线段之差最值问题 内容导航 方法点拨 （1）在直线l 同侧有两点、B，在直线L 上找一点P，使|P﹣PB|最大； （2）在直线l 两侧有两点、B，在直线l 上找一点P，使|P﹣PB|最大； （3）在直线l 两侧有两点、B，在直线l 上找一点P，使|P﹣PB|最小． （1）如图所示： （2）如图所示： （3）如图所示： 例题演练 1．如图，抛物线y＝﹣

线段周长面积最大值 内容导航 方法点拨 例题演练 题组 1 ：线段的最大值 例1．如图，抛物线y＝ +mx+与x 轴交于，B 两点，与y 轴交于点，抛物线的对称轴交x 轴于 点D，已知（﹣1，0），（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）线段B 上有一动点P，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ 的最大值． 的图象与x 轴相交于点（﹣1，0）、B（4，0），与y 轴相交于 点． （1）求该函数的表达式； （2）点P 为该函数在第一象限内的图象上一点，过点P 作PQ⊥B，垂足为点Q，连接P． ①求线段PQ 的最大值； 【解答】解：（1）抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣4）， 即y＝x2﹣3x﹣4， 则﹣4＝2，解得＝﹣ ， 所以抛物线解析式为y＝﹣ x2+ x+2； （2）①作P⊥x ∴PM＝﹣ t2+ t+2﹣（﹣ t+2）＝﹣ t2+2t， ∵∠BM＝∠PQ， ∴△PQM∽△B， ∴ ＝ ，即PQ＝ ， ∴PQ＝﹣ t2+ t＝﹣ （t﹣2）2+ ， ∴当t＝2 时，线段PQ 的最大值为 ； 题组 2 ：周长的最大值 例2．已知：如图，直线y＝﹣x+2 与x 轴交于B 点，与y 轴交于点，点坐标为（﹣1，0）． （1）求过、B、三点的抛物线的解析式．

直线外一点到直线上所有点的距离中，垂线段M 最小 【结论二】 如图，在三角形B 中，M、分别是DE、B 上的动点，连接M，M，求M+M 的最小值。则 有以下结论成立： 过作B 的垂线，垂足为Q，于DE 相交于P，当M、分别与P、Q 重合时，M+M 有最小值， 即为Q 的长度 方法点拨 1 题型特征： ①一定点 ②动点的运动轨迹为直线 2 模型本质：过定点作定直线的垂线，垂线段最短 【例1】如图，在Rt△B ∵P＜，即P＜12，∴M＜6， ∴ ≤M＜6． 故答为： ≤M＜6． 变式训练 【变式1】．如图，三角形B 中，∠B＝90°，＝3，B＝4，P 为直线B 上一动点，连接P， 则线段P 的最小值是 ． 解：作P⊥B 于P， 由垂线段最短可知，此时P 最小， 由勾股定理得，B＝ ＝ ＝5， S△B＝ ××B＝ ×B×P，即 ×3×4＝ ×5×P， 解得，P＝ ， 故答为： ． 【变式2】如图，正方形BD 平分∠B， ∴△BE 是等腰直角三角形， ∴E＝B•s45°＝4 × ＝4． 故M+M 的最小值为4． 【变式4】如图，在菱形BD 中，B＝＝10，对角线、BD 相交于点，点M 在线段上，且M ＝3，点P 为线段BD 上的一个动点，则MP+ PB 的最小值是 ． 解：如图，过点P 作PE⊥B 于E， ∵四边形BD 是菱形，B＝＝10， ∴B＝B＝＝10，∠BD＝∠BD， ∴△B 是等边三角形，

21 由比例线段产生的函数关系问题 下面的题目收录在2024 版《挑战中考数学压轴题》精讲解读篇（蓝皮书）中 例 2023 年东营市中考第25 题 如图1，抛物线过点(0, 0)、E(10, 0)，矩形BD 的边B 在线段E 上（点B 在点的左侧）， 点、D 在抛物线上，设B(t, 0)，当t＝2 时，B＝4． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当t 为何值时，矩形BD 的周长有最大值？

直线外一点到直线上所有点的距离中，垂线段M 最小 【结论二】 如图，在三角形B 中，M、分别是DE、B 上的动点，连接M，M，求M+M 的最小值。则 有以下结论成立： 过作B 的垂线，垂足为Q，于DE 相交于P，当M、分别与P、Q 重合时，M+M 有最小值， 即为Q 的长度 方法点拨 1 题型特征： ①一定点 ②动点的运动轨迹为直线 2 模型本质：过定点作定直线的垂线，垂线段最短 【例1】如图，在Rt△B ∵P＜，即P＜12，∴M＜6， ∴ ≤M＜6． 故答为： ≤M＜6． 变式训练 【变式1】．如图，三角形B 中，∠B＝90°，＝3，B＝4，P 为直线B 上一动点，连接P， 则线段P 的最小值是 ． 解：作P⊥B 于P， 由垂线段最短可知，此时P 最小， 由勾股定理得，B＝ ＝ ＝5， S△B＝ ××B＝ ×B×P，即 ×3×4＝ ×5×P， 解得，P＝ ， 故答为： ． 【变式2】如图，正方形BD 平分∠B， ∴△BE 是等腰直角三角形， ∴E＝B•s45°＝4 × ＝4． 故M+M 的最小值为4． 【变式4】如图，在菱形BD 中，B＝＝10，对角线、BD 相交于点，点M 在线段上，且M ＝3，点P 为线段BD 上的一个动点，则MP+ PB 的最小值是 ． 解：如图，过点P 作PE⊥B 于E， ∵四边形BD 是菱形，B＝＝10， ∴B＝B＝＝10，∠BD＝∠BD， ∴△B 是等边三角形，

直线外一点到直线上所有点的距离中，垂线段M 最小 R【结论二】 如图，在三角形B 中，M、分别是DE、B 上的动点，连接M，M，求M+M 的最小值。则 有以下结论成立： 过作B 的垂线，垂足为Q，于DE 相交于P，当M、分别与P、Q 重合时，M+M 有最小值， 即为Q 的长度 R 方法点拨 1 题型特征： ①一定点 ②动点的运动轨迹为直线 R2 模型本质：过定点作定直线的垂线，垂线段最短 【例1】如图，在Rt△B 模型介绍 例题精讲 PF⊥于F，M 为EF 中点，则M 的取值范围是 ． 变式训练 【变式1】．如图，三角形B 中，∠B＝90°，＝3，B＝4，P 为直线B 上一动点，连接P， 则线段P 的最小值是 ． 【变式2】如图，正方形BD 的边长为4，∠D 的平分线交D 于点E，若点P、Q 分别是D 和 E 上的动点，则DQ+PQ 的最小值是 ． 【变式3】如图，在锐角三角形B 【变式3】如图，在锐角三角形B 中，B＝4 ，∠B＝45°，BD 平分∠B，M、分别是BD、 B 上的动点，试求M+M 的最小值． 【变式4】如图，在菱形BD 中，B＝＝10，对角线、BD 相交于点，点M 在线段上，且M ＝3，点P 为线段BD 上的一个动点，则MP+ PB 的最小值是 ． 1．如图，在Rt△B 中，∠＝90°，D 是∠B 的平分线，点E 是B 上任意一点．若D＝5，则

18 因动点产生的线段和差问题 下面的题目收录在2024 版《挑战中考数学压轴题》精讲解读篇（蓝皮书）中 例15 2023 年张家界市中考第23 题 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋的图像与x 轴交于点(－2, 0)和点 B(6, 0)，与y 轴交于点(0, 6)．点D 为线段B 上一动点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，求△D 周长的最小值； （3）如图2，过动点D 图2 例 2023 年武威市中考第27 题 如图1，抛物线y＝－x2＋bx 与x 轴交于点，与直线y＝－x 交于点B(4,－4)，点 在y 轴上．点P 从点B 出发，沿线段B 方向匀速运动，运动到点停止． （1）求抛物线y＝－x2＋bx 的表达式； （2）当 时，请在图1 中过点P 作PD⊥交抛物线于点D，连结P、D，判断 四边形PD 的形状，并说明理由； （3）如图2，点P 下面的题目收录在2024 版《挑战中考数学压轴题》强化训练篇（黄皮书）中 （23 陕西26）（1）如图1，在△B 中，＝B，∠B＝120°，B＝24，若⊙的半径为4，点 P 在⊙上，点M 在B 上，连结PM，求线段PM 的最小值． （2）如图2 所示，五边形BDE 是某市工业新区的外环路，新区管委会在点B 处，点 E 处时该市的一个交通枢纽．已知∠＝∠B＝∠ED＝90°，B＝E＝10000m，B＝DE＝6000m．

直线外一点到直线上所有点的距离中，垂线段M 最小 R【结论二】 如图，在三角形B 中，M、分别是DE、B 上的动点，连接M，M，求M+M 的最小值。则 有以下结论成立： 过作B 的垂线，垂足为Q，于DE 相交于P，当M、分别与P、Q 重合时，M+M 有最小值， 即为Q 的长度 R 方法点拨 1 题型特征： ①一定点 ②动点的运动轨迹为直线 R2 模型本质：过定点作定直线的垂线，垂线段最短 【例1】如图，在Rt△B 模型介绍 例题精讲 PF⊥于F，M 为EF 中点，则M 的取值范围是 ． 变式训练 【变式1】．如图，三角形B 中，∠B＝90°，＝3，B＝4，P 为直线B 上一动点，连接P， 则线段P 的最小值是 ． 【变式2】如图，正方形BD 的边长为4，∠D 的平分线交D 于点E，若点P、Q 分别是D 和 E 上的动点，则DQ+PQ 的最小值是 ． 【变式3】如图，在锐角三角形B 【变式3】如图，在锐角三角形B 中，B＝4 ，∠B＝45°，BD 平分∠B，M、分别是BD、 B 上的动点，试求M+M 的最小值． 【变式4】如图，在菱形BD 中，B＝＝10，对角线、BD 相交于点，点M 在线段上，且M ＝3，点P 为线段BD 上的一个动点，则MP+ PB 的最小值是 ． 1．如图，在Rt△B 中，∠＝90°，D 是∠B 的平分线，点E 是B 上任意一点．若D＝5，则

几何图形初步 模型（一） 线段双中点 ◎结论1：已知点在线段B 上，点M、分别是，B 的中点，则M= 1 2 B 【证明】∵点M、分别是，B 的中点， M= ∴ 1 2 ，= 1 2 B 【奇思妙想消消消：等号左边M，消掉共同字母,得M。 等号右边 1 2 ， 1 2 B 消掉共同字母，得 1 2 B】 M = M+ = ∴ ∴ 1 2 + 1 2 B = 1 2 （+B）= 1 2 B ◎结论2：已知点在线段B 延长线上，点M、分别是，B 的中点，则M= 1 2 B 【证明】∵点M、分别是，B 的中点， M= ∴ 1 2 ，= 1 2 B， 【奇思妙想消消消：等号左边M，消掉共同字母,得M。 等号右边 1 2 ， 1 2 B 消掉共同字母，得 1 1 2 （ - B）= 1 2 B 已知点是线段B 延长线上一点，点 M，分别是 ，B 的中点，则M= 1 2 B 无论线段之间的和差关系如何变 ，M 的长度只与B 有关即M= 1 2 B 1（2022·山西晋城·七年级期末）已知线段 ，在线段 上任取一点，其中线段 的中点为 E、线段 的中点为F．则线段 的长度是_______． 【答】 ##25m【也可根据双中点结论，直接得出结果】

中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练 二次函数与线段和角的数量关系问题 【真题再现】 1．（2020 年泰州第26 题）如图，二次函数y1＝（x﹣m）2+，y2＝6x2+（＜0，m＞0，＞ 0）的图象分别为1、2，1交y 轴于点P，点在1上，且位于y 轴右侧，直线P 与2在y 轴 左侧的交点为B． （1）若P 点的坐标为（0，2），1的顶点坐标为（2，4），求的值； ①记△B 的面积为S1，△的面积为S2，是否存在m，使得点在直线的上方，且满足S1﹣S2 ＝6？若存在，求出m 及相应的S1，S2的值；若不存在，请说明理由． ②当m＞﹣1 时，将线段M 绕点M 顺时针旋转90°得到线段MF，连接FB、F、．若 ∠FB+∠D﹣∠BF＝45°，直接写出直线F 与该二次函数图象交点的横坐标． 【分析】（1）将点坐标代入二次函数解析式中，求出b，进而得出二次函数解析式，再 EC =1 3，∠BF ＝45°，由勾股定理逆定理可得∠BD＝90°，可求∠E＝∠DB，可得∠B＝∠FD，可得点F 与点Q 重合，即可求点P 坐标； 当点Q 在点D 下方时，过点作⊥DB 于，在线段B 的延长线上截取F＝Q，连接Q 交抛 物线于点P，先求直线BD 解析式，点F 坐标，由中点坐标公式可求点Q 坐标，求出Q 解析式，联立方程组，可求点P 坐标； （3）设直线与BD 的交点为，作⊥BD