（分组求和、裂项相消、错位相减（万能公式）、 奇偶并项、周期与类周期综合） 技法01 分组求和的应用及解题技巧 例1．（2023·四川南充·统考三模）已知数列 的前 项和为 . (1)求 的通项公式； (2)设数列 满足： ，记 的前 项和为 ，求 . （1） 技法01 分组求和的应用及解题技巧 技法02 裂项相消的应用及解题技巧 技法03 错位相减（万能公式）的应用及解题技巧 两式相减得 ， 化简可得 ，且 满足条件， 综上可得， 是公差为 的等差数列； （2）因为 ，故 ，解得 ， 所以 ， 所以 ， 所以 所以 . 4．（2023·山东德州·三模）已知 为数列 的前 项和， ． (1)求数列 的通项公式 ； (2)设 ，记 的前 项和为 ，证明： ． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据数列递推式可得 ，采用两式相减的方法可得 ，采用两式相减的方法可得 ，从而构造数列，可求得 的通项公式； （2）由（1）的结论可得 的表达式，利用裂项求和法，可得答案. 【详解】（1）当 时， ，则 ， 因为 ， 所以 ， 两式相减得： ， 所以 ， ， ， ，则 ，即 也适合上式， 所以 是以5 为首项，公比为2 的等比数列， 故： ， 故 ； （2）由（1）得 ， 故 ， 当 时， ，故 . 5．（2023·湖北·武汉市第三中学校联考一模）已知正项数列

（分组求和、裂项相消、错位相减（万能公式）、 奇偶并项、周期与类周期综合） 技法01 分组求和的应用及解题技巧 例1．（2023·四川南充·统考三模）已知数列 的前 项和为 . (1)求 的通项公式； (2)设数列 满足： ，记 的前 项和为 ，求 . （1） （2） . 技法01 分组求和的应用及解题技巧 技法02 裂项相消的应用及解题技巧 技法03 错位相减（万能公式）的应用及解题技巧 ，设数列 的前 项和为 ，求证 ． 技法03 错位相减的应用及解题技巧 知识迁移 万能公式： 形如 的数列求和为 ， 其中 ， ， 例3．（2023·全国·统考高考真题）设 为数列 的前n 项和，已知 ． (1)求 的通项公式； (2)求数列 的前n 项和 ． 错位相减求和一般是等差数列乘等比数列求和，即差比数列，解题的关键是乘公比错位相减，也可以用万 能公式求解，是高考中的高频考点，需强加练习 能公式求解，是高考中的高频考点，需强加练习 （1） ． （2）因为 ，所以 ， ， 两式相减得， ， ，即 ， ． 也可以用万能公式求出A、B、C 直接求解 1．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知 为数列 的前 项和， ，且 是公差为1 的等差数 列．正项等比数列 满足 ， ． (1)求数列 的通项； (2)求数列 的前 项和 ． 2．（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）已知两个正项数列

【分析】（1）根据 与 的关系分析可得数列 是3 为首项，2 为公差的等差数列，结合等差数列通 项公式运算求解； （2）由（1）可得： ，利用裂项相消法运算求解. 【详解】（1）因为 ，可得 ， 两式相减得 ， 整理得 ，可知数列 是3 为首项，2 为公差的等差数列， 所以 ． （2）由（1）可得： ， 则 ， 所以 ． 3．（2023·广东·统考二模）记数列 的前n 项和为 ，已知 ，且满足 【答案】(1) (2)-36672 【分析】（1）利用 得到数列 为等比数列，利用等比数列的通项公式求解； （2）求出 ，然后利用分组求和法求和即可. 【详解】（1）因为 ，则当 时， ， 两式相减可得 ，则 ， 且当 时， ，解得 ， 所以 是首项为 ，公比为2 的等比数列， 所以 ， 即 ； （2）因为 ， 则 . 技法02 已知an+1=an+f (n)用累加法求通项公式的解题技巧 的值，并求数列 的通项公式. (2)令 ，求数列 的前 项和. 【答案】(1) ， ， (2) 【分析】（1）根据递推公式分别计算 的值，然后构造数列，利用累加法求出通项公式； （2）错位相减法求和. 【详解】（1） ， 当 时， ；当 时， ， ， ， ， 又 （2）由（1）得 ， ， ， ， 3．（2022·浙江·统考高考真题）已知数列 满足 ，则（ ）

可知，总功率最大，处于高温档； S 断开时，R1与R2串联，R 总最大，由 可知，总功率最小，处于低温档。 经典考法 已知：U 总、P 高、P 低，求： ①R1、R2（先算后减） 利用低温求： b 利用高温求： 相减求：R2＝R 总－R1 ②高、低： ③低温状态下P1、P2： ④热量/电能：Q==Pt 例1 表为一台电烤箱的铭牌，其内部简化电路如图所示，R1和R2均为电热丝，求： ××牌 断开时，电路中只有R1，R 总最大，由 可知，总功率最小，处于低温档。 经典考法 已知：U 总、P 高、P 低，求： ①R1、R2、P1、P2（先减后算） P1=P 低 b 利用低温求： 相减求：P2＝P 高－P 低 d 算： ②高、低： ③热量/电能：Q==Pt 例2 如图所示是一款高、低温两档电烤炉的电路原理图，其中R1、R2代表两根电热丝，S2为温控开 关。从说 总最大，此时处于高温档 只闭合S1时，电路中只有R1，R 总最大，同理可知，P 总最小，此时处于低温档 （1）求R2的阻值： P2=P 高－P 低=1980－880=1100————————先相减求P2 ————————————再算R2 （2）由P=U 可得，在高温档正常工作时，电路的总电流为： 在低温档正常工作时的电流为： 则通过R2的电流： 2=高－低=9－4=5 （3）由 可得：在低温档正常工作时15

所以 ，即 的最小值.4．此时 ． 故选：C． 11．D 【分析】 由 先求出 ，从而得出 ，由 讨论出其单调性，从 而得出答案. 【详解】 当 时， ； 由 ，当 时， ， 两式相减，可得 ， 解得 ，当 时，也符合该式，故 ． 所以 由 ，解得 ；又 ，所以 ，所以 ，当 时， ，故 ，因此最大项为 ， 故选：D． 12．C 【详解】 由题意得：， ，又 ， 时， 与 两式 相减即可得 两边同时乘以 ，得 ，令 ，可得 是等差数列，求出 的通项即可求 的通项； （2）由（1）知， 利用乘公比错位相减求和求出 ，当 ， 时单独讨论，当 时， 化为 ，即 .令 （ ， ），则 ，计算 判断 的单调性求出 的最小值，即 可求得实数 的取值范围． 【详解】 （1）由已知， ， 当 时， ，解得 . 当 时， ． 两式相减，得 ． 两边同时乘以

（1）设所求双曲线为 ，点 代入得 …………4 分 （2）设 ， ， ， ，点 在双曲线上 所以 ， 相减得 ，即 所以所求的直线的方程为 设 ， ， ， ， 则由 得 所以 ， 代入 的 所以 20.（本题满分12 分） 已知正项数列 的前 项和为 ，若 是 和 的等差中项． (1) （舍去）…………5 分 所以 恒经过定点 ， ．……………………………………6 分 （2）因为圆心 是线段 的中点，设圆心 ， ， ， ， ， 因为 ， ， ， 在抛物线 上， 所以 ， ，相减得 化简得 所以动圆 的圆心 的轨迹方程 ……………………………………12 分

444 2. 12 × 12 = 144 3. 1/4 = 0.25 4. 50% = 0.5 5. 估算时，299 ≈ 300 6. 乘法有交换律 7. 除法有结合律 8. 分数相减，分母相减 9. 25 × 4 = 100 10. 100 ÷ 0 = 0 四、简答题 1. 请用乘法分配律计算35 × 12。 2. 解释如何心算98 × 103。 3.

为△BPQ 的重心，故 ， 12 （北京）股份有限公司 即 ，解得 ， ， 又M 为线段PQ 的中点，则 ， ， 12 （北京）股份有限公司 又P、Q 为椭圆C 上两点，则 ， ， 两式相减得 ， 所以 ， 化简得 ，则 解得 或 （∵ 故舍去） 则 ，则离心率 ． 故答案为： 17．（1） （2） 【分析】 （1）利用导数和已知条件可得出关于实数a、b 的方程组，可求得实数a、b 【分析】 （1）由 ，可得 ，两式相减化简可得 ，再求出 ，可 16 （北京）股份有限公司 得 是首项为1，公差为3 的等差数列，从而可求出 ，再由 ， 可求出数列 的公比q， 从而可求出 ； （2）由（1）可得 ，然后利用错位相减法可求得 ． 【详解】 （1）因为 ， 16 （北京）股份有限公司 当 时， ，解得 ； 当 时， ， 两式相减，得 ，即 ， 又各项均为正数，所以 因为 满足上式， 所以 是首项为1，公差为3 的等差数列． 所以 ． 设等比数列 的公比为q，因为 ， ， 所以 ， 解得 （或 舍去）， 所以 ． （2） ， 所以 ， ， 两式相减得： 所以 ． 22．（1） （2）证明见解析 【分析】 17 （北京）股份有限公司 （1）根据已知条件求得a，b，从而求得椭圆C 的标准方程． （2）设出直线l 的方程并与椭圆C 的

9. 用简便方法计算\(\frac{1}{8} + \frac{7}{8}\) 时，可以直接 （）。 A. 分子相加，分母不变\hspace{1cm} B. 分子相减 \hspace{1cm} C. 分母相加\hspace{1cm} D. 分子分母交叉相乘 10. \(2\frac{1}{4} - 1\frac{1}{2}\) 的简便计算过程是（）。 通分\hspace{1cm} B. 将\(\frac{5}{6}\) 化为\ (\frac{10}{12}\) \hspace{1cm} C. 分子相减\hspace{1cm} D. 分母相减 19. 以下关于分数加减法的描述，正确的是（）。 A. 异分母分数需先通分\hspace{1cm} B. 结果能约分的要约简 \hspace{1cm}

通分为\(\frac{5}{6} - \frac{3}{6}\) B. 结果写为\(\frac{4}{6}\) C. 未约分得\(\frac{2}{3}\) D. 分母直接相减 13. 下列算式中，结果大于1 的是（） A. \(\frac{3}{4} + \frac{1}{2}\) B. \(\frac{5}{6} + \frac{2}{3}\) = \frac{3}{9}\) 。（） 27. \(1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}\) 。（） 28. 异分母分数相加减，通分后分子直接相加或相减。（） 29. \(\frac{7}{8} - \frac{3}{4} = \frac{1}{8}\) 。（） 30. 分数加减法中，分母可以为0 。（） 四、简答题（每题5