专题8.3 三元一次方程组【七大题型】（原卷版）

专题83 三元一次方程组【七大题型】 【人版】 【题型1 三元一次方程（组）的解】.....................................................................................................................1 【题型2 用消元法解三元一次方程组】................................................................................................................. 2 【题型3 用换元法解三元一次方程组】................................................................................................................. 2 【题型4 构建三元一次方程组解题】.....................................................................................................................3 【题型5 运用整体思想求值】.................................................................................................................................3 【题型6 三元一次方程组中的数字问题】............................................................................................................. 4 【题型7 三元一次方程组的应用】.........................................................................................................................5 【知识点1 三元一次方程组及解法】 1．三元一次方程组中的方程不一定都是三元一次方程组，并且有时需对方程化简后再根 据三元一次方程组的的定义进行判断． 2．解三元一次方程组的基本思想是消元，通过代入或加减消，使三元化为二元或一元， 转化为我们已经熟悉的问题． 3．当三元一次方程组中出现比例式时，可采用换元法解方程组． 【题型1 三元一次方程（组）的解】 【例1】（2022·河南南阳·七年级期中）我们探究得方程x+ y=2的正整数解只有1 组，方 程x+ y=3的正整数解只有2 组，方程x+ y=4的正整数解只有3 组，……，那么方程 x+ y+z=9的正整数解的组数是（ ） ．27 B．28 ．29 D．30 【变式1-1】（2022·浙江·杭州市实验外国语学校七年级期中）已知¿是方程组¿的解，则 a+b+c的值为（ ） ．3 B．2 ．1 D．0 【变式1-2】（2022·全国·八年级专题练习）方程x+2 y+3 z=14 (x< y<z )的正整数解是__ ______． 【变式1-3】（2022·全国·九年级专题练习）三元一次方程x＋y＋z＝1999 的非负整数解的 个数有（ ） ．20001999 个 B．19992000 个 ．2001000 个 D．2001999 个 【题型2 用消元法解三元一次方程组】 【例2】（2022·贵州·铜仁市第十一中学七年级阶段练习）方程组¿的解________． 【变式2-1】（2022·全国·八年级单元测试）已知¿且x＋y＝3，则z 的值为( ) 1 ．9 B．－3 ．12 D．不确定 【变式2-2】（2022·江苏·七年级专题练习）解下列三元一次方程组： （1）¿；（2）¿． 【变式2-3】（2022·湖北武汉·七年级期中）《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其 “方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如对于方程组¿，将其中数字排成长 方形形式，然后执行如下步骤（如图）；第一步，将第二行的数乘以3，然后不断地减第 一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似． 其本质就是在消元．那么其中的，b 的值分别是（ ） ．24，4 B．17，4 ．24，0 D．17，0 【题型3 用换元法解三元一次方程组】 【例3】（2022·全国·七年级课时练习）方程组¿的解是¿ 【变式3-1】（2022·全国·七年级单元测试）已知方程组¿若设x 2= y 3 = z 4 =k ，则k= ______． 【变式3-2】（2022·内蒙古·乌海市第二中学七年级期中）探索创新完成下面的探索过程： 给定方程组¿，如果令1 x =，1 y =B，1 z =，则方程组变成______； 解出这个新方程组（要求写出解新方程组的过程），得出，B，的值，从而得到：x= ______；y=______；z= ______． 【变式3-3】（2022·全国·八年级课时练习）若x＋y＋z≠0 且2 y+z x =2 x+ y z =2 z+x y =k， 则k＝_________． 【题型4 构建三元一次方程组解题】 【例4】（2022·四川省荣县中学校七年级期中）对于实数x，y 定义新运算： x⊗y=ax+by+c，其中，b，均为常数，且已知3⊗5=15，4⊗7=28，则2⊗3的值 为（ ） ．2 B．4 ．6 D．8 【变式4-1】（2022·全国·单元测试）已知（x+y-3)2+|y+z-5|+（z+x-4)4=0，则x+y+z 的值是__ ____． 【变式4-2】（2022·全国·七年级专题练习）在式子y=a x 2+bx+c中，当x=0 时，y=1；当 x=1 时，y=0；当x=-1 时，y=4，则，b，的值分别为__________． 【变式4-3】（2022·浙江·七年级期末）对于实数x，y 定义新运算x⋅y=ax+by+cxy其中， 1 b，为常数，若1⋅2=3,2⋅3=4，且有一个非零常数d，使得对于任意的x，恒有x⋅d=x， 则d 的值是____． 【题型5 运用整体思想求值】 【例5】（2022·湖北·十堰市北京路中学七年级期中）已知实数x，y 满足3 x−y=5①， 2 x+3 y=7②，求x−4 y和7 x+5 y的值． 本题常规思路是先将①，②两式联立组成方程组，解得x，y 的值，再代入欲求值的整式得 到答，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题 还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得x−4 y=−2，由①+②×2 可得 7 x+5 y=19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组¿，则x−y=¿__________，x+ y=¿_________． (2)对于实数x、y，定义新运算：x∗y=ax+by+c，其中、b、是常数，等式右边是通常的 加法和乘法运算．已知3∗5=15，4∗7=28，求1∗1的值． 【变式5-1】（2022·山东日照·七年级期末）已知方程组¿，则x+ y+z的值是（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 【变式5-2】（2022·吉林长春·七年级期末）【数学问题】解方程组¿ 【思路分析】榕观察后发现方程①的左边是x+y，而方程②的括号里也是x+y，她想到可以 把x+y 视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为 一元一次方程，从而达到“消元”的目的． （1）【完成解答】请你按照榕榕的思路，完成解方程组的过程． 解：把①代入②，得 （2）【迁移运用】请你按照上述方法，解方程组¿ 【变式5-3】（2022·江苏泰州·七年级阶段练习）阅读：善于思考的小明在解方程组¿时， 采用了一种“整体代换”的思想，解法如下： 解：将方程②变形为8 x+20 y+2 y=10，即2 (4 x+10 y )+2 y=10③，把方程①代入③得， 2×6+2 y=10，则y=−1；把y=−1代入①得，x =4，所以方程组的解为：¿ 试用小明的“整体代换”的方法解决以下问题： （1）试求方程组的解¿ （2）已知x､y､z，满足¿，求z 的值． 【题型6 三元一次方程组中的数字问题】 【例6】（2022·浙江·八年级开学考试）一个三位数，百位上的数与十位上的数之差是2， 如果交换十位数字与个位数字的位置，那么所得的数就比原来小36，则百位上的数与个位 上的数之差为（ ） 1 ．5 B．6 ．7 D．8 【变式6-1】（2022·江苏宿迁·七年级期末）在3×3正方形格中有9 个数，若各行、各列及 对角线上的三个数之和都相等，则称此图为“九宫图”． (1)图（甲）就是一个九宫图的一部分，请你求出x，y的值； (2)已知图（乙）和图（丙）都是不完整的九宫图． 填空：=______，b=______，=______； d=______，e=______，f=______． 【变式6-2】（2022·重庆巴南·七年级期末）对于个位数字和十位数字不相同的两位自然数 m，把个位上的数字和十位上的数字交换后得到的新两位自然数记为m1，同时记 F(m)=|m−m1| 9 若F（m）能被4 整除，则称这样的两位自然数m 为“四季数”．例如： 15 是“四季数”，因为两位自然数15 的个位上的数字和十位上的数字交换后得到的新两 位自然数为51，同时F(15)=|15−51| 9 =4，而4 能被4 整除，所以15 是“四季数”；74 不是“四季数”，因为两位自然数74 的个位上的数字和十位上的数字交换后得到的新两位 自然数为47，同时F(74)=|74−47| 9 =3，而3 不能被4 整除，所以74 不是“四季数” （1）判断29、48 是否是“四季数”？并说明理由； （2）已知两位自然数m 是“四季数”，m 的十位上的数字为，个位上的数字为．在m 的 中间插入一个数b，得到一个三位数．若比m 的9 倍少8，求出所有符合题意的值 【变式6-3】（2022·重庆綦江·八年级期末）对于一个三位数n,如果n满足：它的百位数字、 十位数字之和与个位数字的差等于7,那么称这个数n为“幸福数”．例如：n1=935, ∵9+3−5=7,∴935是“幸福数”；n2=701,∵7+0−1=6,∴701不是“幸福数”． （1）判断845,734是否为“幸福数”？并说明理由； （2）若将一个“幸福数”m的个位数的2倍放到十位,原来的百位数变成个位数,原来的十位 数变成百位数,得到一个新的三位数t（例如：若m=654,则t=586）,若t也是一个“幸福 数”,求满足条件的所有m的值． 1 【题型7 三元一次方程组的应用】 【例7】（2022·湖北黄冈·七年级阶段练习）购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需3 元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支，作业本5本，圆 珠笔2支共需（ ） ．4.5元 B．5元 ．6元 D．6.5元 【变式7-1】（2022·山东·烟台市福山区学研究中心八年级期中）盲盒为消费市场注入了活 力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某 商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22 个，搭配为，B，三种盲盒各一个，其中盒 中有2 个蓝牙耳机，3 个多接口优盘，1 个迷你音箱；B 盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之 和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；盒中有1 个蓝牙耳机， 3 个多接口优盘，2 个迷你音箱．经核算，盒的成本为145 元，B 盒的成本为245 元（每种 盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则盒的成本为（ ）元． ．135 B．155 ．185 D．225 【变式7-2】（2022·重庆八中八年级阶段练习）某工厂，B，型生产线进行产品加工，每条 生产线每天的产量之比为1：2：3，现甲、乙两公司计划各自租用该工厂8 条生产线同时 进行产品加工，且每种类型的生产线均租用，甲公司用6 天恰好能加工完所需产品，乙公 司用3 天恰好能加工完所需产品，乙公司租用的B 型生产线数量与甲公司相同，甲公司租 用的型生产线条数与乙公司租用的型生产线条数相同，乙公司需加工的产品总量比甲公司 少1 6 ，则乙公司B 型生产线有________条． 【变式7-3】（2022·全国·八年级课时练习）某茶庄为了吸引顾客，扩大销售量，准备将、 B、三种茶具包装成甲、乙、丙、丁四种礼盒销售（包装成本忽略不计）．甲礼盒装有茶 具3 个，B 茶具2 个，茶具2 个；乙礼盒装有茶具2 个，B 茶具3 个，茶具4 个；丙礼盒装 有茶具2 个，B 茶具2 个，茶具1 个；丁礼盒装有茶具3 个，B 茶具4 个，茶具4 个．若一 个甲礼盒售价360 元，利润率为20%，一个乙礼盒和一个丙礼盒成本之和为610 元，且一 个茶具的利润率为25%，则一个丁礼盒的利润率为_____． 1