0），B（5，0），（0，t）．当t＞0 时，若 ∠B 最大，则t 的值为（ ） ． B． ． D． 变式训练 例题精讲 【变式1-1】．如图，在正方形BD 中，边长为4，M 是D 的中点，点P 是B 上一个动点， 当∠DPM 的度数最大时，则BP＝ ． 【变式1-2】．如图，∠B＝60°，M，是B 上的点，M＝4，M＝ ． （1）设⊙过点M、，、D 分别是M 同侧的圆上点和圆外点． 求证：∠M＞∠MD； （2）若P 是上的动点，求∠MP 的最大值． 【例2】．在直角坐标系中，给定两点M（1，4），（﹣1，2），在x 轴的正半轴上，求 一点P，使∠MP 最大，则P 点的坐标为 ． 变式训练 【变式2-1】．如图，某雕塑M 位于河段上，游客P 在步道上由点出发沿B 方向行走．已 知∠B＝30°，M＝2M＝40m，当观景视角∠MP 最大时，游客P 行走的距离P 是 米． 【变式2-2】．如图，在矩形BD 中，B＝6，D＝8，点E，F 分别是边D，B 上的动点，且 ∠FE＝90° （1）证明：△BF∽△FE； （2）当DE 取何值时，∠ED 最大． 1．在平面直角坐标系中，点（0，2）、B（，+2）、（b，0）（＞0，b＞0），若B＝4 且∠B 最大时，b 的值为（ ） ．2+2 B．﹣2+2 ．2+4 D．﹣2+4 2．如图，，B 表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点表示射门点，连接， B，则∠B 就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能 性就越大．球员甲带球线路ED 与球门B 垂直，D 为垂足，点在ED 上，当∠B 最大时就 是带球线路ED 上的最佳射门角．若B＝4，BD＝1，则当球员甲在此次带球中获得最佳 射门角时D 的长度为（ ） ．2 B．3 ． D． 3．已知点、B 的坐标分别是（0，1）、（0，3），点为x 轴正半轴上一动点，当∠B 最大 时，点的坐标是 ． 4．如图，在矩形BD 中，B＝4，D＝8，M 是D 的中点，点P 是B 上一个动点，若∠DPM 的度数最大，则BP＝ ． 5．某童游乐场的平面图如图所示，场所工作人员想在D 边上的点P 处安装监控装置，用 来监控边上的B 段，为了让监控效果更佳，必须要求∠PB 最大，已知：∠D＝60°，＝ 400 米，B＝200 米，问在D 边上是否存在一点P，使得∠PB 最大？若存在，请求出 此时P 的长和，∠PB 的度数；若不存在，请说明理由． 6．某商场引进消毒机器人每天进行全场消毒工作，该机器人采取精准直线喷射技术，实现 了准确、快速和节约的目标．在设置参数的时候，工作人员通过对商场门口身形高大的 “大黄蜂”进行多次消毒试验发现：如图，若对点进行消毒，适当调整机器人D 到B 的 距离，使得s（α﹣β）的值尽可能的大，能提高消毒的效率．已知“大黄蜂”B 身高25 米，机器人D 高04 米．则当s（α﹣β）最大时，机器人D 和“大黄蜂”B 之间距离B 等于 ． 7．已知（2，0），B（6，0），B⊥x 轴于点B，连接 画图操作：（1）在y 轴正半轴上求作点P，使得∠PB＝∠B（尺规作图，保留作图痕 迹） 理解应用：（2）在（1）的条件下， ②若t∠PB＝ ，求点P 的坐标； ②当点P 的坐标为 时，∠PB 最大 拓展延伸：（3）若在直线y＝ x+4 上存在点P，使得∠PB 最大，求点P 的坐标． 8．问题提出 （1）如图①，在矩形BD 中，B＝2D，E 为D 的中点，则∠EB ∠B（填“＞” “＜”“＝”）； 问题探究 （2）如图②，在正方形BD 中，P 为D 边上的一个动点，当点P 位于何处时，∠PB 最 大？并说明理由； 问题解决 （3）如图③，在一幢大楼D 上装有一块矩形广告牌，其侧面上、下边沿相距6 米（即 B＝6 米），下边沿到地面的距离BD＝116 米．如果小刚的眼睛距离地面的高度EF 为 16 米，他从远处正对广告牌走近时，在P 处看广告效果最好（视角最大），请你在图 ③中找到点P 的位置，并计算此时小刚与大楼D 之间的距离． 9．如图，在平面直角坐标系xy 中，点与点B 的坐标分别是（1，0），（7，0）． （1）对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果∠PB＝45°，那么称点P 为线段B 的“完美点”． ①设、B、P 三点所在圆的圆心为，则点的坐标是 ，⊙的半径是 ； ②y 轴正半轴上是否有线段B 的“完美点”？如果有，求出“完美点”的坐标；如果没 有，请说明理由； （2）若点P 在y 轴负半轴上运动，则当∠PB 的度数最大时，点P 的坐标为 ． 10．问题提出 （1）如图①，△B 内接于⊙，过点作⊙的切线l，在l 上任取一点D，连接BD、D，则 ∠B 与∠BD 的大小关系为 ； 问题探究 （2）如图②，在矩形BD 中，B＝6，B＝8，点E 为D 边上一点，当∠BE 最大时，求 s∠BE 的值； 问题解决 （3）如图③，某商场在一部向下运行的手扶电梯B 的终点的正上方竖直悬挂一幅高度 DE＝4m 的广告画．已知广告画的最低点D 到地面的距离为65m，该电梯的高B 为4m， 它所占水平地面的长为8m．小明从点B 出发，站在该电梯上观看广告画DE，其观看视 角为∠DPE．已知小明的眼睛P 到脚底的距离PQ 为15m，电梯在竖直B 方向上的下降 速度为20m/s，求当小明站在电梯上多长时间时，∠DPE 取得最大值． 11．问题背景 （1）如图（1）△B 内接于⊙，过作⊙的切线l，在l 上任取一个不同于点的点P，连接 PB、P，比较∠BP 与∠B 的大小，并说明理由． 问题解决 （2）如图（2），（0，2），B（0，4），在x 轴正半轴上是否存在一点P，使得s∠PB 最小？若存在，求出P 点坐标，若不存在，请说明理由． 拓展应用 （3）如图（3），在四边形BD 中，B∥D，D⊥D 于D，E 是B 上一点，E＝D，P 是DE 右侧四边形BD 内一点，若B＝8，D＝11，t∠＝2，S△DEP＝9，求s∠PB 的最大值 12．已知：∠MB＝90°，点在射线BM 上，点在射线B 上，D 在线段B 上，⊙是△D 的外接 圆； （1）若⊙与B 的另一个交点为E，如图1，当 ，BD＝1，D＝2 时，求E 的长； （2）如图2，当∠B＝∠BD 时，判断B 与⊙的位置关系，并说明理由； （3）如图3，在B 上作出点，使得∠D 最大，并求当D＝2， 时，⊙的半径． 13．【发现问题】 （1）如图①，点，B 在∠M 的边M 上，过，B 两点的圆交于，D 两点，点E 在线段D 上（不与点，D 重合），点F 在射线D 上（不与点D 重合）．试探究∠EB 和∠FB 之间 的大小关系，并说明理由； 【探究问题】 （2）如图②，∠M＝90°，点，B 在射线上，点P 是射线M 上一动点，B＝3B＝3，当 ∠PB 最大时，请求出此时P 的长； 【解决问题】 （3）如图③，一足球球门宽B 约为4 米，一球员从距点5 米的点（点，，B 均在一条 直线上），沿与M 成一定角度的方向带球．试问，该球员能否在射线上找到一点P，使 得点P 为最佳射门点（即∠PB 最大）？若能找到，求出此时该球员跑过的路程长；若找 不到，请说明理由． 14．问题探究 （1）如图1，，D 是∠B 的边上两点，直线B 与⊙相切于点P，点P1是直线B 上异于点 P 的任意一点，请在图1 中画出∠P1D，试判断∠PD 与∠P1D 的大小关系，并证明； （2）如图2，已知矩形BD 中，点M 在边B 上，点E 在边B 上，B＝8，E＝6，当∠ME 最大时，请求出此时BM 的长； 问题解决 （3）如图3，四边形BD 是某车间的平面示意图，B＝4 米，D＝8 米，∠＝∠D＝ 60°，∠BD＝90°，工作人员想在线段D 上选一点M 安装监控装置，用来监视边B，现只 要使得∠BM 最大，就可以让监控装置的效果达到最佳．问在线段D 上是否存在点M， 使∠BM 最大？若存在，请求出DM 的长；若不存在，请说明理由． 15．如图，抛物线y＝x2+ x+与x 轴交于，B 两点（点B 在点左侧），与y 轴交于点，直线 y＝kx+b 经过点，，且＝2＝4． （1）求抛物线的解析式； （2）点E 为上方抛物线上一动点，过点E 作EF∥y 轴交于点F，求线段EF 的最大值； （3）在（2）的结论下，若点G 是x 轴上一点，当∠GF 的度数最大时，求点G 的坐标． 16．如图，顶点为M 的抛物线y＝x2+bx+3 与x 轴交于（﹣1，0），B 两点，与y 轴交于点， 过点作D⊥y 轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x 轴，垂足为点E，双曲线y＝ （x＞0） 经过点D，连接MD，BD． （1）求抛物线的表达式； （2）点，F 分别是x 轴，y 轴上的两点，当以M，D，，F 为顶点的四边形周长最小时， 求出点，F 的坐标； （3）动点P 从点出发，以每秒1 个单位长度的速度沿方向运动，运动时间为t 秒，当t 为何值时，∠BPD 的度数最大？（请直接写出结果）