模型08 垂线段最短模型（原卷版）(1)

R【结论一】 如图 直线外一点到直线上所有点的距离中，垂线段M 最小 R【结论二】 如图，在三角形B 中，M、分别是DE、B 上的动点，连接M，M，求M+M 的最小值。则 有以下结论成立： 过作B 的垂线，垂足为Q，于DE 相交于P，当M、分别与P、Q 重合时，M+M 有最小值， 即为Q 的长度 R 方法点拨 1 题型特征： ①一定点 ②动点的运动轨迹为直线 R2 模型本质：过定点作定直线的垂线，垂线段最短 【例1】如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝5，＝12，P 为边B 上一动点，PE⊥B 于E， 模型介绍 例题精讲 PF⊥于F，M 为EF 中点，则M 的取值范围是 ． 变式训练 【变式1】．如图，三角形B 中，∠B＝90°，＝3，B＝4，P 为直线B 上一动点，连接P， 则线段P 的最小值是 ． 【变式2】如图，正方形BD 的边长为4，∠D 的平分线交D 于点E，若点P、Q 分别是D 和 E 上的动点，则DQ+PQ 的最小值是 ． 【变式3】如图，在锐角三角形B 中，B＝4 ，∠B＝45°，BD 平分∠B，M、分别是BD、 B 上的动点，试求M+M 的最小值． 【变式4】如图，在菱形BD 中，B＝＝10，对角线、BD 相交于点，点M 在线段上，且M ＝3，点P 为线段BD 上的一个动点，则MP+ PB 的最小值是 ． 1．如图，在Rt△B 中，∠＝90°，D 是∠B 的平分线，点E 是B 上任意一点．若D＝5，则 DE 的最小值等于（ ） ．25 B．4 ．5 D．10 2．如图，在△B 中，＝B＝10，∠B＝4∠，BD 平分∠B 交于点D，点E，F 分别是线段BD， B 上的动点，则E+EF 的最小值是（ ） ．2 B．4 ．5 D．6 3．如图，在菱形BD 中，＝6 ，BD＝6，E 是B 边的中点，P，M 分别是，B 上的动点， 连接PE，PM，则PE+PM 的最小值是（ ） ．6 B．3 ．2 D．45 4．如图，矩形BD 中，B＝4，D＝2，E 为B 的中点，F 为E 上一动点，P 为DF 中点，连 接PB，则PB 的最小值是（ ） 实战演练 ．2 B．4 ． D． 5．如图所示，在菱形BD 中，∠＝60°，B＝2，E，F 两点分别从，B 两点同时 出发，以相同的速度分别向终点B，移动，连接EF，在移动的过程中，EF 的最小值为（ ） ．1 B． ． D． 6．如图，在△B 中，∠B＝90°，＝B＝4，点D 是B 边的中点，点P 是边上一个动点，连接 PD，以PD 为边在PD 的下方作等边三角形PDQ，连接Q．则Q 的最小值是（ ） ． B．1 ． D． 7．如图，在△B 中，B＝6，S△B＝10，点M 是∠B 平分线BD 上一动点，点是B 上一动点，则M+M 的最小值是 ． 8．如图，在直角△B 中，∠B＝90°，D 平分∠B，E、F 分别为线段D、B 上的动 点，其中B＝8，＝10，BD＝ ，则BE+EF 的最小值为 ． 9．如图，正方形BD 的边长为2，E 是B 的中点，F，G 是对角线上的两个动点，且FG＝ ，连接EF，BG，则EF+BG 的最小值为 ． 10．如图，在菱形BD 中，＝60°，B＝6．折叠该菱形，使点落在边B 上的点M 处，折痕分 别与边B，D 交于点E，F．当点M 的位置变化时，DF 长的最大值为 ． 11．如图，边长为8 的等边三角形B 中，E 是对称轴D 上的一个动点，连接E，将线段 E 绕点逆时针旋转60°得到F，连接DF，则在点E 运动过程中，DF 的最小值是 ． 12．如图，在Rt△B 中，∠＝90°，＝B＝8，点P 为B 的中点，E 为B 上一动点，过、E、P 三点⊙交于F 点，连接EF，则EF 的最小值为 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，点P，的坐标分别为（1，0），（2，4），点B 是y 轴 上一动点，过点作⊥B 交x 轴于点，点M 为线段B 的中点，则PM 的最小值为 ． 14．如图，菱形BD 中，B＝4，∠＝60°，点E 为B 上一点，连接DE，以DE 为斜边作等腰 直角三角形EDF，∠EFD＝90°，则BF 的取值范围是 ． 15．如图，Rt△B 中，∠B＝90°，＝B＝1，动点M、在斜边B 上，∠M＝45°，求M 的最小值． 16．如图，四边形BD 是菱形，B＝4，且∠B＝60°，M 为对角线BD（不含B 点）上任意一 点． （1）求M+BM+M 的最小值； （2）求M+ BM 的最小值． 17．如图，二次函数 的图象与x 轴交于、两点，顶点为，连接、，若点B 是线 段上一动点，连接B，将△B 沿B 折叠后，点落在点′的位置，线段′与x 轴交于点D，且 点D 与、点不重合． （1）求点、点的坐标； （2）求证：△D ′ ∽△BD； （3）求 的最小值． 18．已知抛物线y＝x2+bx+与x 轴交点（1，0），（﹣3，0）．与y 轴交点B（0，3），如 图1 所示，D 为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1 若R 为y 轴上的一个动点，连接R，则 RB+R 的最小值为 2 （3）在x 轴上取一动点P（m，0），﹣3＜m＜﹣1，过点P 作x 轴的垂线，分别交抛物 线、D、B 于点Q、F、E，如图2 所示，求证：EF＝EP． （4）设此抛物线的对称轴为直线M，在直线M 上取一点T，使∠BT＝∠T．直接写出点 T 的坐标．