高考数学答题技巧题型12 5类平面向量解题技巧（“爪子定理”、系数和（等和线）、极化恒等式、奔驰定理与三角形四心问题、范围与最值问题）（解析版）（32页）

题型12 5 类平面向量解题技巧 （“爪子定理”、系数和（等和线）、极化恒等式、 奔驰定理与三角形四心问题、范围与最值问题） 技法01 “爪子定理”的应用及解题技巧 知识迁移 形如 条件的应用（“爪子定理”） “爪”字型图及性质： （1）已知 为不共线的两个向量，则对于向量 ，必存在 ，使 得 。则 三点共线 当 ，则 与 位于 同侧，且 位于 与 之间 当 ，则 与 位于 两侧 技法01 “爪子定理”的应用及解题技巧 技法02 系数和（等和线）的应用及解题技巧 技法03 极化恒等式的应用及解题技巧 技法04 奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧 技法05 范围与最值的应用及解题技巧 “爪子定理”是平面向量基本定理的拓展，用“爪子定理”能更快速求解，需同学们重点学习掌握 A B C D 时，当 ，则 在线段 上；当 ，则 在线段 延长 线上 （2）已知 在线段 上，且 ，则 例1-1．（全国·高考真题）设 为 所在平面内一点，且 ，则（ ） A. B. C. D. A B C D 解析：由图可想到“爪字形图得： ，解得： 答案：A 例1-2 ．（2023 江苏模拟）如图，在 中， ， 是 上的一点，若 m n A B C D ，则实数 的值为（ ） A. B. C. D. 解：观察到 三点共线，利用“爪”字型图，可得 ，且 ，由 可得 ， 所以 ，由已知 可得： ，所以 答案：C 1．（2022·全国·统考高考真题）在 中，点D 在边AB 上， ．记 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出． 【详解】因为点D 在边AB 上， ，所以 ，即 ， 所以 ． 故选：B． 2. （全国·高考真题）在 中， ， ．若点 满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析： ，故选 A． 3. （2020·新高考全国1 卷·统考高考真题）已知平行四边形 ，点 ， 分别是 ， 的中点（如 图所示），设 ， ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案； 【详解】连结 ，则 为 的中位线， ， 故选：A 4．（全国·高考真题）在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得 ，之后应用向 量的加法运算法则-------三角形法则，得到 ，之后将其合并，得到 ，下一步 应用相反向量，求得 ，从而求得结果. 【详解】根据向量的运算法则，可得 ， 所以 ，故选A. 【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加 法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 5．（江苏·高考真题）设 、 分别是 的边 ， 上的点， ， . 若 （ 为实数），则 的值是 【答案】 【详解】依题意， ， ∴ ，∴ ， ，故 . 【考点定位】平面向量的加法、减法法则.分析、计算能力.中等题. 技法02 系数和（等和线）的应用及解题技巧 知识迁移 如图， 为 所在平面上一点，过 作直线 ，由平面向量基本定理知： 存在 ，使得 近年，高考、模考中有关“系数和（等和线）定理”背景的试题层出不穷，学生在解决此类问题时， 往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高，而向量三点共 线定理与等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算，数 形结合思想得到了有效体现，同时也为相关问题的解决提供了新的思路，大家可以学以致用 下面根据点 的位置分几种情况来考虑系数和 的值 ①若 时，则射线 与无交点，由 知，存在实数 ，使得 而 ，所以 ，于是 ②若 时， （i）如图1，当 在右侧时，过 作 ，交射线 于 两点，则 ，不妨设 与 的相似比为 由 三点共线可知：存在 使得： 所以 （ii）当 在左侧时，射线 的反向延长线与 有交点，如图1 作 关于 的对称点 ，由 （i）的分析知：存在存在 使得： 所以 于是 综合上面的讨论可知：图中 用 线性表示时，其系数和 只与两三角形的相似比有关。 我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。 因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过 作 边的垂线 ， 设点 在 上的射影为 ，直线 交直线 于点 ，则 ( 的符号由点 的位置确定)，因 此只需求出 的范围便知 的范围 例2-1．（全国·高考真题）在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若 = + ，则 + 的最大值为 A．3 B．2 C． D．2 【系数和】 分析：如图 ， 由平面向量基底等和线定理可知，当等和线与圆相切时， 最大，此时 故选 . 例2-2．（衡水中学二模）边长为2 的正六边形 中，动圆 的半径为1，圆心在线段 (含短 点)上运动， 是圆 上及其内部的动点，设向量 ，则 的取值范围是 （ ） A .(1,2] B. [5,6] C . [2,5] D. [3,5] 分析:如图，设 ，由等和线结论， .此为 的最小值； 同理，设 ，由等和线结论， .此为 的最大值. 综上可知 . 例2-3．已知 为边长为2 的等边三角形，动点 在以 为直径的半圆上.若 ， 则 的取值范围是__________ 【解析】如图,取 中点为 , 显然,当 与 重合时, 取最小值1. 将 平行移动至与 相切处, 为切点时, 取最大值. 延长 交 于 ,易知 . 由等和线及平行截割定理, . 所以 的最大值为 . 故 的取值范围是 . 1. 在矩形 中， ，动点 在以点 为圆心且与 相切的圆上， 若 ，则 的最大值为( ) 解：如图所示： 过 作 的垂线，垂足为 ，则 ，当 三点共线时，高线最长，即 2. 如图，正六边形 ， 是 内（包括边界）的动 点，设 ，则 的取值范围是____________ 解：连接 因为正六边形 ，由对称性知道 ，设 与 交于点 ， 与 交于点 ， 当 在 上时， 在 上射影最小为 ； 当 与 重合时， 在 上射影最大为 ； 则 设 则 则 3. 如图在直角梯形 中， ， ， ，动点 在以 为圆心， 且与直线 相切的圆内运动，设 则 的取值范围是____________ 解：设圆 与直线 相切于点 ，过 作 于 ，作直线 ，且直线与圆 相切与 ， 连 ，则 过圆心，且 ，由图可知，对圆 内任意一点 在直线 上的射影长度 满足： ， 又 ， 所以 而 ，所以 4. 若点 在以 为圆心,6 为半径的弧 上,且 ,则 的取值范围为______ 【解析】令 , 则 , 即 , 其中 . 由 知点 在线段 上,如下图: 由于在 中, , 且点 在线段 上(含端点 , 因此 ,其中 是边 上的高. 可得 . 可得 . 所以, . 再由 可知 . 5. （2023·浙江·高三专题练习）如图，在直角梯形 中， ， ∥ ， ， ，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为 ，且点P 在图中阴影部分（包括边界）运动．若 ，其中 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立直角坐标系，将 由 点坐标转化后数形结合求解 【详解】以 点为坐标原点， 方向为x,y 轴正方向建立直角坐标系，则 ， ，设 ，则 ，解得 ， 故 ，即 ， 数形结合可得当 时，取最小值2， 当直线与圆 相切时， ，取得最大值 . 故选：B 技法03 极化恒等式的应用及解题技巧 知识迁移 极化恒等式 恒等式右边有很直观的几何意义: 向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的 ， 恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系 如图在平行四边形 中, 则 利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量 的几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积 与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合，对于不共起点和不共终点的问题可通 过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决，需大家强化学 习。 在上述图形中设平行四边形 对角线交于 点, 则对于三角形来说: 例3-1．（全国·高考真题）设向量 满足 ， ，则 A．1 B．2 C．3 D．5 由极化恒等式可得： ，故选A． 例3-2．（2023·全国·统考高考真题）正方形 的边长是2， 是 的中点，则 （ ） A． B．3 C． D．5 设CD 中点为O 点，由极化恒等式可得： 故选：B. 1．（江苏·高考真题）如图，在 中， 是 的中点， 是 上的两个三等分点， ， ，则 的值是 . 【答案】 极化恒等式 因为 是 上的两个三等分点,所以 联立解得: 所以 2. 如图,在 中,已知 ,点 分別在边 上, 且 ,若 为 的中点,则 的值为________ 解：取 的中点 ,连接 ,则 , 在 中, , 3. （2022·北京·统考高考真题）在 中， ．P 为 所在平面内的动点，且 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 记AB 的中点为M，连接CM，则CM=5 2 由极化恒等式可得： ⃗ PA⋅⃗ PB=|⃗ PM| 2−1 4 |⃗ AB| 2=|⃗ PM| 2−25 4 ∵|PM|max=|CM|+1=7 2 ,∴⃗ PA⋅⃗ PB=|⃗ PM| 2−25 4 =6 ∵|PM|max=|CM|−1=3 2 ,∴⃗ PA⋅⃗ PB=|⃗ PM| 2−25 4 =−4 即 故选：D 技法04 奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧 知识迁移 1. 奔驰定理 如图，已知P 为 内一点，则有 . 平面向量问题是高中数学中的一个热点，在高考中考查比重不会很大，一般以选择填空形式出现，难 度一般也会控制在中等，有时也会以压轴题命题。平面向量中有很多重要的应用，比如系数和（等和线）、 极化恒等式、本技法我们继续学习另一个重要的结论-奔驰定理。它将三角形的四心与向量完美地融合到一 起，高中的同学们可以将这个内容当成课外拓展知识，同时也是加强对三角形的认识，加深对数学的理解。 奔驰定理”揭示的是平面向量与三角形面积之间所蕴含的一个优美规律并因其图形与奔驰的logo 相似 而得名“奔驰定理”，会提升解题效率，可强化学习。 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”. 2. 奔驰定理的证明 如图：延长 与 边相交于点 则 3. 奔驰定理的推论及四心问题 推论 是 内的一点,且 ,则 有此定理可得三角形四心向量式 （1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的 距离之比为2：1. （2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直. （3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的 内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r. （4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心， 它到三角形三个顶点的距离相等. 奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题， 有着决定性的基石作用. 已知点 在 内部，有以下四个推论： ①若 为 的重心，则 ； ②若 为 的外心，则 ；或 ③若 为 的内心，则 ；备注：若 为 的内心，则 也对. ④若 为 的垂心，则 ，或 例4-1．（宁夏·高考真题）已知O，N，P 在 所在平面内，且 ，且 ，则点O，N，P 依次是 的 （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心） A．重心外心垂心 B．重心外心内心 C．外心重心垂心 D．外心重心内心 因为 ，所以 到定点 的距离相等，所以 为 的外心，由 ， 则 ，取 的中点 ，则 ，所以 ，所以 是 的重心； 由 ，得 ，即 ，所以 ，同理 ，所以 点 为 的垂心，故选C. 例4-2．（江苏·高考真题）O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ， ，则P 的轨迹一定通过 的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【详解】 ， 令 ， 则 是以 为始点，向量 与 为邻边的菱形的对角线对应的向量， 即 在 的平分线上， ， 共线， 故点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心， 故选：B 例4-3．（2023·全国·高三专题练习）奔驰定理：已知点O 是 内的一点，若 的面 积分别记为 ，则 ．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论， 因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O 是 的垂心，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【详解】延长 交 于点P， 是 的垂心， ， ． 同理可得 ， ． 又 ， ． 又 ， ． 不妨设 ，其中 ． ， ，解得 ． 当 时，此时 ，则A，B，C 都是钝角，不合题意，舍掉． 故 ，则 ，故C 为锐角， ∴ ，解得 ， 故选：B． 1．（2023 春·上海长宁·高三上海市延安中学校考期末）若 是 内一点， ，则 是 的（ ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【答案】D 【分析】利用向量的加法法则，结合重心定义判断作答. 【详解】取线段 的中点 ，连接 ，则 ，而 ， 因此 ，即 三点共线，线段 是 的中线，且 是靠近中点 的三等分点， 所以 是 的重心. 故选：D 2．（2023·江苏·高三专题练习）在 中，若 ，则点H 是 的（ ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【答案】A 【分析】根据向量的运算结合向量垂直分析判断. 【详解】因为 ，则 ， 所以 ，即点H 在边 的高线所在直线上， 同理可得： ， 所以点H 为 的三条高线的交点，即点H 是 的垂心. 故选：A. 3．（2023 春·湖南株洲·高三炎陵县第一中学校联考期末）（多选）如图. 为 内任意一点，角 的对边分别为 ，总有优美等式 成立，因该图形酯似奔驰汽车车标， 故又称为奔驰定理.则以下命题是真命题的有（ ） A．若 是 的重心，则有 B．若 成立，则 是 的内心 C．若 ，则 D．若 是 的外心， ， ，则 【答案】AB 【分析】对于A：利用重心的性质 ，代入 即可； 对于B：利用三角形的面积公式结合 与 可知点 到 的距离相等. 对于C：利用 将 表示出来，代入 ，化简即可表示出 的关系式，用 将 表示出来即可得处其比值. 对于D：利用三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将 两边平方，化简可得 ，结 合 的取值范围可得出答案. 【详解】对于A：如图所示：因为 分别为 的中点， 所以 ， ， 同理可得 、 ， 所以 ， 又因为 ， 所以 .正确； 对于B：记点 到 的距离分别为 ， ， 因为 ， 则 ， 即 ， 又因为 ，所以 ，所以点 是 的内心，正确； 对于C：因为 ， 所以 ，所以 ， 所以 ， 所以 ， 化简得： ， 又因为 不共线， 所以 ，所以 ， 所以 ，错误； 对于D：因为 是 的外心， ，所以 , ， 所以 ， 因为 ，则 ， 化简得： ，由题意知 同时为负， 记 ， ，则 ， 因为 ，所以 ， 所以 ， 所以 ，错误. 故答案为：AB. 技法05 范围与最值的应用及解题技巧 例5-1．（浙江·高考真题）已知 ， 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足 ， 则 的最大值是 A．1 B．2 C． D． 【详解】试题分析：由于 垂直，不妨设 ， ， ，则 ， ， 表示 到原点 的距离， 表示圆心 ， 为半径的圆，因此 的最大值 ，故答案为C． 例5-2．（四川·高考真题）在平面内，定点A，B，C，D 满足 = = , = = 平面向量中的范围与最值范围问题是向量问题中的命题热点和重难点，综合性强，体现了高考在知识 点交汇处命题的思想，常以选择填空题的形式出现，难度稍大，方法灵活。 基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，"比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围 的等，在复习过程中要注重对基本方法的训练，把握好类型题的一般解法。本讲内容难度较大，需要综合 学习。 =–2，动点P，M 满足 =1， = ，则 的最大值是 A． B． C． D． 【详解】试题分析：由已知易得 .以 为原点，直线 为 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则 设 由已知 ， 得 ，又 ，它表示圆 上的点 与点 的距离的平方的 ， ，故选B. 例5-3．（2023·全国·高三专题练习）若平面向量 ， ， 满足 ， ， ， ，则 ， 夹角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【详解】设 ， ， ，以O 为原点， 方向为x 轴正方向建立平面直角坐标系， ， ， ， ， ， 三者直接各自的夹角都为锐角， ， ， ， ， ，即 在 上的投影为1， 在 上的投影为3， ， ，如图 ， 即 ，且 则 ， 由基本不等式得 ， ， 与 的夹角为锐角， ， 由余弦函数可得： 与 夹角的取值范围是 ， 1．（湖南·高考真题）已知 是单位向量， .若向量满足 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 ， ，做出图形可知，当且仅当 与 方向相反且 时， 取到最大值；最大值为 ；当且仅当 与 方向相同且 时， 取到最小值； 最小值为 . 2．（湖南·高考真题）已知点A,B,C 在圆 上运动，且AB BC，若点P 的坐标为（2，0），则 的最大值为 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】由题意，AC 为直径，所以 ,当且仅当点B 为（-1， 0）时， 取得最大值7，故选B. 考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质 【名师点睛】与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想. 由平面几何知识 知，圆上的一点与圆外一定点距离最值在定点和圆心连线与圆的两个交点处取到．圆周角为直角的弦为圆 的半径，