精编120 个中考热点解题技巧思想以及常见几何模型添加技巧精髓 三角形中的最值（将军饮马模型）问题在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题， 都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归 等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。在解决几何最 值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用 轴对称变 何选择，才使与B 之间的距离最短？ 【解答】 设l1和l2为河岸，作BD⊥l2，取BB'等于河宽，连接B'交l1于1，作12⊥l2于2， 则→1→2→B 为最短路线，即与B 之间的距离最短 题型一 将军饮马中两定一动模型与最值问题 【专题说明】 这类问题的解法主要是通过轴对称，将动点所在直线同侧的两定点中的一个映射到直线的另一侧，转 化为两点之间线段最短问题。 1、如图，在 中， ， 是 的两条中线， 存在，理由： 四边形 是以 为对角线且面积为 的平行四边形， 则 ， 点 在第四象限，故：则 ， 将该坐标代入二次函数表达式得： ， 解得： 或 ， 故点 的坐标为 或 ． 题型二 将军饮马中一定两动模型与最值问题 【专题说明】 一定两动型可转化为两点之间线段最短和点到直线的垂线段最短问题，进而求最值。关键是作定点 （或动点）关于动折点所在直线的对称点，通过等量代换转化问题。 【模型展示】

“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周 长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的 中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现． 【抽象模型】如图，在直线上找一点P 使得P+PB 最小？ P B A 【模型解析】作点关于直线的对称点’，连接P’，则P’=P，所以P+PB=P’+PB A' A B P P 当’、P、B 三点共线的时候，P’+PB=’B，此时为最小值（两点之间线段最短） 专题2 几何最值之将军饮马问题 知识导航 方法技巧 折点 端点 A' P B A 题型一：两定一动模型 模型 作法 结论 l B A 当两定点、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P，使P＋PB 最小． l P A B 连接B 交直线l 于点P，点P 即为所求作的点．

将军饮马模型与最值问题 【模型引入】 什么是将军饮马？ “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一 系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 【模型描述】 如图，将军在图中点处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使 得路程最短？ A B 将军 军营 河 【模型抽象】 如图，在直线上找一点P 使得P+PB M 此处M 点为折点，作点P 关于对称的点P’，将折线段PM+M 转化为P’M+M，即过点P’作 B 垂线分别交、B 于点M、，得PM+M 最小值（点到直线的连线中，垂线段最短） 题型一 将军饮马中两定一动模型与最值问题 【专题说明】 这类问题的解法主要是通过轴对称，将动点所在直线同侧的两定点中的一个映射到直线的另一侧，转 化为两点之间线段最短问题。 1、如图，在 中， ， 是 的两条中线， 存在，理由： 四边形 是以 为对角线且面积为 的平行四边形， 则 ， 点 在第四象限，故：则 ， 将该坐标代入二次函数表达式得： ， 解得： 或 ， 故点 的坐标为 或 ． 题型二 将军饮马中一定两动模型与最值问题 【专题说明】 一定两动型可转化为两点之间线段最短和点到直线的垂线段最短问题，进而求最值。关键是作定点 （或动点）关于动折点所在直线的对称点，通过等量代换转化问题。 【模型展示】

轴对称 模型（十八）——将军饮马模型 类型一：（河）和两旁 模型1 如图，定点，B 分布在定直线l 的两侧，在直线l 上找一点P，使得 P＋PB 的值最小 【作法】如图，连接 B，与直线 l 的交点即为所求点P 模型2 如图，定点，B 分布在定直线l 的同侧，在直线l 上找一点P，使得P+PB 的 值最小 【点睛】本题考查了作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 4．（2022·四川乐山·七年级期末）（1）唐朝诗人李顾的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马 傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的 点出发，带着马走到河边 点饮水后，再回到 点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出 点，使 过点作F⊥B 于点F， ∵ ， ， ， ， ∴ ， 即 ， 解得： ， ∵ ， ， ∴ 的最小值为 ． 【点睛】本题考查了轴对称性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”及 其变形的模型． 1．（2018·广东广州·中考真题）如图，在四边形BD 中，∠B＝∠＝90°，B＞D，D＝B+D． （1）利用尺规作∠D 的平分线DE，交B 于点E，连接E（保留作图痕迹，不写作法）；

将军饮马求最值1--对称 内容导航 方法点拨 一、两条线段和的最小值。 基本图形解析： （一）、已知两个定点： 1、在一条直线m 上，求一点P，使P+PB 最小； （1）点、B 在直线m 两侧： （2）点、B 在直线同侧： 、’ 是关于直线m 的对称点。 2、在直线m、上分别找两点P、Q，使P+PQ+QB 最小。

将军饮马求最值2--平移 内容导航 方法点拨 已知、B 是两个定点，P、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上 要求P、Q 两点，使得P+PQ+QB 的值最小。(原理用平移知识解) （1）点、B 在直线m 两侧： 过点作∥m,且长等于PQ 长，连接B,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P