阿氏圆求最小值 内容导航 方法点拨 点 P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题； 点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平 面上两点 、B，则所有满 足 P=k·PB（k≠1）的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希 腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。 如图 1 所示，⊙ 的半径为 r，点 、B 都在⊙

背景故事：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知、B 两点，点P 满足P： PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P 的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊 数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆” A B P O 模型建立：当点P 在一个以为圆心，r 为半径的圆上运动时，如图所示： 易证：△BP∽△P， ，∴对于圆上任意一点P 都有 对于任意一个圆，任意一个k 的值，我 ＝k（k＞0 且k≠1）的点P 会组成一个圆．这个结 论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆． 阿氏圆基本解法：构造三角形相似． 【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x 轴，y 轴上分别有点（m，0），D （0，），点P 是平面内一动点，且P＝r，设 ＝k，求P+kPD 的最小值． 阿氏圆的关键解题步骤： 第一步：如图1，在D 上取点M，使得M：P＝P：D＝k； 第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接M，此时M

背景故事：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知、B 两点，点P 满足P： PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P 的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊 数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆” A B P O 模型建立：当点P 在一个以为圆心，r 为半径的圆上运动时，如图所示： 易证：△BP∽△P， ，∴对于圆上任意一点P 都有 对于任意一个圆，任意一个k 的值，我 ＝k（k＞0 且k≠1）的点P 会组成一个圆．这个结 论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆． 阿氏圆基本解法：构造三角形相似． 【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x 轴，y 轴上分别有点（m，0），D （0，），点P 是平面内一动点，且P＝r，设 ＝k，求P+kPD 的最小值． 阿氏圆的关键解题步骤： 第一步：如图1，在D 上取点M，使得M：P＝P：D＝k； 第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接M，此时M

背景故事：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知、B 两点，点P 满足P： PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P 的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊 数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆” A B P O 模型建立：当点P 在一个以为圆心，r 为半径的圆上运动时，如图所示： 易证：△BP∽△P， ，∴对于圆上任意一点P 都有 对于任意一个圆，任意一个k 的值，我 ＝k（k＞0 且k≠1）的点P 会组成一个圆．这个结 论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆． 阿氏圆基本解法：构造三角形相似． 【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x 轴，y 轴上分别有点（m，0），D （0，），点P 是平面内一动点，且P＝r，设 ＝k，求P+kPD 的最小值． 阿氏圆的关键解题步骤： 第一步：如图1，在D 上取点M，使得M：P＝P：D＝k； 第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接M，此时M

专题28 最值模型之阿氏圆模型 最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化 归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆 问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【模型背景】已知平面上两点、B，则所有满足 P=k·PB（k≠1）的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由 古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。 古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。 【模型解读】如图 1 所示，⊙的半径为 r，点 、B 都在⊙ 外，P 为⊙上一动点，已知r=k·B， 连接P、 PB，则当“P+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？ 如图2，在线段B 上截取使=k·r，则可说明△BP 与△P 相似，即k·PB=P。 故本题求“P+k·PB”的最小值可以转化为 “P+P”的最小值， 其中与与为定点，P 为动点，故当、P、三点共线时，“P+P”值最小。如图3 为动点，故当、P、三点共线时，“P+P”值最小。如图3 所示： 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型： 在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·P+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为 圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。 例1．（2023·山东·九年级专题练习）如图，在 中， ， ， ，圆半径为2， P 为圆上一动点，连接 最小值__________．

背景故事：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知、B 两点，点P 满足P： PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P 的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊 数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆” A B P O 模型建立：当点P 在一个以为圆心，r 为半径的圆上运动时，如图所示： 易证：△BP∽△P， ，∴对于圆上任意一点P 都有 对于任意一个圆，任意一个k 的值，我 ＝k（k＞0 且k≠1）的点P 会组成一个圆．这个结 论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆． 阿氏圆基本解法：构造三角形相似． 【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x 轴，y 轴上分别有点（m，0），D （0，），点P 是平面内一动点，且P＝r，设 ＝k，求P+kPD 的最小值． 阿氏圆的关键解题步骤： 第一步：如图1，在D 上取点M，使得M：P＝P：D＝k； 第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接M，此时M

阿氏圆中的双线段模型与最值问题 【专题说明】 “阿氏圆”模型核心知识点是构造母子型相似，构造△PB P ∽△推出 P2  ，即：半径的平方=原 有线段 构造线段。 【模型展示】 如下图，已知、B 两点，点P 满足P：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆． A B P O （1）角平分线定理：如图，在△B 中，D 是∠B 的角平分线，则 ． F E

专题28 最值模型之阿氏圆模型 最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化 归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆 问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【模型背景】已知平面上两点、B，则所有满足 P=k·PB（k≠1）的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由 古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。 古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。 【模型解读】如图 1 所示，⊙的半径为 r，点 、B 都在⊙ 外，P 为⊙上一动点，已知r=k·B， 连接P、 PB，则当“P+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？ 如图2，在线段B 上截取使=k·r，则可说明△BP 与△P 相似，即k·PB=P。 故本题求“P+k·PB”的最小值可以转化为 “P+P”的最小值， 其中与与为定点，P 为动点，故当、P、三点共线时，“P+P”值最小。如图3 为动点，故当、P、三点共线时，“P+P”值最小。如图3 所示： 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型： 在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·P+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为 圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。 例1．（2023·山东·九年级专题练习）如图，在 中， ， ， ，圆半径为2， P 为圆上一动点，连接 最小值__________．

专题34 最值模型之阿氏圆模型 最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化 归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆 问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 ................................................................... ..............................................................................1 模型1 阿氏圆模型.............................................................................................................. ..................................12 模型1 阿氏圆模型 动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点、B，动点P 满足 P/PB=k（k 为常数，且k≠1）），那 么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆， 简称为阿氏圆。 A B P O 如图 1 所示，⊙的半径为 r，点 、B 都在⊙ 外，P

专题34 最值模型之阿氏圆模型 最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化 归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆 问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 ................................................................... ..............................................................................1 模型1 阿氏圆模型.............................................................................................................. ..................................12 模型1 阿氏圆模型 动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点、B，动点P 满足 P/PB=k（k 为常数，且k≠1）），那 么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆， 简称为阿氏圆。 A B P O 如图 1 所示，⊙的半径为 r，点 、B 都在⊙ 外，P