第17讲 全等三角形（练习）（原卷版）

第17 讲 全等三角形 目 录 题型01 利用全等三角形的性质求角度 题型02 利用全等三角形的性质求长度 题型03 根据全等的性质判断正误 题型04 利用全等三角形的性质求解 题型05 添加一个条件使两个三角形全等 题型06 添加一个条件仍不能证明全等 题型07 灵活选用判定方法证明全等 题型08 结合尺规作图的全等问题 题型09 全等三角形模型-一线三等角模型 题型10 全等三角形模型-旋转模型 题型11 构造辅助线证明两个三角形全等-作平行线 题型12 构造辅助线证明两个三角形全等-作垂线 题型13 构造辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法 题型14 构造辅助线证明两个三角形全等-截长补短法 题型15 利用全等三角形的性质与判定解决多结论问题 题型16 利用角平分线的性质求长度 题型17 利用角平分线的性质求面积 题型18 角平分线的判定定理 题型19 三角形的三条角平分线的性质定理的应用方法 题型20 利用角平分线性质定理和判定定理解决多结论问题 题型21 利用全等三角形的性质与判定解决高度测量问题 题型22 利用全等三角形的性质与判定解决河宽测量问题 题型23 利用全等三角形的性质与判定解决动点问题 题型01 利用全等三角形的性质求角度 1．（2022·云南昆明·统考三模）如图，△ABC ≌△≝¿，若∠A=80° ,∠F=30°，则∠B的度数是 （ ） ．80° B．70° ．65° D．60° 2．（2022·重庆渝中·统考二模）如图，点F，B，E，C在同一条直线上，△ABC ≌△≝¿，若 ∠A=36°，∠F=24°，则∠DEC的度数为（ ） ．50° B．60° ．65° D．120° 3．（2022·山东淄博·模拟预测）在△ABC中，∠C=90°，D 、E分别是BC，AB上的点， Δ ADC ≅Δ ADE≅Δ BDE，则∠B的度数（ ） ．15 B．20 ．25 D．30 题型02 利用全等三角形的性质求长度 4．（2021·江苏扬州·统考二模）如图，Rt△B≌Rt△FDE，∠B＝∠FDE＝90°，∠B＝30°，＝4，将Rt△FDE 沿 直线l 向右平移，连接BD、BE，则BD+BE 的最小值为 ． 5．（2021·北京海淀·人大附中校考模拟预测）如图，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形围成的，若 CF=5，AB=13，则EF的长为 ． 6．（2022·浙江绍兴·统考一模）如图是沙漏示意图（数据如图），上下两部分为全等三角形，将上半部分 填满沙子后，在沙子下落至如图位置时，B 的长为多少？（正在下落的沙子忽略不计）（ ） ．1m B．2m ．3m D．4m 题型03 根据全等的性质判断正误 7．（2022·云南·统考一模）如图，若△B △ ≌DE，则下列结论中一定成立的是（ ） ．＝DE B．∠BD＝∠E ．B＝E D．∠B＝∠ED 题型04 利用全等三角形的性质求解 8．（2022·安徽合肥·合肥38 中校考一模）如图，△≝¿是由△ABC经过平移得到的，分别交DE、EF 于 点G、，若∠B=120°，∠C=30°，则∠DGH的度数为（ ） ．150° B．140° ．120° D．30° 9．（2022·辽宁大连·统考一模）如图，将△B 沿所在的直线翻折得到△B′，再将△B′沿B′所在的直线翻折得 到△B′′，点B，B′，′在同一条直线上，∠B=α，由此给出下列说法：①△B≌△B′′，②⊥BB′，③∠B′B=2α．其 中正确的说法是（ ） ．①② B．①③ ．②③ D．①②③ 10．（2023·湖北恩施·统考一模）如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中 点，点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以相同速度由点C向点运 动，一个到达终点后另一个点也停止运动，当△BDP与△CPQ全等时，点P运动的时间是（ ） ．t=1s B．t=5 3 s ．t= 4 3 s D．t=5 3 s或t= 4 3 s 11．（2023·山东青岛·模拟预测）如图，将边长为❑ √3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°到A B1C1 D1 的位置，则阴影部分的面积是 ． 12．（2020·浙江绍兴·模拟预测）如图，在△ABC中，∠B=45 °，∠C=60 °，点E 为线段AB的中点， 点F 在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF． （1）如图1，当点P 落在BC上时，求∠AEP的度数． （2）如图2，当PF ⊥AC时，求∠BEP的度数． 题型05 添加一个条件使两个三角形全等 13．（2023·湖南永州·统考二模）如图，点E，F 分别在□BD 的边B，D 的延长线上，连接EF，分别交 D，B 于G，．添加一个条件使△EG △ ≌F，这个条件可以是 ．（只需写一种情况） 14．（2022·北京朝阳·统考二模）如图，P 平分∠M，过点P 的直线与M，分别相交于点，B，只需添加一 个条件即可证明Δ AOP≅Δ BOP，这个条件可以是 （写出一个即可）． 15．（2022·北京门头沟·统考一模）如图，点P在直线AB外，点A、B、C、D均在直线AB上，如果 AC=BD，只需添加一个条件即可证明Δ APC ≌Δ BPD，这个条件可以是 （写出一个即可）． 16．（2022·北京顺义·统考二模）如图，D，BE 是△ABC的两条高线，只需添加一个条件即可证明 △ADC ≌△BEC（不添加其它字母及辅助线），这个条件可以是 （写出一个即可）． 题型06 添加一个条件仍不能证明全等 17．（2022·重庆南岸·统考一模）如图，点F，E在AC上，AD=CB，∠D=∠B．添加一个条件，不一 定能证明△ADE≌△CBF的是（ ） ．AD∥BC B．DE∥FB ．DE=BF D．AE=CF 18．（2022·河北石家庄·石家庄市第四十中学校考一模）如图，等腰△ABC中，点D，E 分别在腰B，上， 添加下列条件，不能判定△ABE≌△ACD的是（ ） ．AD=AE B．BE=CD ．∠ADC=∠AEB D．∠DCB=∠EBC 19．（2022·贵州贵阳·统考二模）如图，已知B＝D，若使△B △ ≌DB，则不能添加下列选项中的（ ） ．∠B＝∠DB B．B＝ ．＝D D．∠＝∠D 20．（2022·重庆·重庆市育才中学校考一模）如图，点E、F 分别在菱形BD 的B、D 边上，添加以下条件 不能证明△BE △ ≌DF 的是（ ） ．E＝F B．∠BF＝∠DE ．E＝F D．∠E＝∠F 题型07 灵活选用判定方法证明全等 21．（2019·广东揭阳·校联考二模）下列各图中、b、为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧 △B 全等的是（ ） ．甲和乙 B．乙和丙 ．甲和丙 D．只有丙 22．（2022·广西百色·统考二模）如图，在△B 和△DB 中，∠＝∠D，和DB 相交于点，＝D． (1)B＝D； (2)△B≌△DB． 23．（2022·贵州铜仁·校联考模拟预测）天使是美好的象征，她的翅膀就像一对全等三角形．如图D 与B 相交于点，且AB=CD，AD=BC．求证：△ABO≅△CDO． 24．（2021·江苏苏州·校考一模）如图，AB=AD , BC=DC，点E在AC上． （1）求证：AC平分∠BAD；（2）求证：BE=DE． 25．（2019·陕西西安·校联考一模）已知：如图，点．F，E．在同一直线上，B D ∥，B=D，∠B= D, ∠ （1）求证：△BE DF ≌△ ； （2）若点E，G 分别为线段F，FD 的中点，连接EG，且EG=5，求B 的长． 题型08 结合尺规作图的全等问题 26．（2020·吉林·吉林省实验校考二模）如图，在四边形BD 中，AD∥BC，∠D=90 °，AD=4， BC=3．分别以点，为圆心，大于1 2 AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE 交D 于点F，交于点． 若点是的中点，则D 的长为（ ） ．2❑ √2 B．4 ．3 D．❑ √10 27．（2021·河南焦作·统考二模）已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取点C，E，分别以点O为 圆心，OC，OE长为半径作弧，交射线OB于点D，F；（2）连接CF，DE交于点P．根据以上作图过程 及所作图形，下列结论错误的是（ ） ．CE=DF B．PE=PF ．若∠AOB=60°，则∠CPD=120° D．点P在∠AOB的平分线上 28．（2021·江苏泰州·统考一模）已知：如图1，△ACD中，AD≠CD． （1）请你以AC为一边，在AC的同侧构造一个与△ACD全等的三角形△ACE，画出图形；（要求：尺 规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）参考（1）中构造全等三角形的方法解决下面问题： 如图2，在四边形ABCD中①∠ACB+∠CAD=180°；②∠B=∠D；③CD=AB．请在上述三条信 息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明 理由你选择的条件是________，结论是_______（只要填写序号） 29．（2021·北京·统考一模）已知：如图1，在△ABC中，∠CAB=60°．求作：射线CP，使得 CP // AB． 下面是小明设计的尺规作图过程． 作法：如图2， ①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC，AB于D，E两点； ②以点C为圆心，AD长为半径作弧，交AC的延长线于点F； ③以点F为圆心，DE长为半径作弧，两弧在∠FCB内部交于点P； ④作射线CP．所以射线CP就是所求作的射线． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：连接FP，DE． ∵CF=AD，CP=AE，FP=DE． ∴△ADE≌△__________， ∴∠DAE=∠__________， ∴CP // AB（__________）（填推理的依据）． 题型09 全等三角形模型-一线三等角模型 30．（2023·湖南郴州·校考三模）如图，△OAB是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B 在 反比例函数y= 1 x ( x>0)的图象上，则经过点的反比例函数表达式为 ． 31．（2020·河北保定·统考模拟预测）如图，桌面上竖直放置着一个等腰直角三角板ABC，若测得斜边 AB的两端点到桌面的距离分别为AD，BE． （1）求证：△ADC ≌△CEB； （2）若DE=10，AD=7，求BE的长． 32．（2023·陕西·模拟预测）如图，点在BD上，AB⊥BD , ED⊥BD , AC ⊥CE , AB=CD．求证： △ABC ≌△CDE． 题型10 全等三角形模型-旋转模型 33．（2022·山东日照·校考二模）在△ABC中，AB=AC ,∠BAC=α，点P为线段CA延长线上一动点， 连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB , DC． （1）如图，当α=60°时， ①求证：PA=DC； ②求∠DCP的度数： （2）如图2，当α=120°时，请直接写出PA和DC的数量关系为__________； （3）当α=120°时，若AB=6，BP=❑ √31时，请直接写出点D到CP的距离为__________． 34．（2020·山东德州·统考二模）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究 （一）猜测探究 在ΔABC中，AB=AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角 度，得到线段AN，连接NB． （1）如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是 ，NB与 MC的数量关系是 ； （2）如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是 否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由． （二）拓展应用 如图3，在Δ A1B1C1 中，A1B1=8，∠A1B1C1=60 ∘，∠B1 A1C1=75 ∘，P是B1C1 上的任意点，连接 A1 P，将A1 P绕点A1按顺时针方向旋转75 ∘，得到线段A1Q，连接B1Q．求线段B1Q长度的最小值． 35．（2020·重庆·重庆第二外国语学校校考模拟预测）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，E为边BC上 的点，且AB=AE，D为线段BE的中点，过点E作EF ⊥AE，过点A作AF ∥BC，且AF、EF相交于点 F （1）求证：∠C=∠BAD （2）求证：AC=EF 36．（2020·辽宁沈阳·统考模拟预测）在△ABC中，AB=AC，点P在平面内，连接AP，并将线段AP绕 A顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AQ，连接BQ． （1）如图，如果点P是BC边上任意一点．则线段BQ和线段PC的数量关系是__________． （2）如图，如果点P为平面内任意一点．前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立， 请说明理由．请仅以图所示的位置关系加以证明（或说明）； （3）如图，在△≝¿中，DE=8，∠EDF=60°，∠≝¿75°，P是线段EF上的任意一点，连接DP，将 线段DP绕点D顺时针方向旋转60°，得到线段DQ，连接EQ．请直接写出线段EQ长度的最小值． 题型11 构造辅助线证明两个三角形全等-作平行线 37．（2021 上·山东日照·八年级统考期中）如图，△B 是边长为2 的等边三角形，点P 在B 上，过点P 作 PE⊥，垂足为E，延长B 到点Q，使Q＝P，连接PQ 交于点D，则DE 的长为（ ） ．05 B．09 ．1 D．125 38．（2023 上·黑龙江齐齐哈尔·八年级校联考期中）如图，在等边△ABC中，点E为边AB上任意一点， 点D在边CB的延长线上，且ED=EC． (1)当点E为AB的中点时（如图1），则有AE______DB（填“¿”“¿”或“¿”）； (2)猜想如图2，AE与DB的数量关系，并证明你的猜想． 39．（2019 上·安徽合肥·八年级校联考期末） P 为等边△B 的边B 上一点，Q 为B 延长线上一点，且P＝ Q，连PQ 交边于D． （1）证明：PD＝DQ． （2）如图2，过P 作PE⊥于E，若B＝6，求DE 的长． 题型12 构造辅助线证明两个三角形全等-作垂线 40．（2023 上·北京海淀·八年级人大附中校考期中）小宇和小明一起进行数学游戏：已知∠MON=90°， 将等腰直角三角板△ABC摆放在平面内，使点在∠MON的内部，且两个底角顶点B，分别放在边 OM ,ON上． (1)如图1，小明摆放△ABC，恰好使得AB⊥OM , AC ⊥ON，又由于△ABC是等腰直角三角形， AB＝AC，从而直接可以判断出点在∠MON的角平分线上．请回答：小明能够直接作出判断的数学依 据是______． (2)如图2，小宇调整了△ABC的位置，请判断OA平分∠MON是否仍然成立？若成立，请证明，若不成 立，请举出反例． 41．（2022 上·湖北武汉·八年级统考期中）定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻 的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角． (1)如图1 所示，∠E是△ABC中∠A的遥望角，直接写出∠E与∠A的数量关系__________； (2)如图1 所示，连接AE，猜想∠BAE与∠CAE的数量关系，并说明理由； (3)如图2，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E 在BD的延长线上，连CE，若己知 DE=DC=AD，求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角． 题型13 构造辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法 42．（2020·江苏无锡·统考二模）如图，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=1,BC=CD=2, E为D 上的 中点，则BE＝ ． 43．（2019 下·上海·八年级上外附中校考阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，CE⊥AD于E，点F为 边AB中点，AD=1 2 CD，∠CEF=40°，则∠AFE=¿ 44．（2024 上·辽宁抚顺·九年级统考期末）问题初探：数学课外兴趣小组活动时，数学杨老师提出了如下 问题：在△ABC中，AB=7，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得 到了如下的解决方法（如图1）：延长AD到E，使得DE=AD；再连接BE，把AB，AC，2 AD集中在 △ABE中；利用上述方法求出AD的取值范围是2< AD<5． (1)问题：请利用图1 说明AC与BE的位置关系； 感悟：数学杨老师给学生们总结解这类问题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中 线，或通过引平行线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． (2)类比分析：如图2，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE=90°，BF是△BEC 的中线，试探究线段AD与BF的数量和位置关系，并加以证明． (3)学以致用：如图3，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，D 为斜边AB的中点，一个三角板的直 角顶点与D 重合，一个直角边DF与AC的延长线交于点F，另一直角边与BC边交于点E，若AF=12， BE=5，求出EF的长是多少？ 45．（2020·江苏徐州·统考模拟预测）（1）阅读理解： 如图①，在△ABC中，若AB＝8，AC ＝5，求BC边上的中线AD的取值范围．可以用如下方法：将 △ACD绕着点D 逆时针旋转180 ∘得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的 取值范围是_______； （2）问题解决： 如图②，在△ABC中，D 是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF 交AC于点F，连 接EF，求证：BE+CF ＞EF； （3）问题拓展： 如图③，在四边形ABCD中，∠B+ ∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝100°，以为顶点作一个50°的 角，角的两边分别交AB、AD于E、F 两点，连接EF，探索线段BE，DF ，EF之间的数量关系，并说 明理由． 题型14 构造辅助线证明两个三角形全等-截长补短法 46．（2020·辽宁沈阳·统考一模）思维探索： 在正方形BD 中，B＝4，∠EF 的两边分别交射线B，D 于点E，F，∠EF＝45°． （1）如图1，当点E，F 分别在线段B，D 上时，△EF 的周长是 ； （2）如图2，当点E，F 分别在B，D 的延长线上，F＝2 时，求△EF 的周长； 拓展提升： 如图3，在Rt△B 中，∠B＝90°，＝B，过点B 作BD⊥B，连接D，在B 的延长线上取一点E，使∠ED＝ 30°，连接E，当BD＝2，∠ED＝45°时，请直接写出线段E 的长度． 47．（202