模型29 圆内最大张角之米勒角问题（解析版）(1)

B A O N M C 故事背景：米勒问题和米勒定理1471 年，德国数学家米勒向诺德尔授提出了如 下十分有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在 什么部位，视角最大？最大视角问题是数学史上100 个著名的极值问题中第一 个极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角 问题又称之为“米勒问题” 米勒问题： 已知点，B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的动点，则当在何处时，∠B 最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题 M O N A B C 米勒定理： 已知点B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的一动点，则当且仅当三角形 B 的外圆与边M 相切于点时，∠B 最大 证明： 如图1，设’是边M 上不同于点的任意一点，连结，B，因为∠’B 是圆外角， ∠B 是圆周角，易证∠’B 小于∠B，故∠B 最大。 模型介绍 D B A O N M C C' 米勒定理在解题中的应用 常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖 出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶 颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。 否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。 【例1】．平面直角坐标系内，已知点（1，0），B（5，0），（0，t）．当t＞0 时，若 ∠B 最大，则t 的值为（ ） ． B． ． D． 解：如图①，作过、B 两点的⊙M 与y 轴相切于点， ' ∵∠B＜∠PB， ∠PB＝∠B， 例题精讲 ' ∴∠B＜∠B， ∴⊙M 与y 轴相切于点时，∠B 最大． 如图②，作M⊥B，连接M、M、MB， ∵⊙M 与y 轴相切于点， ∴∠M＝90°， ∵（1，0），B（5，0）， ∴B＝4， ∵M⊥B， ∴＝ B＝2， ∴＝1+2＝3， ∴M＝M＝MB＝3， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选：． 变式训练 【变式1-1】．如图，在正方形BD 中，边长为4，M 是D 的中点，点P 是B 上一个动点， 当∠DPM 的度数最大时，则BP＝ 4 2 ﹣ ． 解：作△PMD 的外接圆，则圆心在DM 的中垂线上移动， ∵∠DM＝2∠DPM， ∴当∠DM 最大时，∠DPM 最大， 当⊙与B 相切时，∠DM 最大， ∵M 是D 的中点，D＝4， ∴M＝DM＝2， 连接P，则P⊥B， ∵∠＝90°，⊥D， ∴四边形P 是矩形， ∴P＝＝2+1＝3＝M， 在Rt△M 中，由勾股定理得， ＝ ＝ ＝2 ， 即P＝2 ， ∴BP＝B﹣P＝4 2 ﹣ ， 故答为：4 2 ﹣ ． 【变式1-2】．如图，∠B＝60°，M，是B 上的点，M＝4，M＝ ． （1）设⊙过点M、，、D 分别是M 同侧的圆上点和圆外点． 求证：∠M＞∠MD； （2）若P 是上的动点，求∠MP 的最大值． （1）证明：当在MD 上或在M 上时，如图， 显然∠M＞∠MD（三角形的外角大于不相邻的内角）， 当不在MD 上或在M 上时，如图， 设MD 与圆交于E 点，连接E， 则∠ME＝∠M（同弧上的圆周角相等）， 而∠ME＞∠MD， ∴∠M＞∠MD； （2）解：设过M、作圆F 与相切于点Q， 由（1）知：∠MQ 即为所求角， 作M 的垂直平分线分别交、B 于G、， 则圆心F 在G 上， 设FQ＝FM＝r， ∵∠B＝60°，∠G＝90°， ∴∠G＝30°， ∴FG＝2r，F＝ ＝ ， 则G＝ ， 解得r＝ ， 则∠MQ＝ ∠MF＝30°， ∴∠MP 的最大值为30°． 【例2】．在直角坐标系中，给定两点M（1，4），（﹣1，2），在x 轴的正半轴上，求 一点P，使∠MP 最大，则P 点的坐标为 （ 1 ， 0 ） ． 解：过点M、、P 三点的圆的圆心在线段M 的中垂线：y＝﹣x+3 上， ∠MP 为弦M 所对应的圆周角， ∴当圆的半径最小时有∠MP 最大， ∵P 在x 轴上运动， ∴当圆与x 轴相切时，圆的半径最小，即此时∠MP 最大． 设此时P 点坐标为：（p，0）， 则圆心Q 的坐标为（p，﹣p+3）， ∵MQ＝PQ， ∴（1﹣p）2+（p+1）2＝（3﹣p）2， 解得：p＝1 或p＝﹣6（舍）， ∴P 点坐标为（1，0）， 故答为：（1，0）． 变式训练 【变式2-1】．如图，某雕塑M 位于河段上，游客P 在步道上由点出发沿B 方向行走．已 知∠B＝30°，M＝2M＝40m，当观景视角∠MP 最大时，游客P 行走的距离P 是 20 米． 解：如图，取M 的中点F，过点F 作FE⊥B 于E，以直径M 作⊙F， ∵M＝2M＝40m，点F 是M 的中点， ∴MF＝F＝20m，F＝40m， ∵∠B＝30°，EF⊥B， ∴EF＝20m，E＝ EF＝20 m， ∴EF＝MF， 又∵EF⊥B， ∴B 是⊙F 的切线，切点为E， ∴当点P 与点E 重合时，观景视角∠MP 最大， 此时P＝20 m，故答为：20 ． 【变式2-2】．如图，在矩形BD 中，B＝6，D＝8，点E，F 分别是边D，B 上的动点，且 ∠FE＝90° （1）证明：△BF∽△FE； （2）当DE 取何值时，∠ED 最大． （1）证明：∵四边形BD 是矩形， ∴∠B＝∠＝90°， ∵∠FE＝90°， ∴∠FB+∠EF＝90°，∵∠EF+∠FE＝90°， ∴∠FB＝∠FE， ∴△BF∽△FE． （2）取E 的中点，连接D、F． ∵∠FE＝∠DE＝90°（对角互补）， ∴、D、E、F 四点共圆， ∴∠ED＝∠FD， ∴当⊙与B 相切时，∠FD 的值最大，易知BF＝F＝4， ∵△BF∽△FE， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴E＝ ， ∴DE＝D﹣E＝6﹣ ＝ ． ∴当DE＝ 时，∠ED 的值最大． 1．在平面直角坐标系中，点（0，2）、B（，+2）、（b，0）（＞0，b＞0），若B＝4 且∠B 最大时，b 的值为（ ） ．2+2 B．﹣2+2 ．2+4 D．﹣2+4 解：∵B（，+2） ∴点B 在y＝x+2 这条直线上， 又B＝4 ，（0，2）， ∴B（4，6）， 如图， 当△B 的外接圆与x 轴相切时，∠B 有最大值． 取点G 为B 中点， ∴G（2，4）， 过点G 且垂直于B 的直线为：y＝﹣x+6， 设圆心F（m，﹣m+6）， ∵F＝FB， ∴（﹣m+6）2＝（m 4 ﹣）2+（﹣m+6 6 ﹣）2 解得m＝2 2 ﹣． 故选：B． 2．如图，，B 表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点表示射门点，连接， B，则∠B 就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能 性就越大．球员甲带球线路ED 与球门B 垂直，D 为垂足，点在ED 上，当∠B 最大时就 是带球线路ED 上的最佳射门角．若B＝4，BD＝1，则当球员甲在此次带球中获得最佳 射门角时D 的长度为（ ） ．2 B．3 ． D． 解：当△DB∽△D 时，∠B 最大， ∴ ， ∴D2＝BD•D＝1×（1+4）＝5， ∴D＝ ， 故球员甲在此次带球中获得最佳射门角时D 的长度为 故选：． 3．已知点、B 的坐标分别是（0，1）、（0，3），点为x 轴正半轴上一动点，当∠B 最大 时，点的坐标是 （ ， 0 ） ． 解：过点、B 作⊙P，点⊙P 与x 轴相切于点时，∠B 最大， 连接P、PB、P，作P⊥y 轴于，如图， ∵点、B 的坐标分别是（0，1）、（0，3）， ∴＝1，B＝3 1 ﹣＝2， ∵P⊥B， ∴＝B＝1， ∴＝2， ∵点⊙P 与x 轴相切于点， ∴P⊥x 轴， ∴四边形P 为矩形， ∴P＝＝2， ∴P＝2， 在Rt△P 中，P＝ ＝ ＝ ， ∴点坐标为（ ，0）． 故答为（ ，0）． 4．如图，在矩形BD 中，B＝4，D＝8，M 是D 的中点，点P 是B 上一个动点，若∠DPM 的度数最大，则BP＝ 8 2 ﹣ ． 解：作△PMD 的外接圆，则圆心在DM 的中垂线上移动， ∵∠DM＝2∠DPM， ∴当∠DM 最大时，∠DPM 最大， 当⊙与B 相切时，∠DM 最大， ∵M 是D 的中点，D＝4， ∴M＝DM＝2， 连接P，则P⊥B， ∵∠＝90°，⊥D， ∴四边形P 是矩形， ∴P＝＝2+1＝3＝M， 在Rt△M 中，由勾股定理得， ＝ ＝ ＝2 ， 即P＝2 ， ∴BP＝B﹣P＝8 2 ﹣ ， 故答为：8 2 ﹣ ． 5．某童游乐场的平面图如图所示，场所工作人员想在D 边上的点P 处安装监控装置，用 来监控边上的B 段，为了让监控效果更佳，必须要求∠PB 最大，已知：∠D＝60°，＝ 400 米，B＝200 米，问在D 边上是否存在一点P，使得∠PB 最大？若存在，请求出 此时P 的长和，∠PB 的度数；若不存在，请说明理由． 解：如图，当经过，B 的⊙T 与D 相切于P 时，∠PB 的值最大， 作T⊥于，交D 于Q，连接T，TB，T．设TP＝T＝TB＝r， ∵T＝TB，T⊥B， ∴＝B＝100 （m）， ∵∠Q＝90°，∠＝60°，＝+＝（400+100 ）（m）， ∴Q＝ ＝（400 +300）（m），∠Q＝30°， ∴TQ＝2PT＝2r， ∵T＝ ＝ ， 2 ∴r+ ＝400 +300， 整理得：3r2﹣（1600 +1200）r+600000+240000 ＝0， ∴（r 200 ﹣ ）（3r 1000 ﹣ 1200 ﹣ ）＝0， ∴r＝200 或 （1000 +1200）（舍弃）， ∴T＝200 m， ∴T＝2， ∴∠T＝30°，∠TB＝2∠T＝60°， ∴∠PB＝ ∠TB＝30°， ∴P＝Q﹣PQ＝800+200 600 ﹣ ＝（200+200 ）（m）． 6．某商场引进消毒机器人每天进行全场消毒工作，该机器人采取精准直线喷射技术，实现 了准确、快速和节约的目标．在设置参数的时候，工作人员通过对商场门口身形高大的 “大黄蜂”进行多次消毒试验发现：如图，若对点进行消毒，适当调整机器人D 到B 的 距离，使得s（α﹣β）的值尽可能的大，能提高消毒的效率．已知“大黄蜂”B 身高25 米，机器人D 高04 米．则当s（α﹣β）最大时，机器人D 和“大黄蜂”B 之间距离B 等于 米 ． 如图，过点作F⊥E 于点F， 设B＝x 米， 根据题意得：D⊥BE，B⊥BE，B＝25 米，D＝04 米， ∴D∥B， ∴△DE∽△BE， ∴ ，即 ， 解得：E＝ x 米， ∵＝β+∠F， ∴∠F＝﹣β， ∴当s（﹣β）最大时，s∠F 最大， ∴（s∠F）2最大，即 最大， 在Rt△B 中，2＝B2+B2＝x2+ ＝ ， 在Rt△DE 中，DE2＝D2+E2＝ x2+ ， ∵ D•E＝ DE•F， ∴D2•E2＝DE2•F2， ∴F2＝ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ， ∵x≠0， ∴ ＝ ， ∵ 最大， 400 ∴ x2+ +4264 最小，即400x2+ 最小， ∵（ ﹣ ）2≥0，即400x2+ 2 ﹣ ≥0， 400 ∴ x2+ ≥2 ， ∴当 ＝ ，即x＝ 或 （舍去）时，400x2+ 最小， 即当s（α﹣β）最大时，机器人D 和“大黄蜂”B 之间距离B 为 米． 故答为： 米． 7．已知（2，0），B（6，0），B⊥x 轴于点B，连接 画图操作：（1）在y 轴正半轴上求作点P，使得∠PB＝∠B（尺规作图，保留作图痕 迹） 理解应用：（2）在（1）的条件下， ①若t∠PB＝ ，求点P 的坐标； ②当点P 的坐标为 （ 0 ， 2 ） 时，∠PB 最大 拓展延伸：（3）若在直线y＝ x+4 上存在点P，使得∠PB 最大，求点P 的坐标． 解：（1）∠PB 如图所示； （2）①如图2 中， ∵∠PB＝∠B， t ∴∠B＝t∠PB＝ ＝ ， ∵（2，0），B（6，0）， ∴B＝4，B＝8， ∴（6，8）， ∴的中点K（4，4）， 以K 为圆心K 为半径画圆，交y 轴于P 和P′， 易知P（0，2），P′（0，6）． ②当⊙K 与y 轴相切时，∠PB 的值最大， 此时K＝PK＝4，＝8， ∴B＝ ＝4 ， ∴（6，4 ）， ∴K（4，2 ）， ∴P（0，2 ）， 故答为（0，2 ）． （3）如图3 中，当经过B 的圆与直线相切时，且点P 在x 轴的上方时，∠PB 最大． ∵直线y＝ x+4 交x 轴于M（﹣3，0），交y 轴于（0，4）， ∵MP 是切线， ∴∠MP＝∠MBP，∵∠PM＝∠BMP， ∴△PM∽△BMP， ∴ ＝ ， ∴MP2＝M•MB， ∴MP＝3 ， 作PK⊥于K． ∵∥PK， ∴ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ， ∴PK＝ ，MK＝ ， ∴K＝ ﹣3， ∴P（ ﹣3， ）． 8．问题提出 （1）如图①，在矩形BD 中，B＝2D，E 为D 的中点，则∠EB ＞ ∠B（填“＞” “＜”“＝”）； 问题探究 （2）如图②，在正方形BD 中，P 为D 边上的一个动点，当点P 位于何处时，∠PB 最 大？并说明理由； 问题解决 （3）如图③，在一幢大楼D 上装有一块矩形广告牌，其侧面上、下边沿相距6 米（即 B＝6 米），下边沿到地面的距离BD＝116 米．如果小刚的眼睛距离地面的高度EF 为 16 米，他从远处正对广告牌走近时，在P 处看广告效果最好（视角最大），请你在图 ③中找到点P 的位置，并计算此时小刚与大楼D 之间的距离． 解：（1）∠EB＞∠B，理由如下： 如图1，过点E 作EF⊥B 于点F， ∵在矩形BD 中，B＝2D，E 为D 中点， ∴四边形DEF 是正方形， ∴∠EF＝45°， 同理，∠BEF＝45°， ∴∠EB＝90°． 而在直角△B 中，∠B＝90°， ∴∠B＜90°， ∴∠EB＞∠B． 故答为：＞； （2）当点P 位于D 的中点时，∠PB 最大，理由如下： 假设P 为D 的中点，如图2，作△PB 的外接圆⊙，则此时D 切⊙于点P， 在D 上取任意异于P 点的点E，连接E，与⊙交于点F，连接BE，BF， ∵∠FB 是△EFB 的外角， ∴∠FB＞∠EB， ∵∠FB＝∠PB， ∴∠PB＞∠EB， 故点P 位于D 的中点时，∠PB 最大： （3）如图3，过点E 作E∥DF 交D 于点，作线段B 的垂直平分线，垂足为点Q，并在垂 直平分线上取点，使＝Q， 以点为圆心，长为半径作圆，则⊙切E 于点G，连接G，并延长交DF 于点P，此时点P 即为小刚所站的位置， 由题意知DP＝Q＝ ， ∵＝Q＝BD+QB﹣D＝BD+ B﹣D， BD＝116 米， B＝3 米，D＝EF＝16 米， ∴＝116+3 16 ﹣ ＝13 米， ∴DP＝ 米， 即小刚与大楼D 之间的距离为4 米时看广告牌效果最好． 9．如图，在平面直角坐标系xy 中，点与点B 的坐标分别是（1，0），（7，0）． （1）对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果∠PB＝45°，那么称点P 为线段B 的“完美点”． ①设、B、P 三点所在圆的圆心为，则点的坐标是 （ 4 ， 3 ） ，⊙的半径是 3 ； ②y 轴正半轴上是否有线段B 的“完美点”？如果有，求出“完美点”的坐标；如果没 有，请说明理由； （2）若点P 在y 轴负半轴上运动，则当∠PB 的度数最大时，点P 的坐标为 （ 0 ，﹣ ） ． 解：（1）①∵点与点B 的坐标分别是（1，0），（7，0）， ∴＝1，B＝7． ∴B＝6． 过点作D⊥B 于点D，如图， 则D＝BD＝ B＝3． ∴D＝+D＝4． ∵∠PB＝45°， ∴∠B＝2∠PB＝90°，． ∵D⊥B，＝B， ∴D＝ B＝3． ∴（4，3）． ∴＝ ， ∴⊙的半径是3 ． 故答为：（4，3）；3 ； ②y 轴正半轴上有线段B 的“完美点”，理由： 设⊙交y 轴于点D，E，连接D，E，过点作G⊥D 于点G，F⊥B 于点F，如图， 则∠EB＝∠DB＝∠PB＝45°． ∴D，E 为y 轴正半轴上线段B 的“完美点”． 则 EG＝DG＝ DE，D＝E＝3 ． ∵G⊥DE，F⊥B，∠＝90°， ∴四边形FG 为矩形． ∴G＝F＝4，G＝F＝3． 在Rt△GE 中， ∵EG2＝E2﹣G2， ∴EG＝ ＝ ． ∴GE＝DG＝ ． ∴E＝G﹣GE＝3﹣ ，D＝G+DG＝3+ ． ∴E（0，3﹣ ），D（0，3+ ）． ∴y 轴正半轴上有线段B 的“完美点”，“完美点”的坐标为（0，3+ ）或（0，3﹣ ）； （2）设⊙与y 轴负半轴切于点P，在y 轴负半轴上任取一点Q（与点P 不重合）， 连接BQ，Q，BQ 与⊙交于点D，连接D，如图， 则∠PB＝∠DB， ∵∠DB＞∠QB， ∴∠PB＞∠QB． ∴当P 运动到⊙与y 轴相切时，∠PB 的度数最大． 连接P 并延长交⊙于点E，连接E，如图， ∵P 是⊙的切线， ∴P⊥P， ∴∠P+∠BE＝90°． ∵PE 为⊙的直径， ∴∠PE＝90°， ∴∠PE+∠E＝90°， ∴∠P＝∠E， ∴∠E＝∠BP， ∴∠P＝∠PB， ∵∠P＝∠PB＝90°， ∴△P∽△PB， ∴ ， ∴P2＝•B． ∴P＝ ． ∴P（0，﹣ ）．故答为（0，﹣ ）． 10．问题提出 （1）如图①，△B 内接于⊙，过点作⊙的切线l，在l 上任取一点D，连接BD、D，则 ∠B 与∠BD 的大小关系为 ∠ B ≥∠ BD ； 问题探究 （2）如图②，在矩形BD 中，B＝6，B＝8，点E 为D 边上一点，当∠BE 最大时，求 s∠BE 的值； 问题解决 （3）如图③，某商场在一部向下运行的手扶电梯B 的终点的正上方竖直悬挂一幅高度 DE＝4m 的广告画．已知广告画的最低点D 到地面的距离为65m，该电梯的高B 为4m， 它所占水平地面的长为8m．小明从点B 出发，站在该电梯上观看广告画DE，其观看视 角为∠DPE．已知小明的眼睛P 到脚底的距离PQ 为15m，电梯在竖直B 方向上的下降 速度为20m/s，求当小明站在电梯上多长时间时，∠DPE 取得最大值． 解：（1）设D 与圆交于点E，连接BE，如图， 则∠B＝∠BE， ∵∠BE 是△BDE 的外角， ∴∠BE＞∠BD， ∴∠B＞∠BD， 当点D 与点重合时，∠B＝∠BD， ∴∠B≥∠BD； 故答为：∠B≥∠BD； （2）作B 的垂直平分线PQ 交B 于点Q，交D 于点P，连接BP、P，作△PB 的外接圆圆， 圆与直线PQ 交于另一点，如图， 则PB＝P，圆心在P