模型08 垂线段最短模型（解析版）(1)

【结论一】 如图 直线外一点到直线上所有点的距离中，垂线段M 最小 【结论二】 如图，在三角形B 中，M、分别是DE、B 上的动点，连接M，M，求M+M 的最小值。则 有以下结论成立： 过作B 的垂线，垂足为Q，于DE 相交于P，当M、分别与P、Q 重合时，M+M 有最小值， 即为Q 的长度 方法点拨 1 题型特征： ①一定点 ②动点的运动轨迹为直线 2 模型本质：过定点作定直线的垂线，垂线段最短 【例1】如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝5，＝12，P 为边B 上一动点，PE⊥B 于E， 模型介绍 例题精讲 PF⊥于F，M 为EF 中点，则M 的取值范围是 ≤ M ＜ 6 ． 解：连接P， ∵PE⊥B，PF⊥，∴∠EP＝∠FP＝90°， ∵∠B＝90°， ∴四边形EPF 是矩形，∴P＝EF， ∵∠B＝90°，M 为EF 中点，∴M＝ EF＝ P， ∵在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝5，＝12， ∴B＝ ＝13， 当P⊥B 时，P 值最小， 此时S△B＝ ×5×12＝ ×13×P， ∴P＝ ， 即P 的范围是P≥ ，∴2M≥ ， ∴M 的范围是M≥ ， ∵P＜，即P＜12，∴M＜6， ∴ ≤M＜6． 故答为： ≤M＜6． 变式训练 【变式1】．如图，三角形B 中，∠B＝90°，＝3，B＝4，P 为直线B 上一动点，连接P， 则线段P 的最小值是 ． 解：作P⊥B 于P， 由垂线段最短可知，此时P 最小， 由勾股定理得，B＝ ＝ ＝5， S△B＝ ××B＝ ×B×P，即 ×3×4＝ ×5×P， 解得，P＝ ， 故答为： ． 【变式2】如图，正方形BD 的边长为4，∠D 的平分线交D 于点E，若点P、Q 分别是D 和 E 上的动点，则DQ+PQ 的最小值是 2 ． 解：作D 关于E 的对称点D′，再过D′作D′P′⊥D 于P′， ∵DD′⊥E， ∴∠FD＝∠FD′， ∵F＝F，∠DE＝∠E， ∴△DF≌△D′F， ∴D′是D 关于E 的对称点，D′＝D＝4，∴D′P′即为DQ+PQ 的最小值， ∵四边形BD 是正方形， ∴∠DD′＝45°，∴P′＝P′D′，∴在Rt△P′D′中， P′D′2+P′2＝D′2，D′2＝16， ∵P′＝P′D'， 2P′D′2＝D′2，即2P′D′2＝16，∴P′D′＝2 ， 即DQ+PQ 的最小值为2 ， 故答为：2 ． 【变式3】如图，在锐角三角形B 中，B＝4 ，∠B＝45°，BD 平分∠B，M、分别是BD、 B 上的动点，试求M+M 的最小值． 解：过点作E⊥B 于点E，交BD 于点M′，过点M′作M′′⊥B 于′，则E 即为M+M 的最小 值， ∵B＝4 ，∠B＝45°，BD 平分∠B， ∴△BE 是等腰直角三角形， ∴E＝B•s45°＝4 × ＝4． 故M+M 的最小值为4． 【变式4】如图，在菱形BD 中，B＝＝10，对角线、BD 相交于点，点M 在线段上，且M ＝3，点P 为线段BD 上的一个动点，则MP+ PB 的最小值是 ． 解：如图，过点P 作PE⊥B 于E， ∵四边形BD 是菱形，B＝＝10， ∴B＝B＝＝10，∠BD＝∠BD， ∴△B 是等边三角形， ∴∠B＝∠B＝60°， ∴∠BD＝30°， ∵PE⊥B， ∴PE＝ PB， ∴MP+ PB＝PM+PE， ∴当点M，点P，点E 共线且ME⊥B 时，PM+PE 有最小值为ME， ∵M＝3， ∴M＝7， s ∵∠B＝ ＝ ， ∴ME＝ ， ∴MP+ PB 的最小值为 ，故答为 ． 1．如图，在Rt△B 中，∠＝90°，D 是∠B 的平分线，点E 是B 上任意一点．若D＝5，则 DE 的最小值等于（ ） ．25 B．4 ．5 D．10 解：当DE⊥B 时，DE 的值最小， ∵D 是∠B 的平分线，∠＝90°，D＝5， ∴DE 的最小值＝D＝5， 故选：． 2．如图，在△B 中，＝B＝10，∠B＝4∠，BD 平分∠B 交于点D，点E，F 分别是线段BD， B 上的动点，则E+EF 的最小值是（ ） ．2 B．4 ．5 D．6 解：作点关于BD 的对称点G，过G 点作GF⊥B 交B 于F，交BD 于E， ∴EG＝E， ∴E+EF＝EG+EF＝GF，此时E+EF 最小， ∵BD 平分∠B， ∴G 点在B 上， ∴B＝BG， ∵＝B＝10， ∴BG＝10， ∠B＝4∠， ∴∠＝∠B＝30°， ∴GF＝ BG＝5， ∴E+EF 的最小值是5， 故选：． 实战演练 3．如图，在菱形BD 中，＝6 ，BD＝6，E 是B 边的中点，P，M 分别是，B 上的动点， 连接PE，PM，则PE+PM 的最小值是（ ） ．6 B．3 ．2 D．45 解：如图，作点E 关于的对称点E′，过点E′作E′M⊥B 于点M，交于点P， 则点P、M 使PE+PM 取得最小值， PE+PM＝PE′+PM＝E′M， ∵四边形BD 是菱形， ∴点E′在D 上， ∵＝6 ，BD＝6， ∴B＝ ＝3 ， 由S 菱形BD＝ •BD＝B•E′M 得 ×6 ×6＝3 •E′M， 解得：E′M＝2 ， 即PE+PM 的最小值是2 ，故选：． 4．如图，矩形BD 中，B＝4，D＝2，E 为B 的中点，F 为E 上一动点，P 为DF 中点，连 接PB，则PB 的最小值是（ ） ．2 B．4 ． D． 解：如图： 当点F 与点重合时，点P 在P1处，P1＝DP1， 当点F 与点E 重合时，点P 在P2处，EP2＝DP2， ∴P1P2∥E 且P1P2＝ E， 当点F 在E 上除点、E 的位置处时，有DP＝FP， 由中位线定理可知：P1P∥E 且P1P＝ F， ∴点P 的运动轨迹是线段P1P2， ∴当BP⊥P1P2时，PB 取得最小值， ∵矩形BD 中，B＝4，D＝2，E 为B 的中点， ∴△BE、△DE、△BP1为等腰直角三角形，P1＝2， ∴∠DE＝∠DE＝∠P1B＝45°，∠DE＝90°， ∴∠DP2P1＝90°， ∴∠DP1P2＝45°， ∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2， ∴BP 的最小值为BP1的长， 在等腰直角△BP1中，P1＝B＝2， ∴BP1＝2 ，∴PB 的最小值是2 ． 故选：D． 5．如图所示，在菱形BD 中，∠＝60°，B＝2，E，F 两点分别从，B 两点同时 出发，以相同的速度分别向终点B，移动，连接EF，在移动的过程中，EF 的最小值为（ ） ．1 B． ． D． 解：连接DB，作D⊥B 于，如图， ∵四边形BD 为菱形， ∴D＝B＝B＝D， 而∠＝60°，∴△BD 和△BD 都是等边三角形，∴∠DB＝∠DB＝60°，D＝BD， 在Rt△D 中，＝1，D＝2，∴D＝ ， 在△DE 和△BDF 中 ，∴△DE≌△BDF，∴∠2＝∠1，DE＝DF 1+ ∴∠ ∠BDE＝∠2+∠BDE＝∠DB＝60°，∴△DEF 为等边三角形，∴EF＝DE， 而当E 点运动到点时，DE 的值最小，其最小值为 ，∴EF 的最小值为 ．故选：D． 6．如图，在△B 中，∠B＝90°，＝B＝4，点D 是B 边的中点，点P 是边上一个动点，连接 PD，以PD 为边在PD 的下方作等边三角形PDQ，连接Q．则Q 的最小值是（ ） ． B．1 ． D． 解：解法一：如图在D 的下方作等边△DT，作射线TQ． ∵∠DT＝∠QDP＝60°，DP＝DQ，D＝DT，∴∠DP＝∠QDT， 在△DP 和△TDQ 中， ，∴△DP≌△TDQ（SS）， ∴∠DP＝∠DTQ＝90°， ∵∠TD＝60°，∴∠TQ＝30°，∴点Q 在射线TQ 上运动（点T 是定点，∠TQ 是定值）， 当Q⊥TQ 时，Q 的值最小，最小值＝ T＝ D＝ B＝1， 解法二：如图，D 的上方，作等边△DM，连接PM，过点M 作M⊥B 于． ∵△DPQ，△DM 都是等边三角形，∴∠DM＝∠PDQ＝60°， ∵DP＝DQ，DM＝D，∴△DPM≌△DQ（SS），∴PM＝Q， ∴PM 的值最小时，Q 的值最小，当PM⊥M 时，PM 的最小值＝＝ D＝1， ∴Q 的最小值为1．故选：B． 7．如图，在△B 中，B＝6，S△B＝10，点M 是∠B 平分线BD 上一动点，点是B 上一动点，则M+M 的最小值是 ． 解：过点作E⊥B 于点E，交BD 于点M，过点M 作M⊥B 于点， ∵点M 是∠B 平分线BD 上一动点，ME⊥B，M⊥B，∴M＝ME， ∴M+M＝ME+M＝E， ∵E⊥B，∴E 是点到B 最短的线段，即M+M 的最小值就是线段E 的长度， 在△B 中，B＝6，S△B＝10，又∵ •B•E＝S△B，∴ ×6×E＝10， ∴ E＝ 故答为 ． 8．如图，在直角△B 中，∠B＝90°，D 平分∠B，E、F 分别为线段D、B 上的动 点，其中B＝8，＝10，BD＝ ，则BE+EF 的最小值为 ． 解：过点D 作DB'⊥交于点B'，过B'作B'F⊥B 交D 于点E，交B 于点F， ∵∠B＝90°，D 平分∠B，∴BD＝B'D，∴Rt△DB' Rt ≌ △DB（L）， ∴B 与B'关于D 对称，∴BE＝B'E，∴要求BE+EF 的最小求B'F 的最小即可， ∵B＝8，＝10，BD＝ ，∴B'D＝ ，B＝6， ∵B＝B'，∴B'＝8， s ∵∠B＝ ＝ ＝ ，∴B'F＝ ，∴BE+EF 的最小值为 ，故答为 ． 9．如图，正方形BD 的边长为2，E 是B 的中点，F，G 是对角线上的两个动点，且FG＝ ，连接EF，BG，则EF+BG 的最小值为 ． 解：如图，取B 的中点E'，连接EE'，GE'， ∵E 为B 的中点， ∴EE'为△B 的中位线，即EE'∥，且EE'＝ ， ∵正方形BD 的边长为2， ∴＝ ＝2 ， ∴EE'＝ ＝ ， ∵FG＝ ， ∴EE'＝FG，且EE'＝FG，即四边形EE'GF 为平行四边形， ∴EF＝E'G， 连接DG，DE'，根据正方形的对称性可知，BG＝DG， ∴EF+BG＝E'G+DG， 根据两点间线段最短可得，当点E'，G，D 在同一直线上时，E'G+DG 取得最小值， 即此时EF+BG 的最小值为线段E'D 的长度， 连接E'G，则在Rt△E'D 中， ∵E'＝1，D＝2， ∴E'D＝ ＝ ， 故EF+BG 的最小值为 ， 故答为： ． 10．如图，在菱形BD 中，＝60°，B＝6．折叠该菱形，使点落在边B 上的点M 处，折痕分 别与边B，D 交于点E，F．当点M 的位置变化时，DF 长的最大值为 6 3 ﹣ ． 解：连接M 交EF 于点，过点作K⊥D 于点K，交B 于点T，过点作G⊥B 交B 的延长线 于点G，取F 的中点R，连接R，如图： ∵D∥G，K⊥D， ∴K⊥G， ∴∠G＝∠KT＝∠GTK＝90°， ∴四边形GTK 是矩形， ∴G＝TK＝B•s60°＝3 ， ∵折叠该菱形，使点落在边B 上的点M 处， ∴＝M，∠K＝∠MT，∠K＝∠MT＝90°， ∴△K≌△MT（S）， ∴K＝T＝ ， ∵K⊥D， ∴R≥K＝ ， ∵∠F＝90°，R＝RF， ∴F＝2R≥3 ， ∴F 的最小值为3 ， ∴DF 的最大值为6 3 ﹣ ． 故答为：6 3 ﹣ ． 11．如图，边长为8 的等边三角形B 中，E 是对称轴D 上的一个动点，连接E，将线段 E 绕点逆时针旋转60°得到F，连接DF，则在点E 运动过程中，DF 的最小值是 ． 解：如图，连接BF， 由旋转可得，E＝F，∠EF＝60°，∵△B 是等边三角形， ∴＝B，∠B＝60°，∴∠E＝∠BF， 在△E 和△BF 中， ，∴△E≌△BF（SS），∴∠BF＝∠E， ∵边长为8 的等边三角形B 中，E 是对称轴D 上的一个动点， ∴∠E＝30°，BD＝4 ，∴∠BF＝30°， 即点F 的运动轨迹为直线BF，∴当DF⊥BF 时，DF 最短， 此时，DF＝ BD＝ ×4 ＝2 ，∴DF 的最小值是2 故答为2 ． 12．如图，在Rt△B 中，∠＝90°，＝B＝8，点P 为B 的中点，E 为B 上一动点，过、E、P 三点⊙交于F 点，连接EF，则EF 的最小值为 ． 解：∵经过P、E、F 三点确定⊙，由圆周角定理可知：⊙的直径为EF， 连接P，PF，PE，∵＝B＝8，∴△B 是等腰直角三角形， ∵点P 是B 的中点，∴P 平分∠B，∴∠P＝45°，∴∠P＝∠PEF＝45°， ∴△EFP 是等腰直角三角形，∴FE＝ PE，当PE⊥B 时，PE 最小，即EF 最小， 此时PE＝ ＝4，∴EF 的最小值＝4 ，故答为：4 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，点P，的坐标分别为（1，0），（2，4），点B 是y 轴 上一动点，过点作⊥B 交x 轴于点，点M 为线段B 的中点，则PM 的最小值为 ． 解：如图，过点作F⊥y 轴于点F，连接M，M， ∵∠B＝∠B＝90°，M 为B 中点， ∴M＝M， ∴点M 在线段的垂直平分线上， 作线段的垂直平分线交y 轴，x 轴于点D，E，当PM⊥DE，PM 最小， 连接D，则D＝D， ∵（2，4）， ∴F＝2，F＝4， 设D＝D＝t，则FD＝4﹣t， ∵FD2+F2＝D2， ∴（4﹣t）2+22＝t2， ∴t＝ ， ∴D＝ ， ∵∠F+∠E＝90°，∠E+∠ED＝90°， ∴∠F＝∠ED， ∵∠F＝∠DE＝90°， ∴△F∽△DE， ∴ ， 即F•E＝D•F， ∴E＝5， ∵P（1，0）， ∴PE＝4， 在Rt△F 中， ＝ ＝2 ， 当PM⊥DE 时，PM 最小， ∴∠PME＝∠F＝90°， ∴△PME∽△F， ∴ ， ∴ ， ∴PM＝ ， 故答为： ． 14．如图，菱形BD 中，B＝4，∠＝60°，点E 为B 上一点，连接DE，以DE 为斜边作等腰 直角三角形EDF，∠EFD＝90°，则BF 的取值范围是 ． 解：如图1，以D 为斜边在D 下方作等腰直角△GD， ∴∠DG＝∠EDF＝45°，∴∠DE＝∠GDF，∴△DE∽△GDF， ∴∠DGF＝∠DE＝60°，∴点F 的运动轨迹是GF，∴BF 的最短距离为 ×2 ＝ ； 如图2，当点E 移动到点B 时，BF 最大，在等腰直角三角形BDF 中， BF＝ BD＝2 ，所以BF 的取值范围为2 2≤ ﹣ BF≤2 ， 故答为： ≤BF≤2 ． 15．如图，Rt△B 中，∠B＝90°，＝B＝1，动点M、在斜边B 上，∠M＝45°，求M 的最小值． 解：如图①， ∵∠M＝45°，在B 上方以M 为斜边作等腰Rt△M， 以M 为半径作△M 的外接⊙，连接、M、， 取M 的中点为P，B 的中点为Q，连接P、P、Q， 设⊙的半径为r，在Rt△B 中，＝B＝1， 在Rt△M 中，M＝＝r， ∴Q＝ ，P＝ r，M＝ r． + ∵P≥P≥Q，∴r+ r≥P≥ ． 如图②， 当且仅当点、Q、P 共线，且P 与Q 重合时，r+ r＝ ， 此时r 最小，解得r＝ ﹣1，M＝ r＝2﹣ ，即M 的最小值为2﹣ ． 16．如图，四边形BD 是菱形，B＝4，且∠B＝60°，M 为对角线BD（不含B 点）上任意一 点． （1）求M+BM+M 的最小值； （2）求M+ BM 的最小值． 解：（1）连接，M，将△BM 绕点B 逆时针旋转60°得△BM′，再将△BM 绕点B 逆时针旋 转60°得△B′M′，连接′，与B 交于点E，如图，则′M′＝M，BM′＝BM，′B＝B＝B＝4， ∠B′＝∠B＝60°，∠BM′＝∠BM＝∠BM＝30°， ∴△BMM′是等边三角形，BE ′ ⊥， ∴BM＝MM′， ∴M+BM+M＝′M+MM′+M≥′， 当′、M′、M、四点共线时，M+BM+M＝′M+MM′+M＝′的值最小， 此时′＝2E＝2 ． 故M+BM+M 的最小值为4 ； （2）如图，过点作T⊥B 于T，过点M 作M⊥B 于． ∵四边形BD 是菱形，∠B＝60°， ∴∠DB＝ ∠B＝30°， ∵M⊥B， ∴∠BM＝90°， ∴M＝ BM， ∴M+ BM＝M+M， ∵T⊥B， ∴∠TB＝90°， ∴T＝B•s60°＝2 ， ∵M+M≥T， ∴M+M≥2 ， ∴M+ BM≥2 ， ∴M+ BM 的最小值为2 ， 故答为：2 ． 17．如图，二次函数 的图象与x 轴交于、两点，顶点为，连接、，若点B 是线 段上一动点，连接B，将△B 沿B 折叠后，点落在点′的位置，线段′与x 轴交于点D，且 点D 与、点不重合． （1）求点、点的坐标； （2）求证：△D ′ ∽△BD； （3）求 的最小值． （1）解：在 中，令y＝0 得x＝0 或x＝4， ∴（4，0）， ∵ ＝ （x 2 ﹣）2 2 ﹣， ∴（2，﹣2）， ∴的坐标为（4，0），的坐标为（2，﹣2）； （2）证明：如图1， 由翻折得：∠＝∠'， 由对称得：＝， ∴∠＝∠， ∴∠＝∠'， ' ∵∠DB＝∠D， ∴△D ′ ∽△BD； （3）解：∵△D ′ ∽△BD， ∴ ， ∵B＝'B， ∴ ＝ ， ∴ 的最小值就是 的最小值， ∵（2，﹣2）， ∴＝2 ， ∴当D⊥时，D 最小， 的值最小， 此时D＝2， 的最小值为 ＝ ． 18．已知抛物线y＝x2+bx+与x 轴交点（1，0），（﹣3，0）．与y 轴交点B（0，3），如 图1 所示，D 为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1 若R 为y 轴上的一个动点，连接R，则 RB+R 的最小值为 2 （3）在x 轴上取一动点P（m，0），﹣3＜m＜﹣1，过点P 作x 轴的垂线，分别交抛物 线、D、B 于点Q、F、E，如图2 所示，求证：EF＝EP． （4）设此抛物线的对称轴为直线M，在直线M 上取一点T，使∠BT＝∠T．直接写出点 T 的坐标． 解：（1）根据题意得： ， 解得： ， 则抛物线的解析式是y＝﹣x2 2 ﹣x+3； （2）如图1 中，作R⊥B 于． ∵B＝＝3，∠B＝90°， ∴B＝3 ，∠BR＝45°， 在Rt△BR 中，R＝ BR， ∴R+ BR＝R+R， ∴当、R、共线时，R+ BR＝R+R 的值最小， 此时 •B•＝ ••B， ∴＝2 ， ∴R+ BR 的最小值为2 ． 故答为2 （3）如图2 中， ∵y＝﹣x2 2 ﹣x+3＝﹣（x+1）2+4， 则D 的坐标是（﹣1，4）． 设直线B 的解析式是y＝kx+b，则 ， 解得： ， 则直线B 的解析式是y＝x+3． 同理，直线D 的解析式是y＝2x+6． ∵动点P（m，0）在x 轴上，﹣3＜m＜﹣1，且PF⊥x 轴． ∴点E（m，m+3），点F（