题型27 5 类概率统计大题综合解题技巧 （分布列与数字特征、二项分布、超几何及正态分布、统计案例综合、 概率与数列、概率与导数综合） 技法01 分布列与数字特征应用及解题技巧 知识迁移 1．离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X 取每一个值xi(i＝1,2，…，n) 的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值 技法01 分布列与数字特征应用及解题技巧 技法02 二项分布、超几何及正态分布的应用及解题技巧 技法03 统计案例综合的应用及解题技巧 技法04 概率与数列的应用及解题技巧 技法05 概率与导数的应用及解题技巧 分布列与数字特征是新高考卷的常考内容，难度中等，常在大题中考查，需重点复习 道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和小宇两人中选择谁去参 加市级比赛（活动规则不变）会更好，并说明理由． 技法02 二项分布、超几何及正态分布的应用及解题技巧 知识迁移 1. 两点分布 X 0 1 P 1 － p p 二项分布、超几何及正态分布是新高考卷的常考内容，难度中等，常在大题中考查，需重点复习. 这样的分布列叫做两点分布列． 如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X

题型27 5 类概率统计大题综合解题技巧 （分布列与数字特征、二项分布、超几何及正态分布、统计案例综合、 概率与数列、概率与导数综合） 技法01 分布列与数字特征应用及解题技巧 知识迁移 1．离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X 取每一个值xi(i＝1,2，…，n) 的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值 技法01 分布列与数字特征应用及解题技巧 技法02 二项分布、超几何及正态分布的应用及解题技巧 技法03 统计案例综合的应用及解题技巧 技法04 概率与数列的应用及解题技巧 技法05 概率与导数的应用及解题技巧 分布列与数字特征是新高考卷的常考内容，难度中等，常在大题中考查，需重点复习 记“小宇至少正确完成其中3 道题”为事件B，则 ； 因为 ，故小宇进决赛的可能性更大， 所以应选择小宇去参加比赛． 技法02 二项分布、超几何及正态分布的应用及解题技巧 知识迁移 1. 两点分布 X 0 1 P 1 － p p 二项分布、超几何及正态分布是新高考卷的常考内容，难度中等，常在大题中考查，需重点复习. 这样的分布列叫做两点分布列． 如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X

已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 A. B. C. D. 【2 题答案】 【答案】A 【解析】 【详解】分析：根据随机变量服从正态分布 ，求得其图象的对称轴 ，再根据曲线的对称性， 即可求解答案． 详解：由题意，随机变量服从正态分布 ，所以 ，即图象的对称轴为 ， 又由 ，则 ， 则 ，故选A． 点睛：本题主要考查了正态分布的应用，其中熟记正态分布的图象关于 对称，利用图象的对称性求 故k+(k+1)=5,即k=2. 7. 设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则实数 等于 A. B. C. D. 【7 题答案】 【答案】B 【解析】 【详解】 【分析】分析：根据随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于x=4 对称，得到两个概率相等的区间关于 x=4 对称，得到关于a 的方程，解方程即可． 详解：∵随机变量ξ 服从正态分布N（4，3）， P ∵（ξ＜a 5 ﹣）=P（ξ＞a+1）， 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 设离散型随机变量服从正态分布X～N(0，1)， （1）求P(X≤0)值； （2）求P(－2正态分布密度曲线关于 对称的性质求解；(2)根据 的取值，结合所提供的参考值 求解. 【小问1 详解】 因为正态分布 ，所以 其密度曲线的对称轴为 ， 所以

C．H 点的轨迹长度为π D．AH+HO 的值小于2 三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13．已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 的展开式中 的系数为_______. 14．如图，在棱长为1 的正方体 中，E 为线段 的中点，则点 C 到平面 的距离等于_______. 15．定义在R 上的奇函数 满足 67 70 78 86 件数（单位：件） 1 20 48 19 3 0 (1) 求样本平均数 的值；根据大量的产品检测数据，得到该零件的质量差（这里指质量与生产标准的差 的绝对值）X 近似服从正态分布 ，其中 的近似值为36，用样本平均数 作为 的近似值，求 概率 的值； (2) 若该企业有两条生产该零件的生产线，其中第1 条生产线的生产效率是第2 条生产线的生产效率的两 倍. 若第1 条生产线出现废品的概率约为0 线生产出来的零件混放在一起，这两条生产线是否出现废品相互独立.现从该企业生产的该零件中随机抽 取一件.（i）求该零件为废品的概率； （ii）若在抽取中发现废品，求该废品来自第1 条生产线的概率. 参考数据：若随机变量 服从正态分布 ，则： ， ， 21．如图，在多面体 中，侧面 为菱形，侧面 为直角梯 形， 分别为 的中点，且 . (1)证明： 平面 ； (2)若平面 平面 ，多面体 的体积为 ，求直线 与平面

9. 为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本 均值 ，样本方差 ，已知该种植区以往的亩收入 服从正态分布 ，假设推动 出口后的亩收入 服从正态分布 ，则（ ）（若随机变量Z 服从正态分布 ， ） A. B. C. D. 10. 设函数 ，则（ ） A. 是 的极小值点 B. 当 时， C. 当 时， D. 当

银川一中2021/2022 学年度(下)高二期中考试 数学(理科)试卷 一、单选题（每题5 分，共60 分） 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 A. B. C. D. 3. 若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 C. D. 6. 将一枚硬币连掷5 次,如果出现k 次正面向上的概率等于出现k+1 次正面向上的概率,那么k 的值为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则实数 等于 A. B. C. D. 8. 设随机变量ξ 服从二项分布ξ～B(6， )，则P(ξ≤3)等于（ ） A. B. C. D. 9. 已知X～B（n，p），E（X）＝2，D（X）＝1 所围成图形的面积为____． 16. 随机变量 的概率分布为 0 1 且 ，则 ________. 三、解答题(共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 设离散型随机变量服从正态分布X～N(0，1)， （1）求P(X≤0)值； （2）求P(－2

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，两次均击中目标的概率是 .则该选手在第一 次射击已经击中目标的前提下，第二次射击也击中目标的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论 中有一个重要的结论：若随机变量 ，当 充分大时，二项随机变量 可以由正态随机变量 来近似地替代，且正态随机变量 的期望和方差与二项随机变量 的期望和方差相同 时这个结论是成立的，法国数学家､物理学家拉普拉斯 在1812 年证明了这个结论对任意的实数 都成立，因此，人们把这个结论称为棣莫 弗一拉普拉斯极限定理.现拋掷一枚质地均匀的硬币900 次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于 420 次的概率为（ ） 附：若 ，则 ， A. B. C. D. 8. 设函数的 定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当 时， 若 ，且 ，则 的不等式 对 都成立，求实数 的取值范围. 21. 李师傅每天都会利用手机在美团外卖平台购买1 份水果，该平台对水果的描述用数学语言表达是：每份 水果的重量服从期望为1000 克，标准差为50 克的正态分布，李师傅从2022 年3 月1 日至6 月8 日连续 100 天，每天都在平台上购买一份水果，经统计重量在 （单位：克）上的有60 份，重量在 （单位：克）上的有40 份. （1）李师傅的儿子刚参加完2022

在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量 服从二项分布 ，则 B. 若随机变量 服从正态分布 ，则 C. 若随机变量 服从两点分布， ，则 D. 若随机变量 的方差 ，则 10. 甲箱中有5 个红球，2 个白球和3 个黑球，乙箱中有4 个红球，3 个白球和3 个黑球.先从甲箱中随机取 如下：学生的平均成绩为 =80，方差为 ．学校要对成绩不低于90 分的学生进行表彰．假设学生的测试成绩X 近似服从正态分布 （其中μ 近似为平均数 ， 近似为方差 ，则估计获表彰的学生人数为___________．（四 舍五入，保留整数） 参考数据：随机变量X 服从正态分布 ，则 ， ， ． 15. 设函数 ， ，对任意 ， ，不等式 恒成立，则正 数 的取值范围是__________．

） （北京）股份有限公司 A.已知随机变量 服从二项分布 ，则 B.“ 与 是互斥事件”是“ 与 互为对立事件”的充分不必要条件 C.已知随机变量 的方差为 ，则 D.已知随机变量 服从正态分布 且 ，则 5.设函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时， ，若对任意 （北京）股份有限公司 ，都有 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.将四书《中庸》、《论语》、 名员工，他们为企业贡献的利润近似服从正态分布 ， 为各位员工贡献利润 数额的均值，计算结果为100 万元， 为数据的方差，计算结果为225 万元，若规定奖金只有贡献利润大于 115 万元的员工可以获得，若按方案一与方案二两种抽奖方式获得奖金的数学期望值的最大值计算，求获奖 员工的人数及每人可以获得奖金的平均数值（保留到整数）参考数据：若随机变量 服从正态分布 ，则 22.（本小题12 分）设 对于B，根据互斥事件和对立事件的定义，“ 与 是互斥事件”并不能推出“ 与 互为对立事件”，相 反“ 与 互为对立事件”必能推出“ 与 是互斥事件”，故B 错误； 对于C，根据方差的计算公式， ，故C 错误； 对于D，根据正态分布的对称性，随机变量 ， ， 所以 ，所以 ，故D 正确；故选：D. 5.A 解：因为 ，所以 ， （北京）股份有限公司 当 时， ，∴ 时， ， （北京）股份有限公司 ， ∴ 时，

区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本 均值 ，样本方差 ，已知该种植区以往的亩收入 服从正态分布 ，假设推动 出口后的亩收入 服从正态分布 ，则（ ）（若随机变量Z 服从正态分布 ， ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正态分布的 原则以及正态分布的对称性即可解出. 【详解】依题可知， ，所以 ， 故 ，C 正确，D 错误； 因为 ，所以