模型17 阿氏圆最值问题（解析版）(1)

背景故事：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知、B 两点，点P 满足P： PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P 的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊 数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆” A B P O 模型建立：当点P 在一个以为圆心，r 为半径的圆上运动时，如图所示： 易证：△BP∽△P， ，∴对于圆上任意一点P 都有 对于任意一个圆，任意一个k 的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的 位置选取、B 点，则需 R【技巧总结】计算 的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似 三角形 问题：在圆上找一点P 使得 的值最小，解决步骤具体如下： ①如图，将系数不为1 的线段两端点与圆心相连即P，B 模型介绍 ②计算出这两条线段的长度比 ③在B 上取一点，使得 ，即构造△PM BP ∽△ ，则 ， ④则 ，当、P、三点共线时可得最小值 【例1】．如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝4，＝6，⊙半径为2，P 为圆上一动点，连接 P，BP，则P+ BP 的最小值为________ 解：如图1，连接P，在B 上取点D，使D＝1，则有 ＝ ＝ ， 又∵∠PD＝∠BP， ∴△PD∽△BP， ∴ ＝ ， ∴PD＝ BP， ∴P+ BP＝P+PD． 要使P+ BP 最小，只要P+PD 最小，当点，P，D 在同一条直线时，P+PD 最小， 例题精讲 即：P+ BP 最小值为D， 在Rt△D 中，D＝1，＝6， ∴D＝ ＝ ， P+ BP 的最小值为 变式训练 【变式1-1】．如图，正方形BD 的边长为4，⊙B 的半径为2，P 为⊙B 上的动点，则PD+ P 的最小值等于 5 ． 解：如图，在B 上截取BE＝1，连接BP，PE， ∵正方形BD 的边长为4，⊙B 的半径为2， ∴B＝4＝D，BP＝2，E＝3 ∵ ，且∠PBE＝∠PBE ∴△PBE∽△BP ∴ ∴PE＝ P ∴PD+ P＝PD+PE ∴当点D，点P，点E 三点共线时，PD+PE 有最小值，即PD+ P 有最小值， ∴PD+ P 最小值为DE＝ ＝5 故答为：5 【变式1-2】．如图，在△B 中，∠＝90°，B＝＝4，点E、F 分别是边B、的中点，点P 是 以为圆心、以E 为半径的圆弧上的动点，则 的最小值为 ． 解：如图，在B 上截取Q＝1，连接P，PQ，Q， ∵点E、F 分别是边B、的中点，点P 是以为圆心、以E 为半径的圆弧上的动点， ∴ ， ∵P＝2，Q＝1， ∴ ， ∵∠PQ＝∠BP， ∴△PQ∽△BP， ∴PQ＝ PB， ∴ PB+P＝P+PQ≥Q， 在Rt△Q 中，＝4，Q＝1， ∴Q＝ ＝ ＝ ．， ∴ PB+P 的最小值 ．， 故答为： ． 【变式1-3】．如图，在直角坐标系中，以原点为圆心作半径为4 的圆交x 轴正半轴于点， 点M 的坐标为（6，3），点的坐标为（8，0），点P 在圆上运动．则PM+ P 的最小值 是 5 ． 解：如图，作MB⊥于B， 则BM＝3，B＝6， 取的中点，连接P，P，M， ∴＝2，P＝4， ∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ∴ ， 又∠P 是公共角， ∴△P∽△P， ∴ ， ∴P＝ P， ∴PM+ P＝PM+P≥M， ∴当M、P（图中Q 点）、在一条直线上时， PM+P 最小＝M＝ ＝ ＝5， 故答是5． 【例2】．如图，在⊙中，点、点B 在⊙上，∠B＝90°，＝6，点在上，且＝2，点D 是B 的 中点，点M 是劣弧B 上的动点，则M+2DM 的最小值为 ． 解：延长B 到T，使得BT＝B，连接MT，T． ∵M＝6，D＝DB＝3，T＝12， ∴M2＝D•T， ∴ ＝ ， ∵∠MD＝∠TM， ∴△MD∽△TM， ∴ ＝ ＝ ， ∴MT＝2DM， ∵M+2DM＝M+MT≥T， 又∵在Rt△T 中，∠T＝90°，＝4，T＝12， ∴T＝ ＝ ＝4 ， ∴M+2DM≥4 ， ∴M+2DM 的最小值为4 ， ∴答为4 ． 变式训练 【变式2-1】．⊙半径为2，B，DE 为两条直线．作D⊥B 于，且为中点，P 为圆上一个动 点．求2P+PE 的最小值． 解：延长到K，使K＝＝2． ∵是的中点， ∴＝ ＝1， ∴ ＝ ． 又∵∠P＝∠PK， ∴△P∽△PK， ∴ ，即PK＝2P． 2 ∴P+PE＝PE+PK≥EK． 作E⊥B 于点． ∵在直角△D 中，s∠D＝ ， ∴∠D＝60°， ∴∠E＝∠D＝60°， ∴E＝E•s60°＝2× ， ∴EK＝ ． 即最小值是2 ． 故答是：2 ． 【变式2-2】．如图，在扇形D 中，∠D＝90°，＝3，点在D 上，D＝1，点B 为的中点， 点E 是弧D 上的动点，则E+2EB 的最小值是 2 ． 解：如图，延长至F，使得F＝＝3．连接EF，E， ∵ ∠EB 为公共角 ∴△BE∽△EF ∴ 2 ∴BE＝EF ∴E+2BE＝E+EF 即、E、F 三点共线时取得最小值 即由勾股定理得 F＝ ＝ 故答为 【变式2-3】．如图，等边△B 的边长6，内切圆记为⊙，P 是⊙上一动点，则2PB+P 的最 小值为 3 ． 解：如图，连接交⊙于点D，取D 的中点F，作E⊥B 于E，FG⊥B 于G， ∴ ＝ ＝ ， ∵∠FP＝∠P， ∴△PF∽△P， ∴P＝2PF， 2 ∴PB+P＝2（ P+PB）＝2（PB+PF）， ∵PB+PF≥BF， ∴PB+PF 的最小值为BF， ∵B＝6，∠E＝30°， ∴E＝3，E＝ ，＝2 ， ∴F＝ ， ∴GF＝ ，G＝ ， ∴BG＝B﹣G＝ ， 由勾股定理得，BF＝ ， 2 ∴PB+P 的最小值为2BF＝3 ． 故答为：3 ． 1．如图，边长为4 的正方形，内切圆记为圆，P 为圆上一动点，则 P+PB 的最小值为 2 ． 解：设⊙半径为r， P＝r＝ B＝2，B＝ r＝2 ， 取B 的中点，连接P， ∴＝B＝ ， ∵ ， ， ∴ ， ∠是公共角， ∴△BP∽△P， ∴ ， ∴P＝ PB， ∴P+ PB＝P+P， ∴当、P、在一条直线上时，P+ PB 最小， 作E⊥B 于E， ∵∠B＝45°， ∴E＝BE＝ B＝1， ∴E＝B﹣BE＝3， ∴＝ ＝ ， ∴P+ PB 最小值＝＝ ， ∵ P+PB＝ （P+ PB）， ∴ P+PB 的最小值是 ＝ ＝2 ． 故答是2 ． 2．如图，扇形B 中，∠B＝90°，＝6，是的中点，D 是B 上一点，D＝5，P 是 上一动点， 则P+ PD 的最小值为 ． 解：如图，延长使E＝B，连接E，EP，P， ∵＝B＝6，分别是的中点， ∴E＝12，P＝6，＝＝3， ∴ ＝ ＝ ，且∠P＝∠EP ∴△PE∽△P ∴ ＝ ＝ ， ∴EP＝2P， ∴P+ PD＝ （2P+PD）＝ （PD+PE）， ∴当点E，点P，点D 三点共线时，P+ PD 的值最小， ∵DE＝ ＝ ＝13， ∴PD+PE≥DE＝13， ∴PD+PE 的最小值为13， ∴P+ PD 的值最小值为 ． 故答为： ． 3．如图，半圆的半径为1，B 为直径，、BD 为切线，＝1，BD＝2，P 为弧B 上一动点， 则 P+PD 的最小值为 ． 解：∵是⊙的切线， ∴∠＝90°， ∴＝ ＝ ， 取的中点，连接P，D， ∵ ， ， ∴ ， 又∠是公共角， ∴△P∽△P， ∴ ＝ ＝ ， ∴P＝ P， ∴ P+PD＝P+PD， ∴当D、P、在一条直线上时， P+PD 最小＝D， 作F⊥B 于F，E⊥BD 于E， ∵BE＝F＝ ＝ ， ∴DE＝BD﹣BE＝ ， E＝BF＝B+F＝ ， ∴D＝ ＝ ， ∴ P+PD 最小＝D＝ ． 故答是： ． 4．在Rt△B 中，∠B＝90°，＝8，B＝10，以为圆心，4 为半径作圆，交两边于点，D，P 为 劣弧D 上一动点，则 P+PB 最小值为 2 ． 解：如图， 连接P，取的中点E， ∵ ，∠PE＝∠P， ∴△PE∽△P， ∴ ＝ ， ∴ P+PB＝PE+PB， ∵PE+PB≥BE， ∴当B、P、E 共线时，PE+PB 最小， ∵E＝ ＝2，B＝10， ∴BE＝ ＝ ＝2 ， ∴ P+PB 的最小值是2 ． 5．如图，在边长为6 的正方形BD 中，M 为B 上一点，且BM＝2，为边B 上一动点，连接 M，点B 关于M 对称，对应点为P，连接P，P，则P+2P 的最小值为 6 ． 解：∵B、P 关于M 对称，BM＝2， ∴PM＝2， 如图所示，则点P 在以M 为圆心，BM 为半径的圆上， 在线段M 上取一个点E，使得ME＝1， 又∵M＝6 2 ﹣＝4，MP＝2， ∴ ， ， ∴ ， 又∵∠EMP＝∠PM， ∴△EMP∽△PM， ∴ ， ∴ ， ∴P+2P＝2（ ）＝2（P+PE）≥2E， 如图所示，当且仅当P、、E 三点共线时取得最小值2E， ∵E＝ ， ∴P+2P 的最小值为6 ． 6．如图，矩形BD 中，B＝2，D＝4，M 点是B 的中点，为圆心，B 为半径的圆交D 于点 E．点P 在 上运动，则PM+ DP 的最小值为 ． 解：取E 的中点K，连接PK，KM，作K⊥B 于，则四边形BK 是矩形．可得K＝B＝1， K＝B＝2． ∵P＝2，K＝1，D＝4， ∴P2＝K•D， ∴ ＝ ， ∵∠KP＝∠PD， ∴△PK∽△DP， ∴ ＝ ＝ ， ∴PK＝ PD， ∴PM+ PD＝PM+PK， ∵PM+PK≥KM，KM＝ ＝ ， ∴PM+PK≥ ， ∴PM+ DP 的最小值为 ， 故答为 ． 7．如图，在△B 中，∠＝90°，B＝3，＝4，D 为的中点，以为圆心，D 为半径作交B 于点 E，P 为劣弧DE 上一动点，连接PB、P，则P+ PB 的最小值为 ． 解：在B 上取F，使F＝ ，连接F 与⊙的交点即是满足条件的点P，连接P，如图： ∵D＝ ＝2， ∴P＝D＝2， ∵B＝3，F＝ ， ∴P2＝F•B， ∵∠PB＝∠FP， ∴△PB∽△FP， ∴ ＝ ＝ ， ∴PF＝ PB， ∴P+ PB＝P+PF＝F， 根据两点之间线段最短，此时P+ PB＝F 最小， ∴P+ PB 最小值为F＝ ＝ ＝ ， 故答为： ． 8．如图，在平面直角坐标系中，（2，0）、B（0，2）、（4，0）、D（3，2），P 是△B 外部的第一象限内一动点，且∠BP＝135°，则2PD+P 的最小值是 4 ． 解：如图，取一点T（1，0），连接P，PT，TD， ∵（2，0）、B（0，2）、（4，0）， ∴＝B＝2，＝4， 以为圆心为半径作⊙，在优弧B 上取一点Q，连接QB，Q， ∵∠Q＝ B＝45°，∠PB＝135°， ∴∠Q+∠PB＝180°， ∴、P、B、Q 四点共圆， ∴P＝＝2， ∵P＝2，T＝1，＝4， ∴P2＝•T， ∴ ， ∵∠PT＝∠P， ∴△PT∽△P， ∴ ， ∴PT＝ ， 2 ∴PD+P＝2（PD+ P）＝2（PD+PT）， ∵PD+PT≥DT，DT＝ ＝2 ， 2 ∴PD+P ， 2 ∴PD+P 的最小值是4 ． 故答为：4 ． 9．如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，＝3，B＝2，⊙的半径为1，M 为⊙上一动点，求M+ BM 的最小值． 解：如图，连接M，在B 上取点，使＝ ，连接M，， ∵B＝2，⊙的半径为1， ∴ ， ∵∠M＝∠M， ∴△M∽△BM， ∴ ， ∴M＝ ， ∴M+ BM＝M+M， ∴M+ BM 的最小值即为M+M 的最小值， ∴、M、三点共线时，M+M 最小， 在Rt△中，由勾股定理得： ＝ ． ∴M+ BM 的最小值为 ． 10．问题提出：如图1，在等边△B 中，B＝12，⊙半径为6，P 为圆上一动点，连接P， BP，求P+ BP 的最小值． （1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接P，在B 上 取点D，使D＝3，则有 ＝ ＝ ，又∵∠PD＝∠BP，∴△PD∽△BP， ∴ ＝ ，∴PD＝ BP，∴P+ BP＝P+PD． 请你完成余下的思考，并直接写出答：P+ BP 的最小值为 3 ． （2）自主探索：如图3，矩形BD 中，B＝7，B＝9，P 为矩形内部一点，且PB＝3， P+P 的最小值为 5 ． （3）拓展延伸：如图4，扇形D 中，为圆心，∠D＝120°，＝4，＝2，B＝3，点P 是 上一点，求2P+PB 的最小值，画出示意图并写出求解过程． 解：（1）解：（1）如图1， 连接D，过点作F⊥B 于点F， ∵P+ BP＝P+PD，要使P+ BP 最小， ∴P+D 最小，当点，P，D 在同一条直线时，P+D 最小， 即：P+ BP 最小值为D， ∵＝12，F⊥B，∠B＝60°， ∴F＝6，F＝6 ， ∴DF＝F﹣D＝6 3 ﹣＝3， ∴D＝ ＝3 ， ∴P+ BP 的最小值为3 ； （2）如图， 在B 上截取BF＝1，连接PF，P， ∵B＝9，PB＝3，BF＝1， ∴ ，且∠BP＝∠BP， ∴△BP∽△PBF， ∴ ， ∴PF＝ P， ∴ P+P＝PF+P， ∴当点F，点P，点三点共线时， P+P 的值最小， ∴F＝ ＝ ＝5 ， ∴ P+P 的值最小值为5 ； （3）如图， 延长，使F＝4，连接BF，P，PF，过点F 作FM⊥D 于点M， ∵＝4，F＝4， ∴F＝8，且P＝4，＝2， ∴ ，且∠P＝∠P， ∴△P∽△PF， ∴ ， ∴PF＝2P， 2 ∴P+PB＝PF+PB， ∴当点F，点P，点B 三点共线时，2P+PB 的值最小， ∵∠D＝120°， ∴∠FM＝60°，且F＝8，FM⊥M， ∴M＝4，FM＝4 ， ∴MB＝M+B＝4+3＝7， ∴FB＝ ＝ ， 2 ∴P+PB 的最小值为 ． 11．（1）如图1，已知正方形BD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个动点， 则PD+ P 的最小值为 ，PD﹣ P 的最大值为 ． （2）如图2，已知菱形BD 的边长为4，∠B＝60°，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一 个动点，求PD+ P 的最小值，以及PD﹣ P 的最大值． 解：（1）如图1， 在B 上截取BE＝ ， ∴ ， ∵∠PBE＝∠PB， ∴△PBE∽△BP， ∴ ， ∴PE＝ P， ∴PD+ P＝PD+PE≥DE， PD﹣ P＝PD﹣PE≤DE， ∵四边形BD 是正方形， ∴∠BD＝90°， ∴DE＝ ＝ ＝ ， ∴PD+ P 的最小值为： ，此时点P 在P′处， PD﹣ P 的最大值为： ，此时点P 在P″处， 故答为： ， ； （2）如图2， 在B 上截取BE＝1，作DF⊥B 交B 的延长线于F， ∴ ， ∵∠PBE＝∠PB， ∴△PBE∽△BP， ∴ ， ∴PE＝ P， ∴PD+ P＝PD+PE≥DE， PD﹣ P＝PD﹣PE≤DE， 在Rt△DF 中，∠DF＝∠B＝60°，D＝4， ∴F＝4•s60°＝2，DF＝4•s60°＝2 ， 在Rt△DEF 中，DF＝2 ，EF＝E+F＝3+2＝5， ∴DE＝ ＝ ， ∴PD+ P 的最小值为： ，此时点P 在P′处 PD﹣ P 的最大值为： ，此时点P 在P″处 12．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 已知平面上两点、B，则所有符合 ＝k（k＞0 且k≠1）的点P 会组成一个圆．这个结 论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆． 阿氏圆基本解法：构造三角形相似． 【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x 轴，y 轴上分别有点（m，0），D （0，），点P 是平面内一动点，且P＝r，设 ＝k，求P+kPD 的最小值． 阿氏圆的关键解题步骤： 第一步：如图1，在D 上取点M，使得M：P＝P：D＝k； 第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接M，此时M 即为所求的最小值． 下面是该题的解答过程（部分）： 解：在D 上取点M，使得M：P＝P：D＝k， 又∵∠PD＝∠MP，∴△PM∽△DP． 任务： （1）将以上解答过程补充完整． （2）如图2，在Rt△B 中，∠B＝90°，＝4，B＝3，D 为△B 内一动点，满足D＝2，利用 （1）中的结论，请直接写出D+ BD 的最小值． 解（1）在D 上取点M，使得M：P＝P：D＝k， 又∵∠PD＝∠MP， ∴△PM∽△DP． ∴MP：PD＝k， ∴MP＝kPD， ∴P+kPD＝P+MP，当P+kPD 取最小值时，P+MP 有最小值，即，P，M 三点共线时有最 小值， 利用勾股定理得 ． （2）∵＝m＝4， ＝ ，在B 上取一点M，使得M＝ D＝ ， ∴ 的最小值为 ． 13．（1）如图1，已知正方形BD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点， 求PD+ 的最小值和PD﹣ 的最大值； （2）如图2，已知正方形BD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点， 那么PD+ 的最小值为 ，PD﹣ 的最大值为 ． （3）如图3，已知菱形BD 的边长为4，∠B＝60°，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一 个动点，那么PD+ 的最小值为 ，PD﹣ 的最大值为 ． 解：（1）如图1 中，在B 上取一点G，使得BG＝1． ∵ ＝ ＝2， ＝ ＝2， ∴ ＝ ，∵∠PBG＝∠PB， ∴△PBG∽△BP， ∴ ＝ ＝ ， ∴PG＝ P， ∴PD+ P＝DP+PG， ∵DP+PG≥DG， ∴当D、G、P 共线时，PD+ P 的值最小，最小值为DG＝ ＝5． ∵PD﹣ P＝PD﹣PG≤DG， 当点P 在DG 的延长线上时，PD﹣ P 的值最大（如图2 中），最大值为DG＝5． （2）如图3 中，在B 上取一点G，使得BG＝4． ∵ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ∴ ＝ ，∵∠PBG＝∠PB， ∴△PBG∽△BP， ∴ ＝ ＝ ， ∴PG＝ P， ∴PD+ P＝DP+PG， ∵DP+PG≥DG， ∴当D、G、P 共线时，PD+ P 的值最小，最小值为DG＝ ＝ ． ∵PD﹣ P＝PD﹣PG≤DG， 当点P 在DG 的延长线上时，PD﹣ P 的值最大，最大值为DG＝ ． 故答为 ， （3）如图4 中，在B 上取一点G，使得BG＝1，作DF⊥B 于F． ∵ ＝ ＝2， ＝ ＝2， ∴ ＝ ，∵∠PBG＝∠PB， ∴△PBG∽△BP， ∴ ＝ ＝ ， ∴PG＝ P， ∴PD+ P＝DP+PG， ∵DP+PG≥DG， ∴当D、G、P 共线时，PD+ P 的值最小，最小值为DG， 在Rt△DF 中，∠DF＝60°，D＝4， ∴DF＝D•s60°＝2 ，F＝2， 在Rt△GDF 中，D