50．（2023·黑龙江鸡西·统考二模）如图，在正方形ABCD中，M，N分别为AB，BC的中点，CM与 DN相交于点G，延长BG交CD于点E，CM交BD于点H．下列结论：①CM ⊥DN；②BH=BM；③ S△DNC=3 S△BMH；④∠BGM=45°；⑤GM +GN=❑ √2GB．其中正确结论的序号有（ ） ．②③④ B．①③⑤ ．①③④⑤ D．①②④⑤ 51．（2022·湖北咸宁·校考模拟

∵∠D＝∠BD， ∴D＝D， 在Rt△BD 和Rt△ED 中 { BD=DE DO=DN ， Rt ∴ △BD Rt ≌ △ED（L）， ∴B＝E． 在△D 和△D 中， { ∠DOC=∠DNC=90° ∠OCD=∠NCD DC=DC 1 ∴△D≌△D（S）， 可知：＝； ∴B+E＝B++﹣E＝2＝8． （3）G＝F+G． 证明：由（1）知：DF＝D， 在x 轴的负半轴上取M＝F，连接DM，如右图所示：

∵AB∥CD， ∴∠FCM=∠EAN． ∵BF ⊥AC，DE⊥OA ∴∠FMC=∠ENA=90° ∴△MFC ≌△NEA ∴MC=AN，MF=NE．故①正确． 在△NDA与△NCD中， ∠∧¿∠DNC=90°，∠DAN=∠CDN=60°， ∴△NDA ∽△NCD． ∴DN AN = NC DN ． ∴D N 2=AN ⋅NC=MC ⋅NC．故③正确； 如图，连接EF，△≝¿中，DE=DF 50．（2023·黑龙江鸡西·统考二模）如图，在正方形ABCD中，M，N分别为AB，BC的中点，CM与 DN相交于点G，延长BG交CD于点E，CM交BD于点H．下列结论：①CM ⊥DN；②BH=BM；③ S△DNC=3 S△BMH；④∠BGM=45°；⑤GM +GN=❑ √2GB．其中正确结论的序号有（ ） ．②③④ B．①③⑤ ．①③④⑤ D．①②④⑤ 【答】 【分析】用SAS证△CBM DB= ❑ √2 3 CD， CH=2 MH， ∴BM ≠BH，故②错误； ∵CH=2 MH， ∴MC=3 MH， ∴S△BMC=3 S△BHM， ∵△CBM ≌△DCN， ∴S△DNC=3 S△BMH，故③正确； 如下图，过点B作BP⊥CM于点P，BQ⊥DG交DN的延长线上于点Q， ∴∠BPC=∠BQD=∠PGQ=90°， ∴四边形PBQG是矩形， ∴∠PBQ=90°，

∥BC，交PB延长线于M，CN ⊥MN 于N，作EG⊥MN于G，交BC于K， 1 由题意知，EK=4，MD+DN=6，tan∠EDG=tan∠EFC=2， ∵△CDP是等腰直角三角形 ∴由（1）可知△PMD≌△DNC ∴MD=NC，PM=DN 设MD=NC=x，则EG=4+x ，DG= 4+x 2 ∵MD=MG−DG=3−4+x 2 ∴x=3−4+x 2 解得x=2 3 ∴DN=MN−MD=6−2

∵∠D＝∠BD， ∴D＝D， 在Rt△BD 和Rt△ED 中{ BD=DE DO=DN ， Rt ∴ △BD Rt ≌ △ED（L）， ∴B＝E． 在△D 和△D 中，{ ∠DOC=∠DNC=90° ∠OCD=∠NCD DC=DC ∴△D≌△D（S）， 可知：＝； 1 ∴B+E＝B++﹣E＝2＝8． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质，做题时添加了辅助线，正确作出

【答】(1)a=1，k=12 (2)8 (3)E(1,0)或(3,0) 【分析】（1）把A(4,3)代入含参数解析式中，解方程，求得参数值； （2）过点作AM ⊥x轴,过点作CN ⊥x轴，则AM=3,∠DMA=∠DNC=90°，证△MDA ∼△NDC， 于是AM CN = DA DC =1 2，得CN=6，根据解析式得C(2,6)；待定系数法确定直线AC的解析式为 y=−3 2 x+9，得直线AC与y 2 x+a中得,3=1 2 ×4+a ∴a=1 把A(4,3)代入y= k x 中得,3= k 4 ∴k=12． （2）过点作AM ⊥x轴,过点作CN ⊥x轴，则AM=3,∠DMA=∠DNC=90° 又∵∠MDA=∠NDC ∴△MDA ∼△NDC ∴AM CN = DA DC =1 2 ∴CN=2 AM=6 把y=6代入y=12 x 得，x=2 ∴C(2,6)

∵将△CDE沿着DE翻折，FE⊥AC， ∴EF ∥AB， ∴∠FEB=∠B=60°， ∴∠FEC=120° ∵折叠， ∴∠FED=∠CED=120°， ∵∠C=30° ∴∠EDC=∠EDF=30°， ∴∠DNC=∠FNE=90°， ∴DN=1 2 DC= 1 4 AC=3 ❑ √3 4 ， ∴NE=1 2 DE，D E 2=N E 2+D N 2 ∴EF=DE=2❑ √3 3 DN=2❑

∴∠CAB=∠NBD ∴ΔACB≅ΔBND， ∴S ΔACB=S ΔBND， 同理可证ΔACB≅ΔAGE， ∴S ΔACB=S1， ∴DN=BC=CI，AC=BN， 则有FC=BN ∵∠DNC=∠ICB=90 ∘ ∴DN /¿CI， ∴四边形DNCI是平行四边形， ∵∠NCI=90°， ∴四边形DNCI是矩形， ∴∠DIC=90°， ∴D、I、H三点共线， ∵∠MDN +∠NDB=∠DBN

∴∠DPE=90°，△APF ≌△CPB（SAS）， ∴∠BCP=∠PAF，BC=AF， ∵DP AP =❑ √2= PE PF ，∠DPE=∠APF， ∴△DPE∽△APF， ∴∠PCB=∠PDE， ∵∠DNC=∠CPD+∠PDE=∠DMC+∠PCB， ∴∠DMC=∠DPC=45°； ②∵∠PDC=∠PAC=45°，∠PDE=∠PCB=∠PAF， ∴∠CAF=∠CDH， 又∵∠ACF=∠DCH=45°，