云霞出海曙，梅柳渡江春。淑气催黄鸟，晴光转绿蘋。——杜审言 （春节之后的江南本该是这番的美景，然而2020 年……） 179.暮春三月，江南草长，杂花生树，群莺乱飞。——丘迟 （期待，疫情之后的美景一如往昔。） 180.云销雨霁，彩彻区明。——王勃《滕王阁序》 （同上）

180 读书《情绪自控力》口播推荐语 朴用喆 豆瓣评分：8.4(48 人评价) 我们总在说，别被坏情绪控制或影响。 可我们大多数人连自己的情绪都没观察过，更别谈控制。 而小编推荐的这本《情绪控制力》，就是一本关于如何分析和管理我们 情绪的书籍。 书里，作者用大量案例证明，很多情绪是大脑下意识做出的一种习惯性 选择。 人一旦习惯某种情绪，大脑经常就会偏向选择这种情绪。

如图1：B∥D，则∠1+∠2＝ 180°； 如图2：B∥D，则∠1+∠2+∠3＝360°； 如图3：B∥D，则∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 如图4：B∥D，则∠1+∠2+…+∠＝（﹣1）180°。 【证明】在图1 中，∵B∥D，∴∠1+∠2＝180°； 在图2 中，过E 作B 的平行线EF，∵B∥D，∴EF∥D， ∴∠1+∠EF＝180° ∠ ， 3+∠EF＝180° 3+∠EF＝180° ∴∠ ， 1+∠2+∠3＝360°； 在图3 中，过E 作B 的平行线E，过点F 作B 的平行线FM， ∵B∥D ∴ ，E∥D∥FM ∴∠ ， 1+∠FM＝180° ∠ ， MFE+∠FE＝180°， ∠E+∠4＝180° ∴∠ ， 1+∠2+∠3＝540°； 在图4 中，过各角的顶点依次作B 的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规 律可得∠1+∠2+∠3+…+∠＝（﹣1）180°． 律可得∠1+∠2+∠3+…+∠＝（﹣1）180°． 【模型辨析】 ①注意拐角朝同一方向 ②若出现拐角不朝同一方向的，应进行拆分 考点一：猪蹄模型 【例1】．如图，直线B∥D，∠＝44°，∠E 为直角，则∠1 等于（ ） ．132° B．134° ．136° D．138° 解：过E 作EF∥B， ∵B∥D， ∴B∥D∥EF， ∴∠＝∠FE，∠BE＝∠FE， ∵∠＝44°，∠E

如图1：B∥D，则∠1+∠2＝ 180°； 如图2：B∥D，则∠1+∠2+∠3＝360°； 如图3：B∥D，则∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 如图4：B∥D，则∠1+∠2+…+∠＝（﹣1）180°。 【证明】在图1 中，∵B∥D，∴∠1+∠2＝180°； 在图2 中，过E 作B 的平行线EF，∵B∥D，∴EF∥D， ∴∠1+∠EF＝180° ∠ ， 3+∠EF＝180° 3+∠EF＝180° ∴∠ ， 1+∠2+∠3＝360°； 在图3 中，过E 作B 的平行线E，过点F 作B 的平行线FM， ∵B∥D ∴ ，E∥D∥FM ∴∠ ， 1+∠FM＝180° ∠ ， MFE+∠FE＝180°， ∠E+∠4＝180° ∴∠ ， 1+∠2+∠3＝540°； 在图4 中，过各角的顶点依次作B 的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规 律可得∠1+∠2+∠3+…+∠＝（﹣1）180°． 律可得∠1+∠2+∠3+…+∠＝（﹣1）180°． 【模型辨析】 ①注意拐角朝同一方向 ②若出现拐角不朝同一方向的，应进行拆分 考点一：猪蹄模型 【例1】．如图，直线B∥D，∠＝44°，∠E 为直角，则∠1 等于（ ） ．132° B．134° ．136° D．138° 解：过E 作EF∥B， ∵B∥D， ∴B∥D∥EF， ∴∠＝∠FE，∠BE＝∠FE， ∵∠＝44°，∠E

E//B//D ∵ ∠B+∠1=180°,∠+∠2=180°, ∴ ∠B+∠1+∠2+∠=360° ∴ ，∴∠B＋∠B+∠=360° ◎结论2：如图所示，∠B+∠B+∠=360°，则B∥D 【证明】如图，过点 作EF//B， 则∠B＋∠1=180°，∵∠B+∠B+∠=360°, ∴∠+∠2=180°,∴EF∥D，又∵EF//B，∴B//D “异形”铅笔头：拐点数 “异形”铅笔头：拐点数,∠++∠=180°×（+1） 拐点数：1 拐点数：2 拐点数： 1．（2022·全国·七年级）如图，已知 ， ， ，则 的度数是（ ） ．80° B．120° ．100° D．140° 【答】 【分析】过E 作直线M//B，根据两直线平行，同旁内角互补即可求出∠1，进而可求出∠2，然后根据平行于同一条 直线的两直线平行可得M//D，根据平行线性质从而求出∠． 【详解】解：过E 作直线M//B，如下图所示， ∵M//B， + 1 ∴∠∠＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， 1 ∴∠＝180°∠＝180° 140° ﹣ ＝40°， ∵ ， ∴ ∵M//B，B//D， ∴M//D， + 2 ∴∠∠＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠＝180° 2 ﹣∠＝180° 80° ﹣ ＝100°， 故选：． 【点睛】此题考查的是平行线的判定

（2）由AB∥CD，可得∠D+∠CBD+∠ABC=180°，再把 ∠D=∠ABC+50° ,∠CBD=70° 代入进行计算即可 （1） 证明：∵AE⊥BC ，FG⊥BC， ∴AE∥GF， ∴∠EAB=∠FGB， 1 ∵∠CEA=∠FGB， ∴∠CEA=∠EAB， ∴AB∥CD； （2） 解：由（1）得，AB∥CD， ∴∠D+∠CBD+∠ABC=180°， ∵∠D=∠ABC+50° ∴∠ABC+70°+∠ABC+50°=180° ∴∠ABC=30°， ∴∠C=∠ABC=30°． 【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，方程思想的应用，掌握“平行线的判定与性 质”是解本题的关键 【变式1-2】（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期中）如图，△B 中，∠B 的角平分线交B 于D，点F 在B 的延长线上，点E 在线段D 上，EF 与相交于点G，且 ∠BDA + ∠CEG=180°． (1)求证：AD∥EF； (2)若点在FE 的延长线上，且∠ED＝∠，则∠F 与∠相等吗？请说明理由． 【答】(1)见详解 (2)∠F = ∠H，说明见详解 【分析】（1）根据∠BDA + ∠CEG=180°，∠≝+ ∠CEG=180°，可得 ∠BDA = ∠ ≝¿，根据同位角相等，两直线平行可判定AD∥EF； （2）根据∠EDH = ∠C，可得DH ∥AC，继而得到∠H = ∠EGC，由对顶角 ∠AGF =

A B 1）同位角相等：∠1= 5 ∠、∠2= 6 ∠、∠3= 7 ∠、 ∠4= 8 ∠； 2）内错角相等：∠3= 5 ∠、∠6= 8 ∠； 3 ）同旁内角互补：∠3+ 6=180° ∠ 、 ∠4+ 5=180° ∠ ； 4）对顶角相等：∠1= 3 ∠、∠2= 4 ∠、∠5= 7 ∠、 ∠6= 8 ∠ 【快速判断同位角、内错角与同旁内角】 【针对训练】 例1（2018·广东广州·中考真题）如图，直线D，BE ，再利用两直线平行线，同旁内角互补即可求 出∠GE 的大小，然后利用对顶角性质即可求解． 【详解】解：设D 与EF 交于G， ∵B∥D 1= =58° ∴∠ ∠ ∵B∥FE， + ∴∠∠GE=180°， ∴∠GE=180°-58°=122°， 2= ∴∠ ∠GE=122°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线性质是解题关键 变式1（2022·浙江杭州·统考中考真题）如图，已知AB∥CD，点E ∵m∥， 2 ∴∠＝180°﹣∠B＝120°． 故选：． 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，平行线的性质等知识，解题的关键是求出∠B 的度数． 题型02 铅笔头模型 已知 图示 结论（性质） 证明方法 B∥DE ∠B+∠+∠E = 360° 遇拐点做平行 线（方法不唯 一） B∥DE ∠B+∠M+∠+∠E= 540° ∥b ∠1+∠2++∠-1+∠=180°× （-1）=180°×（拐点数+1）

∴∠DB＝30°， ∴∠D＝180°﹣∠BD﹣∠BD﹣∠B＝180° 75° 30° 30° ﹣ ﹣ ﹣ ＝45°， 故答为：45； ②∠D 的度数不随、B 的移动而发生变化， 设∠BD＝α， ∵D 平分∠B， 1 ∴∠B＝2α， ∵∠B＝90°， ∴∠B＝180°﹣∠B＝∠B+∠B＝90+2α， ∵B 平分∠B， ∴∠B＝45°+α， ∵∠B＝180°﹣∠BD＝∠D+∠BD， 【分析】（1）根据平行线的性质可得∠2＝∠BE，然后根据平角是180°列出关于∠1 与 ∠2 的关系式进行计算即可； （2）分三种情况，点在直线F 的上方，点在直线F 与直线DE 之间，点在直线DE 的下 方． 【解答】解：（1）∵l∥DE， 2 ∴∠＝∠BE， 1+ ∵∠ ∠B+∠BE＝180°，∠1＝8 2 ∠，∠B＝45°， 8 2+45°+ 2 ∴∠ ∠＝180°， 2 ∴∠＝15°， 2 ∴∠的度数为15°； ∵∠B＝180°﹣∠B﹣∠B＝30°， ∴∠B＝180°﹣∠B﹣∠B＝75°； （3）连接连接D，与延长D 至E，如图， ∵BD 平分∠B1，1D 平分∠11， ∴∠BD+∠1D¿ 1 2（∠B+∠11）＝375°， ∵∠BE＝∠BD+∠DB，∠1E＝∠1D+∠D1， ∴∠BE+∠1E＝∠BD+∠DB+∠1D+∠D1， 即∠B1＝∠BD+∠1D+∠BD1， ∵∠B1＝180°﹣∠B＝105°，

的度数，又由平角的定义，即可求得∠3 的度数． 【详解】解： 过点作B∥l1， ∵l1∥l2， 1 ∴B∥l1∥l2， 1+ 4=180 ∴∠ ∠ °, 2+ 5=180 ∠ ∠ °， 1=105 ∵∠ °, 2=140 ∠ °， 4=75 ∴∠ °, 5=40 ∠ °， 4+ 5+ 3=180 ∵∠ ∠ ∠ °， 3=65 ∴∠ ° 故选： 【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行线的性质 ，用含α、β、γ的式子表示x，应 为（ ） ．α+β+γ B．β+γ−α ．180°−α−γ+β D．180°+α+β−γ 【答】 【分析】过作D B ∥，过M 作M EF ∥ ，推出B D M EF ∥∥ ∥ ，根据平行线的性质得出α+ BD=180° ∠ ， ∠DM= M ∠ ，∠MF=γ，求出∠BD=180°-α，∠DM= M= ∠ β-γ，即可得出答． 【详解】过作D B ∥，过M ∥，过M 作M EF ∥ ， B EF ∵∥ ， B D M EF ∴∥∥ ∥ ， ∴α+ BD=180° ∠ ，∠DM= M ∠ ，∠MF=γ， BD=180°- ∴∠ α，∠DM= M= ∠ β-γ， ∴x= BD+ DM= ∠ ∠ 180°−α−γ+β， 故选：． 1 【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力． 3．（2022·甘肃·北京师范大学庆阳实验学校

∠∠ED＝360°﹣∠E﹣∠D＝360° 90° 90° ﹣ ﹣ ＝180°， ∴∠B+∠＝180°； （2）如图，由∠B 与∠ED 是对顶角，得 ∠B＝∠ED． 由高BD、E 相交于点，得 ∠D＝∠E＝90°． 由四边形内角和定理，得 + ∠∠E+∠ED+∠D＝360°， + ∠∠DE＝360°﹣∠E﹣∠D＝360° 90° 90° ﹣ ﹣ ＝180°， ∴∠B+∠B＝180°． 【变式1-3】（2022 春•香洲区期末）如图1，线段B⊥B （1）求证：∠EB＝∠ED； （2）如图2，F、DF 分别平分∠BE 和∠DE，E 平分∠DE 交D 于点，E 的反向延长线交 F 于点G． ①求证EG⊥F； ②求∠F 的度数．【提示：三角形内角和等于180 度】 1 【分析】（1）利用同角的余角相等即可证明； （2）①想办法证明∠EG+∠EG＝90°即可解决问题； ②利用∠DF＝∠DFM+∠FM¿ 1 2∠DE+1 2 ∠EB¿ 1 2（∠DE+∠EB）即可解决问题； 2（∠DE+∠EB）＝45°． 1 【知识点2 字模型】 【条件】△DE 与△B 【结论】∠ED+ DE= B+ ∠ ∠ 【证明】根据三角形内角和可得，∠ED+ DE=180°- ∠ ∠，∠B+=180°-∠， ED+ DE= B+ ∠ ∠ ∠ ，得证 【题型2 字模型】 【例2】（2022•江阴市校级月考）如图是某建筑工地上的人字架．这个人字架夹角∠1＝ 120°，那么∠3