广东省深圳实验学校高中部2021-2022学年高二上学期第二阶段考试数学答案

深圳实验学校高中部2021-2022 学年度第一学期第二阶段考 试 高二数学 时间：120 分钟 满分：150 分 命题人：潘盛华 审题人：曾玉泉 第 I 卷 一、选择题： DBACB ACC 二、9. ABC 10. ACD 11.ABC 12．AB 第 Ⅱ卷 三、13. 14． 15． 16． 四、解答题: 本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本题满分10 分） 已知圆C ： ，经过点 的一条直线与圆C 交于A，B 两点． 若AB 的弦长|AB| ,求直线AB 的方程． 解：（1）若直线斜率不存在，即直线 ，满足条件 （2）若直线斜率存在，设直线 所以所求的直线AB 的方程为 ， 18．（本题满分12 分） 设数列{ } n a 的前n 项和为 n S ， 已知 ． (１) 求数列{ } n a 的通项公式； (２) 求数列{| |} n a 的前n 项的和 ． (1） ． …………5 分 (2）所以数列{| |} n a 的前n 项的和为 …………12 分 19．（本题满分12 分） 已知过点 的直线与双曲线 交于 ． （1）求与双曲线 共渐近线且过点 的双曲线的方程； （2）若线段 的中点为 ，求直线的方程和三角形 面积 （1）设所求双曲线为 ，点 代入得 …………4 分 （2）设 ， ， ， ，点 在双曲线上 所以 ， 相减得 ，即 所以所求的直线的方程为 设 ， ， ， ， 则由 得 所以 ， 代入 的 所以 20.（本题满分12 分） 已知正项数列 的前 项和为 ，若 是 和 的等差中项． (1) 求数列 的通项公式； (2) 若 ，求 的前 项和 ． 解：①因为 ，所以当 ， …………1 分 所以 ， ， 因此当 时： ， … … 2 分 所以 ， … … … … … … 4 分 因为 ， 所以 时 ，即 所以数列 因为是首项为1，公差为2 的等差数列， ． … … … … 6 分 (2) ， ……① ……② ①-②得： … … … … … … 8 分 ………………10 分 所以 … … … … … … 11 分 ………………12 分 21.（本题满分12 分） 在直线： 上任取一点 ，过 且以椭圆 的焦点为焦点 作椭圆． （1）若所作的椭圆的长轴最短，求椭圆 的方程； （2）求（１）问所求椭圆 上的点到直线距离的最大值． 解: （Ⅰ）椭圆 的焦点为 ， ，………………………2 分 （法一）因为点 在所求的椭圆上，所以长轴长 ． 又长轴要求最短，即在直线： 上求一点 ，使得 的值最小． 设点 关于直线： 的对称点为 ， 则 ，解得 ，所以 ． ………………6 分 所作的椭圆的长轴长 ． 即 ， ， ，所求椭圆 的方程为 ……8 分 （法二）设所求椭圆 的方程为 ……………2 分 则由 ， 得 …………4 分 △ = 解得： 或 （舍去） 所求椭圆 的方程为 ． ……………………………………………8 分 （Ⅱ）（法一）设直线 ： 与直线平行且与椭圆 ： 相切， 则由 ，得 ，即 ， 令△ ，解得 ，所以 ： ，………11 分 ： 与： 之间的距离 ， 即椭圆 上的点到直线距离的最大值为 ．………………………………12 分 （注：也可以由（Ⅰ）知与椭圆 相切，又椭圆 关于原点对称，所以关于原点的 对称直线 即为 ．） （法二）设椭圆 上任点 ， …………………………9 分 则点 到直线距离 ，其中 ， ． 而 ，所以椭圆 上的点到直线距离的最大值为 ．………12 分 22.（本题满分12 分） 已知动直线 （ ）与抛物线 为常数，且 相交 于 ， 两点，以弦 为直径的圆 恒经过坐标原点． （1）求证：直线过定点，并求出这个定点； （2）求动圆 的圆心 的轨迹方程． 解：（1）直线 ，设 ， ， ， ， 则以弦 为直径的圆恒经过坐标原点 ．……1 分 由 得 ，所以 ， ．… 3 分 ．………………………………4 分 所以 ，解得 或 （舍去）…………5 分 所以 恒经过定点 ， ．……………………………………6 分 （2）因为圆心 是线段 的中点，设圆心 ， ， ， ， ， 因为 ， ， ， 在抛物线 上， 所以 ， ，相减得 化简得 所以动圆 的圆心 的轨迹方程 ……………………………………12 分