上的动点，则当在何处时，∠B 最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题 M O N A B C 米勒定理： 已知点B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的一动点，则当且仅当三角形 B 的外圆与边M 相切于点时，∠B 最大 证明： 如图1，设’是边M 上不同于点的任意一点，连结，B，因为∠’B 是圆外角， ∠B 是圆周角，易证∠’B 小于∠B，故∠B 最大。 模型介绍 勒定理解题，这将会突破思维瓶 颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。 否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。 【例1】．平面直角坐标系内，已知点（1，0），B（5，0），（0，t）．当t＞0 时，若 ∠B 最大，则t 的值为（ ） ． B． ． D． 解：如图①，作过、B 两点的⊙M 与y 轴相切于点， ' ∵∠B＜∠PB， （1）证明：当在MD 上或在M 上时，如图， 显然∠M＞∠MD（三角形的外角大于不相邻的内角）， 当不在MD 上或在M 上时，如图， 设MD 与圆交于E 点，连接E， 则∠ME＝∠M（同弧上的圆周角相等）， 而∠ME＞∠MD， ∴∠M＞∠MD； （2）解：设过M、作圆F 与相切于点Q， 由（1）知：∠MQ 即为所求角， 作M 的垂直平分线分别交、B 于G、， 则圆心F 在G 上，

上的动点，则当在何处时，∠B 最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题 M O N A B C 米勒定理： 已知点B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的一动点，则当且仅当三角形 B 的外圆与边M 相切于点时，∠B 最大 证明： 如图1，设’是边M 上不同于点的任意一点，连结，B，因为∠’B 是圆外角， ∠B 是圆周角，易证∠’B 小于∠B，故∠B 最大。 模型介绍 勒定理解题，这将会突破思维瓶 颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。 否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。 【例1】．平面直角坐标系内，已知点（1，0），B（5，0），（0，t）．当t＞0 时，若 ∠B 最大，则t 的值为（ ） ． B． ． D． 变式训练 例题精讲 【变式1-1】．如图，在正方形BD 中，边长为4，M 表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点表示射门点，连接， B，则∠B 就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能 性就越大．球员甲带球线路ED 与球门B 垂直，D 为垂足，点在ED 上，当∠B 最大时就 是带球线路ED 上的最佳射门角．若B＝4，BD＝1，则当球员甲在此次带球中获得最佳 射门角时D 的长度为（ ） ．2 B．3 ． D． 3．已知点、B 的坐标分别是（0，1）、（0，3），点为x

上的动点，则当在何处时，∠B 最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题 M O N A B C 米勒定理： 已知点B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的一动点，则当且仅当三角形 B 的外圆与边M 相切于点时，∠B 最大 证明： 如图1，设’是边M 上不同于点的任意一点，连结，B，因为∠’B 是圆外角， ∠B 是圆周角，易证∠’B 小于∠B，故∠B 最大。 模型介绍 勒定理解题，这将会突破思维瓶 颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。 否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。 【例1】．平面直角坐标系内，已知点（1，0），B（5，0），（0，t）．当t＞0 时，若 ∠B 最大，则t 的值为（ ） ． B． ． D． 解：如图①，作过、B 两点的⊙M 与y 轴相切于点， ' ∵∠B＜∠PB， （1）证明：当在MD 上或在M 上时，如图， 显然∠M＞∠MD（三角形的外角大于不相邻的内角）， 当不在MD 上或在M 上时，如图， 设MD 与圆交于E 点，连接E， 则∠ME＝∠M（同弧上的圆周角相等）， 而∠ME＞∠MD， ∴∠M＞∠MD； （2）解：设过M、作圆F 与相切于点Q， 由（1）知：∠MQ 即为所求角， 作M 的垂直平分线分别交、B 于G、， 则圆心F 在G 上，

上的动点，则当在何处时，∠B 最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题 M O N A B C 米勒定理： 已知点B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的一动点，则当且仅当三角形 B 的外圆与边M 相切于点时，∠B 最大 证明： 如图1，设’是边M 上不同于点的任意一点，连结，B，因为∠’B 是圆外角， ∠B 是圆周角，易证∠’B 小于∠B，故∠B 最大。 模型介绍 勒定理解题，这将会突破思维瓶 颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。 否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。 【例1】．平面直角坐标系内，已知点（1，0），B（5，0），（0，t）．当t＞0 时，若 ∠B 最大，则t 的值为（ ） ． B． ． D． 变式训练 例题精讲 【变式1-1】．如图，在正方形BD 中，边长为4，M 表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点表示射门点，连接， B，则∠B 就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能 性就越大．球员甲带球线路ED 与球门B 垂直，D 为垂足，点在ED 上，当∠B 最大时就 是带球线路ED 上的最佳射门角．若B＝4，BD＝1，则当球员甲在此次带球中获得最佳 射门角时D 的长度为（ ） ．2 B．3 ． D． 3．已知点、B 的坐标分别是（0，1）、（0，3），点为x

专题02 三角形中的倒角模型-飞镖模型、风筝模型、角内翻模型 近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和 定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就飞镖型、风筝模型 进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1、“飞镖”模型（“燕尾”模型） 图1 ，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发 现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四 边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个 内角之和． （即如图 1，∠DB=∠＋∠B＋∠ ）理由如下： 方法一：如图 2，连接 B，则在△B 中，∠+∠B+∠B=180°，即∠1+ 是∠BD 的平分线，E 与 BF 交于 G， 若∠DB=150°，∠GB=110°， 请你直接写出∠ 的大小． 【答】(1)三角形内角和定理（或三角形的内角和等于 180°）；(2)见解析；(3)70° 【分析】（1）根据三角形内角和定理，即可求解；（2）根据三角形外角的性质可得∠1= 2+ ∠ ∠， ∠3= 4+ ∠ ∠B，从而得到∠1+ 3= 2+ + 4+ ∠ ∠ ∠∠ ∠B，即可求

专题02 三角形中的倒角模型-飞镖模型、风筝模型、角内翻模型 近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和 定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就飞镖型、风筝模型 进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1、“飞镖”模型（“燕尾”模型） 图1 ，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发 现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四 边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个 内角之和． （即如图 1，∠DB=∠＋∠B＋∠ ）理由如下： 方法一：如图 2，连接 B，则在△B 中，∠+∠B+∠B=180°，即∠1+ 秋·广西八年级期中）如图， ， 的角平分线交于点 ，若 ， ， 则 的度数（ ） ． B． ． D． 例4（2023·广东·八年级期中）如图，在三角形B 中， ，为三角形内任意一点，连结P，并 延长交B 于点D 求证：（1） ；（2） 例5．（2023·福建三明·八年级统考期末）如图1 所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这 样图形叫做“箭头四角形”． 探究：（1）观察“箭头四角形”，试探究

相似三角形8 种模型 （字、8 字、射影定理、一线三等角、线束模型、三角形内接矩形、三平行模型、 手拉手模型） 目 录 题型01 字模型 题型02 8 字模型 题型03 射影定理 题型04 一线三等角模型 题型05 线束模型 题型06 三角形内接矩形模型 题型07 三平行模型 题型08 手拉手模型（旋转模型） 相似三角形的判定方法： 1）平行于三角形一边的 1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2）两个三角形相似的判定定理： ①三边成比例的两个三角形相似； ②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ③两角分别相等的两个三角形相似． ④斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似 题型01 字模型 已知 图示 结论（性质） 若DE∥B ①∆DE~∆B ②AD AB = AE AC = DE BC 若∠1=∠2 面积的2 9； （2）当以点，M，为顶点的三角形与△BD 相似时，求t 值． 6．（2020 上·河南郑州·九年级校考阶段练习）如图，已知D 是B 的中点，M 是D 的中点．求AN : NC的 值． 7．（2022 下·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）定义：如图，若点P 在三角形的一条边上，且满足 ∠1=∠2，则称点P 为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D 是△ABC的边B

相似三角形8 种模型 （字、8 字、射影定理、一线三等角、线束模型、三角形内接矩形、三平行模型、 手拉手模型） 目 录 题型01 字模型 题型02 8 字模型 题型03 射影定理 题型04 一线三等角模型 题型05 线束模型 题型06 三角形内接矩形模型 题型07 三平行模型 题型08 手拉手模型（旋转模型） 相似三角形的判定方法： 1）平行于三角形一边的 1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2）两个三角形相似的判定定理： ①三边成比例的两个三角形相似； ②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ③两角分别相等的两个三角形相似． ④斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似 题型01 字模型 已知 图示 结论（性质） 若DE∥B ①∆DE~∆B ②AD AB = AE AC = DE BC 若∠1=∠2 在BC上，连接CD，AE交于点F，若∠CFE=45°，BD=2 AD，则CE＝ ． 【答】2 【分析】过D 作DH垂直AC于点，过D 作DG∥AE交B 于G 点，先利用解直角三角形求出CD的长，其 次利用△CDG∽△CBD，求出CG的长，得出BG的长，最后利用△BDG∽△BAE，求出BE的长，最 后得出答． 【详解】解：如图：过D 作DH垂直AC于点，过D 作DG∥AE交BC于G

专题11 三角形中的重要模型之等直内接等直模型与等直+高分模型 等腰直角三角形，是初中数学中重要的特殊三角形，性质非常丰富！常见常用的性质大都以“等腰三 角形”、“直角三角形”、“对称”、“旋转拼接”、“勾股比 ”、“45°辅助线”、“半个正方 形”等角度拓展延伸，常在选填题中以压轴的形式出现。今天在解题探究学习中，碰到一道以等腰直角三 角形为背景的几何题，有些难度，同时获得一连串等腰直角 三角形的“固定性质”，并且具有“思维连贯 性”+“思路延展性”，结合常用条件，可以“伴生”解决好多等腰直角三角形的几何问题！ ....................................................................................................................................... ..........2 模型1 等直内接等直模型............................................................................................................................... 2 模型2 等直+高分线模型................................

专题14 三角形中的重要模型之帽子模型、等边截等长与等边内接等边模型 等腰（等边）三角形是中学阶段非常重要三角形，具有许多独特的性质和判定定理。中考数学的常客， 并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的相关能力。本专题将把等腰三角形的三类重要模型作系 统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 .......................................... ....................................2 模型1 等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型）......................................................................2 模型2 等边截等长模型（定角模型）............................................ .............................................................8 模型3 等边内接等边..............................................................................................................................