题型14 4 类解三角形大题综合 （双正弦及双余弦、周长及面积类最值、边长和差、积商类最值、图 形类解三角形综合） 技法01 双正弦及双余弦模型 例1．（2023·江苏·高三专题练习）如图，在 中，角 的对边分别为 .已知 . (1)求角 ； (2)若 为线段 延长线上一点，且 ，求 . 技法01 双正弦及双余弦模型 技法02 周长及面积类最值问题 技法03 边长和差、积商类最值问题 边长和差、积商类最值问题 技法04 图形类解三角形综合 双正弦及双余弦模型是通过正余弦定理列方程组来求解相关问题，此类题型难度中等，是高考中的常考考 点，需强加练习 （1） （2）设 ，在 和 中，由正弦定理可得 于是 ，又 ， 则 ， ， ； 综上， ， . 1．（2022 秋·安徽合肥·高三统考期末）在 中，点D 在BC 上，满足AD＝BC， ． (1)求证：AB，AD，AC 成等比数列； 在△ABD 中，设 ，由已知得 ， 由余弦定理得： ， 即 ④， 在△ACD 中，设 ，由已知得 ， 由余弦定理得： ， ⑤， 由⑤＋④×2 整理得： ⑥， 由③⑥联立整理得： ， 解得： 或 ， 当 时，由 可求得 ，所以 故舍去， 当 时，由 可求得 ，满足 ， 在△ABC 中，由余弦定理得 综上： 2．（2023·全国·模拟预测）在 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，

题型14 4 类解三角形大题综合 （双正弦及双余弦、周长及面积类最值、边长和差、积商类最值、图 形类解三角形综合） 技法01 双正弦及双余弦模型 例1．（2023·江苏·高三专题练习）如图，在 中，角 的对边分别为 .已知 . (1)求角 ； (2)若 为线段 延长线上一点，且 ，求 . 技法01 双正弦及双余弦模型 技法02 周长及面积类最值问题 技法03 边长和差、积商类最值问题 边长和差、积商类最值问题 技法04 图形类解三角形综合 双正弦及双余弦模型是通过正余弦定理列方程组来求解相关问题，此类题型难度中等，是高考中的常考考 点，需强加练习 （1） （2）设 ，在 和 中，由正弦定理可得 于是 ，又 ， 则 ， ， ； 综上， ， . 1．（2022 秋·安徽合肥·高三统考期末）在 中，点D 在BC 上，满足AD＝BC， ． (1)求证：AB，AD，AC 成等比数列； (1)求角 的大小； (2)若 为边 的中点，且 ，求 的面积. 技法02 周长及面积类最值问题 例2-1．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知 、 、分别为 的三个内角 、 、 的对边长， ，且 ． (1)求角 的值； (2)求 面积的取值范围． （1） ． 周长及面积类最值问题是结合三角函数和基本不等式来求解相关问题，此类题型难度中等，是高考中的常 考考点，需强加练习

小学语文童话类文本阅读策略2025 年强化试卷答案精解 一、单项选择题（共10 题，每题2 分） 1. 在童话《小红帽》中，小红帽最终被谁救了？ A. 猎人 B. 奶奶 C. 狼 D. 她自己 2. 《灰姑娘》中，灰姑娘的魔法在什么时间失效？ A. 午夜 B. 黎明 C. 中午 D. 傍晚 3. 《三只小猪》中，第三只小猪用什么材料盖房子？ A. 稻草 B. 木头

题型06 5 类函数选填压轴题解题技巧 （对称性、解不等式（含分段函数）、整数解、零点、切线与公切 线） 技法01 函数对称性的应用及解题技巧 例1．（全国·高考真题）设函数 的图像与 的图像关于直线 对称，且 ，则 A． B． C． D． 反解 的解析式，可得 ，即 ， 技法01 函数对称性的应用及解题技巧 技法02 解不等式（含分段函数）的应用及解题技巧 技法03 整数解的应用及解题技巧 整数解的应用及解题技巧 技法04 零点的应用及解题技巧 技法05 切线与公切线的应用及解题技巧 本题型通常由对称性考查参数值及解析式的求解，灵活运用对称性反解函数是解题的关键，常以小题形式 考查. 因为 ，所以 ，解得解得 ，故选C 1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数 的图象与 的图象关于直线 对称， 且满足 ，则 （ ） A．4 B．2 C．1 D． 2．（2023·全国·高三专题练习）若函数 ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2023·全国·高三专题练习）若 满足 ， 满足 ，则 等于（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 技法02 解不等式（含分段函数）的应用及解题技巧 在已知函数解析式，解抽象不等式快速求解的方法就是特值法，因此小题要学会特值法的使用来快速求解 例2．（全国·高考真题）设函数 ,则使 成立的 的取值范围是 A． B．

题型06 5 类函数选填压轴题解题技巧 （对称性、解不等式（含分段函数）、整数解、零点、切线与公切 线） 技法01 函数对称性的应用及解题技巧 例1．（全国·高考真题）设函数 的图像与 的图像关于直线 对称，且 ，则 A． B． C． D． 反解 的解析式，可得 ，即 ， 技法01 函数对称性的应用及解题技巧 技法02 解不等式（含分段函数）的应用及解题技巧 技法03 整数解的应用及解题技巧 整数解的应用及解题技巧 技法04 零点的应用及解题技巧 技法05 切线与公切线的应用及解题技巧 本题型通常由对称性考查参数值及解析式的求解，灵活运用对称性反解函数是解题的关键，常以小题形式 考查. 因为 ，所以 ，解得解得 ，故选C 1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数 的图象与 的图象关于直线 对称， 且满足 ，则 （ ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】B 【答案】B 【分析】根据图象的对称性得点 ， 在函数 的图象上，列方程组求解即可得 解. 【详解】函数 的图象与 的图象关于直线 对称， 所以点 ， 在函数 的图象上， 所以 ，所以 ，所以 ， 又 ，所以 ，所以 . 故选：B 2．（2023·全国·高三专题练习）若函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称， 则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数 的图象与函数

题型13 6 类解三角形公式定理解题技巧 （海伦、射影、角平分线、张角、倍角、恒等式） 技法01 海伦公式的应用及解题技巧 知识迁移 海伦-秦九韶公式 三角形的三边分别是a、b、c，则三角形的面积为 其中 ，这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明。 我国南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九韶公式: 技法01 海伦公式的应用及解题技巧 技法02 射影定理的应用及解题技巧 技法03 角平分线定理的应用及解题技巧 技法04 张角定理的应用及解题技巧 技法05 倍角定理的应用及解题技巧 技法06 10 类恒等式的应用及解题技巧 海伦-秦九韶公式能够解决已知三边的三角形的面积求解，是解三角形中必不可少的解题利器，也会作为材 料题在高考及模考中出现，需加以练习. 例1．（2022·浙江·统考高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把 又0解三角形中简化计算过程，但是在考试中解答题 不能直接使用，需要推导。不少高考原题用射影定理可以快速化简得出答案，在一些小题中，应用三角形 射影定理能够快速得到答案，需强化练习 【答案】 【分析】由正弦定理得到

题型13 6 类解三角形公式定理解题技巧 （海伦、射影、角平分线、张角、倍角、恒等式） 技法01 海伦公式的应用及解题技巧 知识迁移 海伦-秦九韶公式 三角形的三边分别是a、b、c，则三角形的面积为 其中 ，这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明。 我国南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九韶公式: 技法01 海伦公式的应用及解题技巧 技法02 射影定理的应用及解题技巧 技法03 角平分线定理的应用及解题技巧 技法04 张角定理的应用及解题技巧 技法05 倍角定理的应用及解题技巧 技法06 10 类恒等式的应用及解题技巧 海伦-秦九韶公式能够解决已知三边的三角形的面积求解，是解三角形中必不可少的解题利器，也会作为材 料题在高考及模考中出现，需加以练习. 例1．（2022·浙江·统考高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把 B ，b=acosC+c cos A ，c=acos B+bcos A 例2．（全国·高考真题） 的内角 的对边分别为 ，若 ，则 ． 三角形中隐藏着许多性质，比如三角形射影定理就能够在解三角形中简化计算过程，但是在考试中解答题 不能直接使用，需要推导。不少高考原题用射影定理可以快速化简得出答案，在一些小题中，应用三角形 射影定理能够快速得到答案，需强化练习 在△ABC 中，ac

题型22 5 类圆锥曲线解题技巧 （焦点三角形、阿基米德三角形、焦点弦、中点弦、弦长问题（硬解 定理-万能公式) 技法01 圆锥曲线中焦点三角形的应用及解题技巧 知识迁移 1. 椭圆焦点三角形主要结论 在ΔP F1 F2 中,记 ∠F1 P F2=θ, 椭圆定义可知: (1). |P F1|+|P F2|=2a,|F1 F2|=2c. (2) . 焦点三角形的周长为 L=2a+2c 圆锥曲线中焦点三角形的应用及解题技巧 技法02 圆锥曲线中阿基米德三角形的应用及解题技巧 技法03 圆锥曲线中焦点弦的应用及解题技巧 技法04 圆锥曲线中中点弦的应用及解题技巧 技法05 圆锥曲线中弦长问题（硬解定理-万能公式）的应用及解题技巧 圆锥曲线的焦点三角形及其相关计算是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会 结合公式运算，需强化训练复习 如图, F1、F2 是双曲线的焦点, 例3-2．（山东·统考高考真题）斜率为 的直线过抛物线C：y2=4x 的焦点，且与C 交于A，B 两点，则 = ． 【法一】先求出倾斜角，代入|AB|= 2|p| sin 2θ 求解即可 【法二】解得 所以 【法三】 设 ，则 , 过 分别作准线 的垂线，设垂足分别为 如图所示. 故答案为： 1．（全国·高考真题）已知直线 与抛物线 相交于A、B 两点，F 为C 的焦点，若

题型22 5 类圆锥曲线解题技巧 （焦点三角形、阿基米德三角形、焦点弦、中点弦、弦长问题（硬解 定理-万能公式) 技法01 圆锥曲线中焦点三角形的应用及解题技巧 知识迁移 1. 椭圆焦点三角形主要结论 在ΔP F1 F2 中,记 ∠F1 P F2=θ, 椭圆定义可知: (1). |P F1|+|P F2|=2a,|F1 F2|=2c. (2) . 焦点三角形的周长为 L=2a+2c 圆锥曲线中焦点三角形的应用及解题技巧 技法02 圆锥曲线中阿基米德三角形的应用及解题技巧 技法03 圆锥曲线中焦点弦的应用及解题技巧 技法04 圆锥曲线中中点弦的应用及解题技巧 技法05 圆锥曲线中弦长问题（硬解定理-万能公式）的应用及解题技巧 圆锥曲线的焦点三角形及其相关计算是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会 结合公式运算，需强化训练复习 如图, F1、F2 是双曲线的焦点, 积，利用二次函数求最值即可. 【详解】（1）由题意， ，即 ，可知抛物线方程为 ，其准线方程为 . （2） ，则切线 ： ，即 ； 同理 ： . 分别代入点 可得 ，对比可知直线 的方程为： .(即切点弦方程) 联解 ，可知 ， 点 到直线 的距离为 ， 因此， ， 而 ，故 . 当且仅当 ，即 时， 的最小值为 . 【点睛】关键点点睛：涉及三角形面积问题，一般可利用直线联立抛物线方程求出弦长，再由点到直线距

2025 “ ” 小学语文 成语接龙 拓展试卷（答案全解） 一、单项选择题（共10 题，每题2 分） 1. “ ” “ ” 成语画蛇添足的足字，可以接下列哪个成语？ A. 足智多谋B. 足不出户C. 足食足兵D. 足高气扬 2. “ ” “ ” 一见钟情的情字，最适合接的成语是： A. 情同手足B. 情有可原C. 情不自禁D