专题37 图形变换模型之翻折（折叠）模型（原卷版）

专题37 图形变换模型之翻折（折叠）模型 几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查 学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。 涉及翻折问题，以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以 及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。本专题以各类几个图形（三角 形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【知识储备】 翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相 等的。以这个性质为基础，结合三角形、四边形、圆的性质，三角形相似，勾股定理设方程思想来考查。 解决翻折题型的策略： 1）利用翻折的性质：①翻折前后两个图形全等；②对应点连线被对称轴垂直平分； 2）结合相关图形的性质(三角形，四边形等)；3）运用勾股定理或者三角形相似建立方程。 模型1 矩形中的翻折模型 【模型解读】 例1．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 ， 分别在 轴、 轴正半轴上，点 在 边上，将矩形 沿 折叠，点 恰好落在边 上的点 处．若 ， ，则点 的坐标是 ． 例2．（2023 春·江苏泰州·八年级统考期中）如图，在矩形 中， ， ，E 是 的中点， 将 沿直线 翻折，点落B 在点F 处，连结 ，则 的长为（ ） ．6 B． ． D． 例3．（2023·湖北·统考中考真题）如图，将边长为3 的正方形 沿直线 折叠，使点 的对应点 落在边 上（点 不与点 重合），点 落在点 处， 与 交于点 ，折痕分别与边 ， 交于点 ，连接 ．(1)求证： ；(2)若 ，求 的长． 例4．（2023 春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在矩形 中， ， ．点为矩形 的 对称中心，点E 为边 上的动点，连接 并延长交 于点F．将四边形 沿着 翻折，得到四 边形 ，边 交边 于点G，连接 ，则 的面积的最小值为（ ） ．18－3 B． ． D． 例5．（2023 春·辽宁抚顺·八年级校联考期中）如图，矩形纸片 中， ， ，点E、G 分 别在 上，将 、 分别沿 翻折，翻折后点与点F 重合，点B 与点P 重合．当、 P、F、E 四点在同一直线上时，线段 长为（ ） ． B． ． D． 例6．（2023·江苏盐城·统考中考真题）综合与实践 【问题情境】如图1，小华将矩形纸片 先沿对角线 折叠，展开后再折叠，使点 落在对角线 上，点 的对应点记为 ，折痕与边 ， 分别交于点 ， 【活动猜想】（1）如图2，当点 与点 重合时，四边形 是哪种特殊的四边形？答：_________ 【问题解决】（2）如图3，当 ， ， 时，求证：点 ， ， 在同一条直线上 【深入探究】（3）如图4，当 与 满足什么关系时，始终有 与对角线 平行？请说明理由 （4）在（3）的情形下，设 与 ， 分别交于点 ， ，试探究三条线段 ， ， 之间满足 的等量关系，并说明理由 模型2 正方形中的翻折模型 【模型解读】 例1．（2023·河南洛阳·统考二模）如图，正方形 的边长为4，点F 为 边的中点，点P 是 边上 不与端点重合的一动点，连接 ．将 沿 翻折，点的对应点为点E，则线段 长的最小值为 （ ） ． B． ． D． 例2．（2023·广西玉林·统考模拟预测）如图，在正方形BD 的边B 上取一点E，连接E，将△BE 沿E 翻折， 点B 恰好与对角线上的点F 重合，连接DF，若BE＝2，则△DF 的面积是（ ） ．1 B．3 ．6 D． 例3．（2023·广东九年级课时练习）如图，正方形 中， ，点E 在边 上，且 ．将 沿 对折至 ，延长 交边 于点G，连接 ，则下列结论：① ； ② ③ ；④G//F；其中正确的有 （填序号）． 例4．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，已知正方形 的边长为1，点E、F 分别在边 上，将正方形沿着 翻折，点B 恰好落在 边上的点 处，如果四边形 与四边形 的面积 比为3 5 ∶，那么线段 的长为 ． 例5．（2023·江苏·统考中考真题）综合与实践 定义：将宽与长的比值为 （ 为正整数）的矩 形称为 阶奇妙矩形．（1）概念理解：当 时，这个矩形为1 阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学 习过的黄金矩形，它的宽（ ）与长 的比值是_________． （2）操作验证：用正方形纸片 进行如下操作（如图（2））： 第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为 ，连接 ； 第二步：折叠纸片使 落在 上，点 的对应点为点 ，展开，折痕为 ； 第三步：过点 折叠纸片，使得点 分别落在边 上，展开，折痕为 ． 试说明：矩形 是1 阶奇妙矩形． （3）方法迁移：用正方形纸片 折叠出一个2 阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作 简要标注．（4）探究发现：小明操作发现任一个 阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图 （4），点 为正方形 边 上（不与端点重合）任意一点，连接 ，继续（2）中操作的第二步、 第三步，四边形 的周长与矩形 的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由． 模型3 菱形中的翻折模型 【模型解读】 例1．（2023·四川成都·模拟预测）如图，在菱形 中， ，将菱形折叠，使点 恰好落在 对角线 上的点 处不与 、 重合，折痕为 ，若 ， ，则 的长为 ． 例2．（2023·安徽·统考一模）如图，在边长为2 的菱形BD 中，∠=60°，点M 是D 边的中点，点是B 边上 一动点，将△M 沿M 所在的直线翻折得到△’M，连结’，则’长度的最小值是（ ） ． B． ． D．2 例3．（2023·山东枣庄·九年级校考阶段练习）如图，在菱形纸片 中， ， ，将菱形 纸片翻折，使点落在 的中点 处，折痕为 ，点 ， 分别在边 ， 上，则 的长为（ ） ． B． ． D． 例4．（2023 春·湖北十堰·八年级校联考期中）如图，在菱形纸片 中， ，E 是 边的中 点，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点B 落在直线 上的点G 处，折痕为 ， 与 交于点，有 如下结论：① ；② ；③ ；④ ，上述结论中，所有 正确结论的序号是（ ） ．①②④ B．①②③ ．①③④ D．①②③④ 例5．（2023·浙江·九年级期末）对角线长分别为6 和8 的菱形 如图所示，点为对角线的交点，过点 折叠菱形，使B， 两点重合， 是折痕．若 ，则 的长为 ． 例6．（2023 秋·重庆·九年级专题练习）如图，在菱形 中， ， ，点 是 的中点， 点 是 上一点，以 为对称轴将 折叠得到 ，以 为对称轴将 折叠得到 ， 使得点 落到 上，连接 ．下列结论错误的是（ ） ． B． ． D． 模型4 三角形中的翻折模型 【模型解读】 例1．（2023·内江九年级期中）如图，在Rt B 的纸片中，∠＝90°，＝7，B＝25．点D 在边B 上，以D 为 折痕将 DB 折叠得到ADB  ，AB与边B 交于点E．若 DEB △ 为直角三角形，则BD 的长是_____． 例2．（2023 年四川省成都市数学中考真题）如图，在 中， ， 平分 交 于点 ，过 作 交 于点 ，将 沿 折叠得到 ， 交 于点 ．若 ，则 ． 例3．（2023·湖北襄阳·统考中考真题）如图，在 中， ，点 是 的中点，将 沿 折叠得到 ，连接 若 于点 ， ，则 的长为 ． 例4．（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图， 平分等边 的面积，折叠 得到 分 别与 相交于 两点．若 ，用含 的式子表示 的长是 ． 模型5 圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 如图，以圆的一条弦B 为对称轴将弧B 折叠后与弦B 交于点D，则D= 特别的，若将弧B 折叠后过圆心，则D=，∠B=60° 例1．（2022 秋·浙江宁波·九年级校考期末）如图， 是 的外接圆， ，把弧 沿弦 向下折叠交 于点D，若点D 为 中点，则 长为（ ） ．1 B．2 ． D． 例2．（2023·广东广州·统考一模）如图， 为 的直径，点 为圆上一点， ，将劣弧 沿弦 所在的直线翻折，交 于点 ，则 的度数等于( )． ． B． ． D． 例3．（2023·浙江宁波·校考一模）如图， 的半径为4．将 的一部分沿着弦B 翻折，劣弧恰好经过 圆心．则这条劣弧的弧长为 ． 例4．（2022 春·湖北荆州·九年级专题练习）如图， 为 的直径，将 沿 翻折，翻折后的弧交 于D．若 ， ，则图中阴影部分的面积为（ ） ． B． ．8 D．10 例5．（2023·河南商丘·统考二模）如图，在扇形 中， ，点，D 分别是 和 上的点， 且 ，将扇形沿 翻折，翻折后的 恰好经过点．若 ，则图中阴影部分的面积是 ． 例6．（2023·吉林长春·统考模拟预测）如图，在⊙中，点在优弧 上，将 沿B 折叠后刚好经过B 的中 点D，连接，D．则下列结论中错误的是（ ） ①＝D；②D＝BD；③ + ＝ ；④D 平分∠B ．1 B．2 ．3 D．4 例7．（2021·湖北武汉·统考中考真题）如图， 是 的直径， 是 的弦，先将 沿 翻折交 于点 ．再将 沿 翻折交 于点 ．若 ，设 ，则 所在的范围是（ ） ． B． ． D． 例8．（2022·江苏扬州·统考一模）如图，将⊙沿弦B 折叠，使折叠后的弧恰好经过圆心，点P 是优弧 上的一个动点（与、B 两点不重合），若⊙的半径是2m，则△PB 面积的最大值是 m2 课后专项训练 1．（2023·浙江·一模）如图，在矩形 中， ，点E 为 的中点，点F 在 上，连 接 ，将 沿 翻折，使点B 的对应点恰为点E，则 的长为（ ） ． B． ． D． 2．（2023 年湖北省黄石市中考数学真题）如图，有一张矩形纸片 ．先对折矩形 ，使 与 重合，得到折痕 ，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点 落在 上，并使折痕经过点 ，得到折 痕 ﹐同时得到线段 ， ．观察所得的线段，若 ，则 （ ） ． B． ． D． 3．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标中，矩形 的边 ，将 矩形 沿直线 折叠到如图所示的位置，线段 恰好经过点 ，点 落在 轴的点 位置，点 的坐标是（ ） ． B． ． D． 4．（2023·福建莆田·九年级校考期末）如图，在 中，点 在优弧 上，将弧 沿 折叠后刚好经 过 的中点 ．若 的半径为5， ，则 的长是（ ） ． B． ． D． 5．（2022·浙江宁波·统考一模）如图， 是半径为4 的 的弦，且 ，将 沿着弦 折叠，点 是折叠后的 上一动点，连接并延长 交 于点D，点E 是 的中点，连接 则 的最小值为 ． 6．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形 是矩形， ， ．点E 为边 的中 点，点F 为边 上一点，将四边形 沿 折叠，点的对应点为点 ，点B 的对应点为点 ，过点 作 于点，若 ，则 的长是 ． 7．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，将菱形纸片 沿过点 的直线折叠，使点 落在射线 上的点 处，折痕 交 于点 ．若 ， ，则 的长等于 ． 8．（2023·山东淄博·统考一模）如图所示，有一块直角三角形纸片， ，将 斜边 翻折，使点B 落在直角边 的延长线上的点E 处，折痕为 ，则 的长是 ___________． 9．（2023 秋·四川雅安·八年级统考期末）在 中， ，点D 在边 上，连接 ，将 沿直线 翻折，点恰好落在 边上的点E 处，若 ， ，则 的长是 ． 10．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点 落在长边 上的点 处，并得到折痕 ，小宇测得长边 ，则四边形 的周长为 ． 11．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在 中， ， ， ，点 是 上一 动点，将 沿 折叠得到 ，当点 恰好落在 上时， 的长为 ． 12．（2023 春·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在矩形 中， ， ，现将矩形沿 折叠，点翻折后交 于点G，点D 的对应点为点，当 时，线段 的长为 ． 13．（2023 春·安徽安庆·九年级校联考阶段练习）如图，长方形 沿着对角线 翻折，点落在点 处， 与 相交于点E，若 ， ，则 的长为 ． 14．（2023 春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图（1），在等腰直角三角形纸片 中， ， ，点D，E 分别为 上的动点，将纸片沿 翻折，点B 的对应点 恰好落在边 上，如 图（2），再将纸片沿 翻折，点的对应点为 ，如图（3）当 ， 的重合部分（即阴影部 分）为直角三角形时， 的长为______． 15．（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在扇形 中，点，D 在 上，将 沿弦 折叠后恰好 与 ， 相切于点E，F．已知 ， ，则 的度数为 ；折痕 的长为 ． 16．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图， 的半径为 ， 为 的弦，点 为 上的一点， 将 沿弦 翻折，使点 与圆心 重合，则阴影部分的面积为 ．（结果保留 与根号） 17．（2023·湖北·统考中考真题）如图，将边长为3 的正方形 沿直线 折叠，使点 的对应点 落 在边 上（点 不与点 重合），点 落在点 处， 与 交于点 ，折痕分别与边 ， 交 于点 ，连接 ．(1)求证： ；(2)若 ，求 的长． 18．（2023·宁夏·统考中考真题）综合与实践 问题背景：数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为 的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴 趣并展开探究． 探究发现：如图1，在 中， ， ． （1）操作发现：将 折叠，使边 落在边 上，点 的对应点是点 ，折痕交 于点 ，连接 ， ，则 _______ ，设 ， ，那么 ______（用含 的式子表示）； （2）进一步探究发现： ，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明： ； 拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1 中的 是黄金三角形．如图2，在菱形 中， ， ．求这个菱形较长对角线的长． 19．（2023 秋·山西·九年级专题练习）综合与实践： 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 在矩形 中，E 为 边上一点，F 为 边上一点，连接 、 ，分别将 和 沿 、 翻折，点D、B 的对应点分别为点G、，且、、G 三点共线． (1)如图1，若F 为 边的中点， ，点G 与点重合，则 ＝ °， ＝ ； (2)如图2，若F 为 的中点， 平分 ， ， ，求 的度数及 的长； (3) ， ，若F 为 的三等分点，请直接写出 的长 ． 20．（2022·广西南宁·统考三模）综合实践：在数学综合实践课上，第一小组同学展示了如下的操作及问 题：如图1，同学们先画出半径为 的 ，将圆形纸片沿着弦 折叠，使对折后劣弧 恰好过圆心 ，同学们用尺子度量折痕 的长约为 ，并且同学们用学过的知识验证度量的结果是正确的． 验证如下：如图1，过点 作 于点 ，并延长 交虚线劣弧 于点 ，∴ ， 由折叠知， ，连接 ，在 中， ， 根据勾股定理得， ， ∴ ， 通过计算： ，同学们用尺子度量折痕 的长约为 是正确的． 请同学们进一步研究以下问题： (1)如图2， 的半径为 ， 为 的弦， ，垂足为点 ，劣弧 沿弦 折叠后经过 的中点 ，求弦 的长（结果保留根号）；(2)如图3，在 中劣弧 沿弦 折叠后与直径 相 交于点 ，若 ， ，求弦 的长（结果保留根号）．