模型17 阿氏圆最值问题（原卷版）(1)

背景故事：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知、B 两点，点P 满足P： PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P 的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊 数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆” A B P O 模型建立：当点P 在一个以为圆心，r 为半径的圆上运动时，如图所示： 易证：△BP∽△P， ，∴对于圆上任意一点P 都有 对于任意一个圆，任意一个k 的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的 位置选取、B 点，则需 R【技巧总结】计算 的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似 三角形 问题：在圆上找一点P 使得 的值最小，解决步骤具体如下： ①如图，将系数不为1 的线段两端点与圆心相连即P，B 模型介绍 ②计算出这两条线段的长度比 ③在B 上取一点，使得 ，即构造△PM BP ∽△ ，则 ， ④则 ，当、P、三点共线时可得最小值 【例1】．如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝4，＝6，⊙半径为2，P 为圆上一动点，连接 P，BP，则P+ BP 的最小值为________ 变式训练 【变式1-1】．如图，正方形BD 的边长为4，⊙B 的半径为2，P 为⊙B 上的动点，则PD+ P 的最小值等于 ． 【变式1-2】．如图，在△B 中，∠＝90°，B＝＝4，点E、F 分别是边B、的中点，点P 是 以为圆心、以E 为半径的圆弧上的动点，则 的最小值为 ． 例题精讲 【变式1-3】．如图，在直角坐标系中，以原点为圆心作半径为4 的圆交x 轴正半轴于点， 点M 的坐标为（6，3），点的坐标为（8，0），点P 在圆上运动．则PM+ P 的最小值 是 ． 【例2】．如图，在⊙中，点、点B 在⊙上，∠B＝90°，＝6，点在上，且＝2，点D 是B 的 中点，点M 是劣弧B 上的动点，则M+2DM 的最小值为 ． 变式训练 【变式2-1】．⊙半径为2，B，DE 为两条直线．作D⊥B 于，且为中点，P 为圆上一个动 点．求2P+PE 的最小值． 【变式2-2】．如图，在扇形D 中，∠D＝90°，＝3，点在D 上，D＝1，点B 为的中点， 点E 是弧D 上的动点，则E+2EB 的最小值是 ． 【变式2-3】．如图，等边△B 的边长6，内切圆记为⊙，P 是⊙上一动点，则2PB+P 的最 小值为 ． 1．如图，边长为4 的正方形，内切圆记为圆，P 为圆上一动点，则 P+PB 的最小值为 ． 2．如图，扇形B 中，∠B＝90°，＝6，是的中点，D 是B 上一点，D＝5，P 是 上一动点， 则P+ PD 的最小值为 ． 3．如图，半圆的半径为1，B 为直径，、BD 为切线，＝1，BD＝2，P 为弧B 上一动点， 则 P+PD 的最小值为 ． 4．在Rt△B 中，∠B＝90°，＝8，B＝10，以为圆心，4 为半径作圆，交两边于点，D，P 为 劣弧D 上一动点，则 P+PB 最小值为 ． 5．如图，在边长为6 的正方形BD 中，M 为B 上一点，且BM＝2，为边B 上一动点，连接 M，点B 关于M 对称，对应点为P，连接P，P，则P+2P 的最小值为 ． 6．如图，矩形BD 中，B＝2，D＝4，M 点是B 的中点，为圆心，B 为半径的圆交D 于点 E．点P 在 上运动，则PM+ DP 的最小值为 ． 7．如图，在△B 中，∠＝90°，B＝3，＝4，D 为的中点，以为圆心，D 为半径作交B 于点 E，P 为劣弧DE 上一动点，连接PB、P，则P+ PB 的最小值为 ． 8．如图，在平面直角坐标系中，（2，0）、B（0，2）、（4，0）、D（3，2），P 是△B 外部的第一象限内一动点，且∠BP＝135°，则2PD+P 的最小值是 ． 9．如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，＝3，B＝2，⊙的半径为1，M 为⊙上一动点，求M+ BM 的最小值． 10．问题提出：如图1，在等边△B 中，B＝12，⊙半径为6，P 为圆上一动点，连接P， BP，求P+ BP 的最小值． （1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接P，在B 上 取点D，使D＝3，则有 ＝ ＝ ，又∵∠PD＝∠BP，∴△PD∽△BP， ∴ ＝ ，∴PD＝ BP，∴P+ BP＝P+PD． 请你完成余下的思考，并直接写出答：P+ BP 的最小值为 ． （2）自主探索：如图3，矩形BD 中，B＝7，B＝9，P 为矩形内部一点，且PB＝3， P+P 的最小值为 ． （3）拓展延伸：如图4，扇形D 中，为圆心，∠D＝120°，＝4，＝2，B＝3，点P 是 上一点，求2P+PB 的最小值，画出示意图并写出求解过程． 11．（1）如图1，已知正方形BD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个动点， 则PD+ P 的最小值为 ，PD﹣ P 的最大值为 ． （2）如图2，已知菱形BD 的边长为4，∠B＝60°，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一 个动点，求PD+ P 的最小值，以及PD﹣ P 的最大值． 12．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 已知平面上两点、B，则所有符合 ＝k（k＞0 且k≠1）的点P 会组成一个圆．这个结 论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆． 阿氏圆基本解法：构造三角形相似． 【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x 轴，y 轴上分别有点（m，0），D （0，），点P 是平面内一动点，且P＝r，设 ＝k，求P+kPD 的最小值． 阿氏圆的关键解题步骤： 第一步：如图1，在D 上取点M，使得M：P＝P：D＝k； 第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接M，此时M 即为所求的最小值． 下面是该题的解答过程（部分）： 解：在D 上取点M，使得M：P＝P：D＝k， 又∵∠PD＝∠MP，∴△PM∽△DP． 任务： （1）将以上解答过程补充完整． （2）如图2，在Rt△B 中，∠B＝90°，＝4，B＝3，D 为△B 内一动点，满足D＝2，利用 （1）中的结论，请直接写出D+ BD 的最小值． 13．（1）如图1，已知正方形BD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点， 求PD+ 的最小值和PD﹣ 的最大值； （2）如图2，已知正方形BD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点， 那么PD+ 的最小值为 ，PD﹣ 的最大值为 ． （3）如图3，已知菱形BD 的边长为4，∠B＝60°，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一 个动点，那么PD+ 的最小值为 ，PD﹣ 的最大值为 ． 14．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+与直线B 交于（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线：y＝﹣ x 6 ﹣交y 轴于点．点E 是直线B 上的动点，过点E 作EF⊥x 轴交于点F，交抛物线于 点G． （1）求抛物线y＝﹣x2+bx+的表达式； （2）连接GB，E，当四边形GEB 是平行四边形时，求点G 的坐标； （3）①在y 轴上存在一点，连接E，F，当点E 运动到什么位置时，以，E，F，为顶 点的四边形是矩形？求出此时点E，的坐标； ②在①的前提下，以点E 为圆心，E 长为半径作圆，点M 为⊙E 上一动点，求 M+M 它的最小值． 15．如图，已知二次函数y＝x2+bx+的图象经过点（2，﹣3），且与x 轴交于原点及点B （8，0）． （1）求二次函数的表达式； （2）求顶点的坐标及直线B 的表达式； （3）判断△B 的形状，试说明理由； （4）若点P 为⊙上的动点，且⊙的半径为2 ，一动点E 从点出发，以每秒2 个单位 长度的速度沿线段P 匀速运动到点P，再以每秒1 个单位长度的速度沿线段PB 匀速运 动到点B 后停止运动，求点E 的运动时间t 的最小值．