浙江省A9协作体2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题

绝密★考试结束前 浙江省A9 协作体2022 学年第二学期期中联考 高二数学试题 命题：诸暨牌头中学 赵春风 审题：马寅初中学 章立丰 桐乡凤鸣高级中学 沈佳磊 考生须知： 1.本卷满分150 分，考试时间120 分钟； 2.答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4.考试结束后，只需上交答题卷. 第Ⅰ卷 一、单选题（本大题共8 小题，共40 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项.） 1.已知集合 ， .若 ，则 值范围是（ ） A. B. C. D. 2.命题“ ， ”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3.下列结论中正确的是（ ） A.若 ，则 B.若 ，则 C.若 ，则 D.若 ，则 4.下列说法中正确的是（ ） （北京）股份有限公司 A.已知随机变量 服从二项分布 ，则 B.“ 与 是互斥事件”是“ 与 互为对立事件”的充分不必要条件 C.已知随机变量 的方差为 ，则 D.已知随机变量 服从正态分布 且 ，则 5.设函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时， ，若对任意 （北京）股份有限公司 ，都有 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.将四书《中庸》、《论语》、《大学》、《孟子》全部随机分给甲、乙、丙三名同学，每名同学至少分得1 本， 事件：“《中庸》分给同学甲”； 表示事件：“《论语》分给同学甲”； 表示事件：“《论语》 分给同学乙”，则下列结论正确的是（ ） A.事件 与 相互独立 B.事件 与 相互独立 C. D. 7.在二项式 的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列， 则有理项互不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 8.已知函数 ， ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4 小题，共20 分。在每小题有多项符合题目要求.） 9.已知 ， ，则下列结论错误的是（ ） A.若 ，则 B.若 ，则 C.若 ，则 D.若 ，则 10.关于多项式 的展开式，下列结论正确的是（ ） A.各项系数之和为1 B.各项系数的绝对值之和为 C.存在常数项 D. 的系数为40 11.已知函数 ，则下列选项正确的有（ ） （北京）股份有限公司 A.函数 极小值为 ，极大值为 （北京）股份有限公司 B.当 时，函数 的最大值为 C.函数 存在3 个不同的零点 D.当 时，方程 恰有3 个不等实根 12.几只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝 ， ， ；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝 ， ， ；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树 枝 ， ， ；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝 ， ， ；（5）戊在下落的过程中依次撞击到 树枝 ， ， ，下列结论正确的是（ ） A.最高处的树枝为 、 当中的一个 B.最低处的树枝一定是 C.这九棵树枝从高到低不同的顺序共有33 种 D.这九棵树枝从高到低不同的顺序共有32 种 第Ⅱ卷 三、填空题（本大题共4 小题，共20 分.） 13.设随机变量 的分布列 ，则 ______. 14.已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值是______. 15.过点 作曲线 的切线，则切线方程是______. 16.函数 ，若存在 ， ， ，使得 ，则 的 最小值是______. 四、解答题（本大题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.（本小题10 分）已知函数 ， （1）若方程 有两根，且两根为 ， ，求 的取值范围； （2）已知 ，关于 的不等式 的解为 ，若 ，求实数 的取值范围. 18.（本小题12 分）同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95， 0.90，0.80，三家产品数所占比例为 ，混合在一起： （1）从中任取一件，求此产品为正品的概率； （北京）股份有限公司 （2）现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？（给出计算过程） 19.（本小题12 分）已知 展开式的二项式系数和为512， 且 （北京）股份有限公司 （1）求 的值； （2）求 的值； （3）求 被6 整除的余数. 20.（本小题12 分）某工厂某种产品的年产量为 吨，其中 ，需要投入的成本为 （单 位：万元），当 时， ；当 时， .若每吨商 品售价为 万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完. （1）写出年利润 （单位：万元）关于 的函数关系式； （2）年产量为多少吨时，该厂利润最大？ 21.（本小题12 分）某公司在一次年终总结会上举行抽奖活动，在一个不透明的箱子中放入3 个红球和3 个白 球（球的形状和大小都相同），抽奖规则有以下两种方案可供选择： 方案一：选取一名员工在袋中随机摸出一个球，若是红球，则放回袋中；若是白球，则不放回，再在袋中补 充一个红球，这样反复进行3 次，若最后袋中红球个数为 ，则每位员工颁发奖金 万元； 方案二：从袋中一次性摸出3 个球，把白球换成红球再全部放回袋中，设袋中红球个数为 ，则每位员工颁 发奖金 万元. （1）若用方案一，求 的分布列与数学期望； （2）比较方案一与方案二，求采用哪种方案，员工获得奖金数额的数学期望值更高？请说明理由； （3）若企业有1000 名员工，他们为企业贡献的利润近似服从正态分布 ， 为各位员工贡献利润 数额的均值，计算结果为100 万元， 为数据的方差，计算结果为225 万元，若规定奖金只有贡献利润大于 115 万元的员工可以获得，若按方案一与方案二两种抽奖方式获得奖金的数学期望值的最大值计算，求获奖 员工的人数及每人可以获得奖金的平均数值（保留到整数）参考数据：若随机变量 服从正态分布 ，则 22.（本小题12 分）设 ，函数 . （1）讨论方程 的解的个数； （北京）股份有限公司 （2）若函数 有两个相异零点 ， ，求证： （北京）股份有限公司 浙江省A9 协作体2022 学年第二学期期中联考 高二数学参考答案 1.C 解：因为 ， ， 又 ，所以只需 解得 ，故选C. 2.D 解：∵存在量词命题的否定是全称量词命题， ∴命题“ ， ”的否定是“ ， ”.故选D. 3.B 解：对于选项A： ，则 ，故错误； 对于选项B： ， ，故正确， 对于选项C： ，则 ，故错误； 对于选项D： .故错误；故选：B. 4.D 解：对于A，已知随机变量 ，则 ，故A 错误； 对于B，根据互斥事件和对立事件的定义，“ 与 是互斥事件”并不能推出“ 与 互为对立事件”，相 反“ 与 互为对立事件”必能推出“ 与 是互斥事件”，故B 错误； 对于C，根据方差的计算公式， ，故C 错误； 对于D，根据正态分布的对称性，随机变量 ， ， 所以 ，所以 ，故D 正确；故选：D. 5.A 解：因为 ，所以 ， （北京）股份有限公司 当 时， ，∴ 时， ， （北京）股份有限公司 ， ∴ 时， ， ， 作出函数图象，如图所示： 当 时，由 ，解得 或 ， 对任意 ，都有 ，则 ，即 的取值范围为 .故选A. 6.C 解：将四书《中庸》《论语》《大学》《孟子》全部随机分给甲、乙、丙三名同学，共有 种基本 事件，事件 包含的基本事件数为： ，则 ，同理 ， 事件 包含的基本事件数为： ，则 ， 事件 包含的基本事件数为： ，则 ， 因为 ，故A 错误；因为 ，故B 错误； 因为 ，故C 正确；因为 ，故D 错误.故选C. 7.A （北京）股份有限公司 解：因为二项式 的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，所以展开式共有7 项， ， （北京）股份有限公司 所以展开式的通项公式为 ， ， 因为 的指数幂为整数即 ，3，6 时为有理项，所以展开式的第1，4，7 项为有理项， 所以把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项互不相邻的概率为 ，故本题选C. 8.B 解：函数 的定义域为 ，易知 为偶函数， 当 时，函数 ，则 ， 当 时， ；当 时， ； 所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增； 因为函数 为偶函数，所以 ， 作差： ，所以 ， 又因为 ，所以 ， 所以 ，而函数 在 上单调递减， 所以 ，也即 ，故选：B. 9.ABD 解：对于A，令 ， ，满足 ，但 ，故A 错误， 对于B，若 ，当 时， ，故B 错误， （北京）股份有限公司 对于C，∵ ，∴ ，当且仅当 时，等号成立，故C 正确， 对于D，令 ， ， ，满足 ，但 ，故D 错误.故选：ABD. （北京）股份有限公司 10.BCD 解：由题意可得，各项系数之和为 ，各项系数的绝对值之和为 . ，易知该多项式的展开式中一定存在常数项. 由题中的多项式可知，若出现 ，可能的组合只有 和 ， 结合排列组合的性质可得 的系数为 .故选BCD. 11.AB 解：根据题意 ， 当 时， ，函数 单调递增，当 时， ，函数 单调递减， 当 时， ，函数 单调递增，所以当 时，函数取得极大值为 ， 当 时，函数取得极小值为 ，故A 正确； 作出函数大致图象： 由图象可知， ，故当 时，函数 的最大值为 ，故B 正确； 当 趋于负无穷时， 趋于0，故函数 存在2 个不同的零点，故C 错误； 当 时，显然有2 个不等实根，故D 错误.故选AB. 12.AC 解：由题判断出部分树枝由高到低的顺序为 ， 还剩下 ， ， ，且树枝 比 高，树枝 在树枝 ， 之间，树枝 比 低，故A 选项正确； 最低处的树枝也可能是 ，故B 选项错误； （北京）股份有限公司 先看树枝 ，有4 种可能，若 在 ， 之间， （北京）股份有限公司 则 有3 种可能：① 在 ， 之间， 有5 种可能， ② 在 ， 之间， 有4 种可能；③ 在 ， 之间， 有3 种可能， 此时树枝的高低顺序有 （种）. 若 不在 ， 之间，则 有3 种可能， 有2 种可能. 若 在 ， 之间，则 有4 种可能，若 在 ， 之间，则 有3 种可能， 此时树枝的高低顺序有 （种）可能. 故这九根树枝从高到低不同的顺序共有 种，故C 选项正确，D 错误.故选AC. 13. 解：∵ 得 因此 答案为 14.9 解：∵ 令 得 （ 舍去）∴ .仅当 取等号.则 最小值是9 15. 解：令 设切点为 所以切线方程为 代入 解得： 所以切线方程为 解得： 故答案为： 16. （北京）股份有限公司 解：设 （北京）股份有限公司 由 所以 设 设 所以 递减，在 递增，所以 最小值是 答案为 17.解（1） 得 或 ……2 分 由韦达定理： ……3 分 故 值范围为： ……5 分 （2）由题意， ， 的解为 ，若 ，则 ……8 分 解得 .……10 分 18. 解 设事件 表示取到的产品为正品， ， ， 分别表示产品由甲、乙、丙厂生产. 则 ，且 ， ， 两两互斥，……2 分 由已知 ， ， ， ， ， .……4 分 （1）由全概率公式得 .……7 分 （2）由题意得 ， ， .……10 分 由以上3 个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大，由甲厂生产的可能性最小，……12 分 19.解：（1）由 式的二项式系数和为512 可得 ……2 分 由 ……4 分 （北京）股份有限公司 （2）令 则 令 则 所以 ……8 分 （北京）股份有限公司 （3）由 因为 能被6 整除， 所以整除后余数为5. 所以 整除的余数为5.……12 分 20.解：（1）由题意， ……4 分 （2）当 由 得 得 ∴ 在 单调递增，在 单调递减，∴ ……8 分 当 递增，∴ ……10 分 ∵ ∴年产量为50000 吨，利润最大，最大利润为 万元.……12 分 21：解：（1）对于方案一，由条件可知 有可能取值为3，4，5，6， ∴ 的分布列为 3 4 5 6 期望值 ……4 分 （2）对于方案二，由条件可得 值为3，4，5，6， （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 ∴ 的期望值 ∵ 所以方案二员工获得奖金数额的数学期望值会更高.……8 分 （3）由（1）（2）可知，平均每位员工获得奖金的数学期望的最大值为 ，则给员工颁发奖金的 总数为 （万元）设每位职工为企业的贡献的数额为 以获得奖金的职工数约为 . （人） 则获奖员工可以获得奖金的平均数值为 （万元）……12 分 22.解：（1） 定义域是 ……1 分 当 时，由 连续单调递增，当 时 当 时 所以方程 存在唯一解.……2 分 当 时，由 得 ∴ 增，在 减.∴ ……3 分 当 时，即 时方程 无解，此时a 的范围是 当 的范围是 时，方程 有两个不等解……4 分 当 时，方程 有唯一解……5 分 综上所述，当 或者 时方程有唯一解，当 的范围是 时方程无解，当 的范围是 （北京）股份有限公司 时方程有两个不等解。……6 分 （2）证明：因为 有两个相异的零点，又由于 故不妨令 有 （北京）股份有限公司 ∴ ∴ 要证 . 即证 ……9 分 令 ，则 。所以只要证明 ， 成立 令 ……10 分 由于已知 所以 恒成立。所以 在 递增 所以 时， 恒成立，即 恒成立， 即 恒成立，从而证明 .故 ……12 分 （北京）股份有限公司