42 图形的翻折 例 2023 年宜昌市中考第12 题 如图1，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边D 上的点′处，并得到折痕 DE，小宇测得长边D＝8，则四边形′EB 的周长为__________． 图1 例 2023 年本溪市铁岭市辽阳市中考第17 题 如图1，在三角形纸片B 中，B＝，∠B＝20°，点D 是边B 上的动点，将三角形纸片沿 D 对折，使点B 落在点B′处，当B′D⊥B

勾股定理 模型（二十二）——矩形翻折模型 一、折在外 ◎结论1：如图，矩形 中， ， ，将矩形沿 折叠，点 落在点 处，则重叠部分 的面积为多少？ 结论： ， 【证明】矩形 ，沿 折叠， ， ， ∴ ， ， ， ， ∴ ， ∴ ， ， 设 ，则 ，在 中， ，即 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ， ∴ ． 【结论2】如图，在矩形BD 中，B＝8，B＝4，将矩形BD 是矩形， ∴D B， ∠ ∴ D＝∠F， ∠ ∴ F＝∠F， ∴F＝F， 设F＝x，则F＝x，FB＝8﹣x， 在 中，由勾股定理得， ， 即 ， 解得x＝5， 即F＝5， 二、折在里 【结论3】如图，矩形BD，将△FD 沿F 折叠，使点D 的落点（E）在对角线上， 则E=－D，F=D－EF 【证明】∵△FD 沿F 折叠得△FE，∴△FD △FE 中，根据勾股定理，列出方程，解出即可得出的长． 【详解】解：设 ，则 ， ∵ ， ， ∴ ， 在 中， ∵ ， ∴ ， 解得： ， 即 ． 故选：B 【点睛】本题主要考查正方形的性质以及翻折变换，折叠问题其实质是轴对称变换．解题时，常常设要求 的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角 形，运用勾股定理列出方程求出答． 3．（2

专题 图形变换模型之翻折（折叠）模型 几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查 学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。 涉及翻折问题，以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以 及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。本专题以各类几个图形（三角 形、平行四边形、菱 形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【知识储备】 翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相 等的。以这个性质为基础，结合三角形、四边形、圆的性质，三角形相似，勾股定理设方程思想来考查。 解决翻折题型的策略： 1）利用翻折的性质：①翻折前后两个图形全等；②对应点连线被对称轴垂直平分； 2）结合相关图形的性质(三角 2）结合相关图形的性质(三角形，四边形等)；3）运用勾股定理或者三角形相似建立方程。 模型1 矩形中的翻折模型 【模型解读】 例1．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 ， 分别在 轴、 轴正半轴上，点 在 边上，将矩形 沿 折叠，点 恰好落在边 上的点 处．若 ，

勾股定理 模型（二十二）——矩形翻折模型 一、折在外 ◎结论1：如图，矩形 中， ， ，将矩形沿 折叠，点 落在点 处，则重叠部分 的面积为多少？ 结论： ， 【证明】矩形 ，沿 折叠， ， ， ∴ ， ， ， ， ∴ ， ∴ ， ， 设 ，则 ，在 中， ，即 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ， ∴ ． 【结论2】如图，在矩形BD 中，B＝8，B＝4，将矩形BD 是矩形， ∴D B， ∠ ∴ D＝∠F， ∠ ∴ F＝∠F， ∴F＝F， 设F＝x，则F＝x，FB＝8﹣x， 在 中，由勾股定理得， ， 即 ， 解得x＝5， 即F＝5， 二、折在里 【结论3】如图，矩形BD，将△FD 沿F 折叠，使点D 的落点（E）在对角线上， 则E=－D，F=D－EF 【证明】∵△FD 沿F 折叠得△FE，∴△FD △FE 2．（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践 数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓 展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣． 折一折：将正方形纸片BD 折叠，使边B、D 都落在对角线上，展开得折痕E、F，连接EF，如图1． （1） _________ ，写出图中两个等腰三角形：_________（不需要添加字母）；

专题 图形变换模型之翻折（折叠）模型 几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查 学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。 涉及翻折问题，以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以 及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。本专题以各类几个图形（三角 形、平行四边形、菱 形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【知识储备】 翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相 等的。以这个性质为基础，结合三角形、四边形、圆的性质，三角形相似，勾股定理设方程思想来考查。 解决翻折题型的策略： 1）利用翻折的性质：①翻折前后两个图形全等；②对应点连线被对称轴垂直平分； 2）结合相关图形的性质(三角 2）结合相关图形的性质(三角形，四边形等)；3）运用勾股定理或者三角形相似建立方程。 模型1 矩形中的翻折模型 【模型解读】 例1．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 ， 分别在 轴、 轴正半轴上，点 在 边上，将矩形 沿 折叠，点 恰好落在边 上的点 处．若 ，

专题37 图形变换模型之翻折（折叠）模型 几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查 学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。 涉及翻折问题，以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以 及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。本专题以各类几个图形（三角 形、平行四边形 形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【知识储备】 翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相 等的。以这个性质为基础，结合三角形、四边形、圆的性质，三角形相似，勾股定理设方程思想来考查。 解决翻折题型的策略： 1）利用翻折的性质：①翻折前后两个图形全等；②对应点连线被对称轴垂直平分； 2）结合相关图形的性质(三角 2）结合相关图形的性质(三角形，四边形等)；3）运用勾股定理或者三角形相似建立方程。 模型1 矩形中的翻折模型 【模型解读】 例1．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 ， 分别在 轴、 轴正半轴上，点 在 边上，将矩形 沿 折叠，点 恰好落在边 上的点 处．若 ，

专题37 图形变换模型之翻折（折叠）模型 几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查 学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。 涉及翻折问题，以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以 及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。本专题以各类几个图形（三角 形、平行四边形 形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【知识储备】 翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相 等的。以这个性质为基础，结合三角形、四边形、圆的性质，三角形相似，勾股定理设方程思想来考查。 解决翻折题型的策略： 1）利用翻折的性质：①翻折前后两个图形全等；②对应点连线被对称轴垂直平分； 2）结合相关图形的性质(三角 2）结合相关图形的性质(三角形，四边形等)；3）运用勾股定理或者三角形相似建立方程。 模型1 矩形中的翻折模型 【模型解读】 例1．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 ， 分别在 轴、 轴正半轴上，点 在 边上，将矩形 沿 折叠，点 恰好落在边 上的点 处．若 ，

二次函数中翻折及动点引起的图形存在性问题 思路指导： ·直角三角形的判定方法：勾股定理的逆定理；两锐角互余 ·等边三角形存在性问题：作出图形，利用60°、30°等特殊角在直角三角形中利 用三角函数知识求解三角形各边的长度； ·平行四边形存在性问题：表示出各点坐标，利用对角线上两对点的横坐标和相 等，纵坐标和相等列出方程，进而解答 题型一、三角形折叠与等边三角形存在性问题 1 （2019·成都中考）如图，抛物线 （2019·成都中考）如图，抛物线 经过点(－2,5)，与x 轴交于点B(－1,0)，(3,0) （1）求抛物线的函数表达式； （2）点D 在抛物线的对称轴上，且位于x 轴的上方，将△BD 沿直线BD 翻折得到△B’D 若点’恰好落 在抛物线的对称轴上，求点’和点D 的坐标； （3）设P 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q 在抛物线的对称轴上，当△PQ 为等边三角形时， 求直线BP 的解析式 O x y C B A C' D 【答】见解析 【解析】解：（1）由题意知， ∴ ，解得： ， ∴抛物线的函数表达式为： ； （2）由（1）知，抛物线的对称轴为：x=1， 由翻折知：B=B’=4， 设抛物线对称轴与x 轴交点为M， 则BM=M=2， ∠ ∴ B’M=30°， ∠ ∴ DM=30°，’M=2 ， 即’(1, 2 )， 在Rt△DM 中，DM=M·t30°=

重难点突破04 二次函数中的平移、翻折、 对称、旋转、折叠问题 目 录 题型01 二次函数平移问题 题型02 二次函数翻折问题 题型03 二次函数对称问题 题型04 二次函数旋转问题 题型05 二次函数折叠问题 题型01 二次函数平移问题 1 二次函数的平移变换 平移方式（＞0) 一般式y=x2+bx+ 顶点式y＝(x–) 2＋k 平移口诀 向左平移个单位 y=(x+)2+b(x+)+ ∴对于每一个确定的t值，直线PQ必经过定点R(−t ,−5)， ∴RT=5． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质， 一元二次方程根与系数的关系， 题型02 二次函数翻折问题 二次函数的翻转问题的解题思路： ①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式； ②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式； ③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转 (−1，0)． (1)求抛物线的解析式． (2)P是抛物线第一象限内的一个动点，过P作PH ⊥BC于H，求PH +2 HB的最大值． (3)M是抛物线对称轴上的一个动点，连接MB，把线段MB沿着直线BC翻折，M的对应点M '恰好落在抛 物线上，求M点坐标． 【答】(1)y=−x 2+2 x+3 (2)当t=1时，PH +2 HB有最大值，最大值为4 ❑ √5 (3)M点坐标为(1，17+5

重难点突破04 二次函数中的平移、翻折、 对称、旋转、折叠问题 目 录 题型01 二次函数平移问题 题型02 二次函数翻折问题 题型03 二次函数对称问题 题型04 二次函数旋转问题 题型05 二次函数折叠问题 题型01 二次函数平移问题 1 二次函数的平移变换 平移方式（＞0) 一般式y=x2+bx+ 顶点式y＝(x–) 2＋k 平移口诀 向左平移个单位 y=(x+)2+b(x+)+ 个单位长度得到抛物线y2，P，Q是抛物线y2 上两点，T是抛物线y2的顶点．对于每一个确定的t值，求证：矩形TPNQ的对角线PQ必过一定点R，并 求出此时线段TR的长． 题型02 二次函数翻折问题 二次函数的翻转问题的解题思路： ①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式； ②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式； ③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转 (−1，0)． (1)求抛物线的解析式． (2)P是抛物线第一象限内的一个动点，过P作PH ⊥BC于H，求PH +2 HB的最大值． (3)M是抛物线对称轴上的一个动点，连接MB，把线段MB沿着直线BC翻折，M的对应点M '恰好落在抛 物线上，求M点坐标． 9．（2023·江苏南京·南师附中新城初中校考二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则 称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点(−1