2024年高考数学试卷（新课标Ⅰ卷）（解析卷）

1/22 绝密 ★ 启用前 2024 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I 卷） 数学 本试卷共10 页，19 小题，满分150 分. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考 证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试 卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个 选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 1/22 【分析】化简集合 ，由交集的 概念即可得解. 【详解】因为 ，且注意到 ， 从而 . 故选：A. 2. 若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.【详解】因为 ，所以 2/22 . 故选：C. 3. 已知向量 ，若 ，则 （ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求 的值. 【详解】因为 ，所以 ， 所以 即 ，故 ， 故选：D. 4. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和的余弦可求 的关系，结合 的值可求前者，故可求 的值. 【详解】因为 ，所以 ， 而 ，所以 ， 故 即 ， 从而 ，故 ， 故选：A. 2/22 5. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 ，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径 3/22 的方程，求出解后可求圆锥的体积. 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为 ， 而它们的侧面积相等，所以 即 ， 故 ，故圆锥的体积为 . 故选：B. 6. 已知函数为 ，在R 上单调递增，则a 取值的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为 在 上单调递增，且 时， 单调递增， 则需满足 ，解得 ， 即a 的范围是 . 故选：B. 7. 当 时，曲线 与 的交点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】画出两函数在 上的图象，根据图象即可求解 【详解】因为函数 的的最小正周期为 ， 3/22 函数 的最小正周期为 ， 所以在 上函数 有三个周期的图象， 4/22 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6 个交点. 故选：C 8. 已知函数为 的定义域为R， ，且当 时 ，则下列结论中一 定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】代入得到 ，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当 时 ，所以 ， 又因为 ， 则 ， ， ， ， ，则依次下去可知 ，则B 正确； 4/22 且无证据表明ACD 一定正确. 故选：B . 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用 ，再利用题目所给的函数性质 ，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 5/22 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0 分. 9. 为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本 均值 ，样本方差 ，已知该种植区以往的亩收入 服从正态分布 ，假设推动 出口后的亩收入 服从正态分布 ，则（ ）（若随机变量Z 服从正态分布 ， ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正态分布的 原则以及正态分布的对称性即可解出. 【详解】依题可知， ，所以 ， 故 ，C 正确，D 错误； 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 而 ，B 正确，A 错误， 故选：BC． 10. 设函数 ，则（ ） A. 是 的极小值点 B. 当 时， 5/22 C. 当 时， D. 当 时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数 的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数 在 上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 6/22 【详解】对A，因为函数 的定义域为R，而 ， 易知当 时， ，当 或 时， 函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，故 是函数 的 极小值点，正确； 对B，当 时， ，所以 ， 而由上可知，函数 在 上单调递增，所以 ，错误； 对C，当 时， ，而由上可知，函数 在 上单调递减， 所以 ，即 ，正确； 对D，当 时， ， 所以 ，正确； 故选：ACD. 11. 造型 可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O.且C 上的点满足 横坐标大于 ，到点 的距离与到定直线 的距离之积为4，则（ ） A. B. 点 在C 上 C. C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D. 当点 在C 上时， 【答案】ABD 【解析】 6/22 【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求 ，故可判断A 的正误，结合曲线方程可判断B 的正误，利 用特例法可判断C 的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D 的正误.【详解】对于A：设曲线 上的动点 ，则 且 ， 因为曲线过坐标原点，故 ，解得 ，故A 正确. 7/22 对于B：又曲线方程为 ，而 ， 故 . 当 时， ， 故 在曲线上，故B 正确. 对于C：由曲线的方程可得 ，取 ， 则 ，而 ，故此时 ， 故 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C 错误. 对于D：当点 在曲线上时，由C 的分析可得 ， 故 ，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等 来处理. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 设双曲线 的左右焦点分别为 ，过 作平行于 轴的直线交C 于A，B 两点，若 ，则C 的离心率为___________． 【答案】 【解析】 7/22 【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出 ，结合双曲线第一定义求出 ，即可得到 的值， 从而求出离心率. 【详解】由题可知 三点横坐标相等，设 在第一象限，将 代入 得 ，即 ，故 ， ， 又 ，得 ，解得 ，代入 得 ， 8/22 故 ，即 ，所以 . 故答案为： 13. 若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线， 则 __________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出曲线 在 的切线方程，再设曲线 的切点为 ，求出 ，利用公切线斜率相等求出 ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可 求解. 【 详解】由 得 ， ， 故曲线 在 处的切线方程为 ； 由 得 ， 设切线与曲线 相切的切点为 ， 由两曲线有公切线得 ，解得 ，则切点为 ， 切线方程为 ， 8/22 根据两切线重合,所以 ，解得 . 故答案为： 14. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1， 3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持 有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1 分，数字小的人得0 分，然后各 自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2 的概 率为_________. 9/22 【答案】 ##0.5 【解析】 【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可. 【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为 ，四轮的总得分为 . 对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在 该轮获胜的概率 ，所以 . 从而 . 记 . 如果甲得0 分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7 分别对应乙出2，4，6，8，所以 ； 如果甲得3 分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7 分别对应乙出8，2，4，6，所以 . 而 的所有可能取值是0，1，2，3，故 ， . 所以 ， ，两式相减即得 ，故 . 所以甲的总得分不小于2 的概率为 . 故答案为： . 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从 9/22 而避免繁琐的列举. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记 内角A、B、C 的对边分别为a，b，c，已知 ， （1）求B；（2）若 的面积为 ，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 10/22 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出 ，最后结合已知 得 的 值即可； （2）首先求出 ，然后由正弦定理可将 均用含有 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方 程求解. 【小问1 详解】 由余弦定理有 ，对比已知 ， 可得 ， 因为 ，所以 ， 从而 ， 又因为 ，即 ， 注意到 ， 所以 . 【小问2 详解】 由（1）可得 ， ， ，从而 ， ， 而 ， 由正弦定理有 ， 10/22 从而 ，由三角形面积公式可知， 的面积可表示 为 ， 由已知 的面积为 ，可得 ， 11/22 所以 . 16. 已知 和 为椭圆 上两点. （1）求C 的离心率; （2）若过P 的直线交C 于另一点B，且 的面积为9，求的方程． 【答案】（1） （2）直线的方程为 或 . 【解析】 【分析】（1）代入两点得到关于 的方程，解出即可； （2）方法一：以 为底，求出三角形的高，即点 到直线 的距离，再利用平行线距离公式得到平移 后的直线方程，联立椭圆方程得到 点坐标，则得到直线的方程；方法二：同法一得到点 到直线 的 距离，再设 ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点 到直线 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线 斜率不存在的情况，再设直 线 ，联立椭圆方程，得到点 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线 斜 率不存在的情况，再设 ，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六： 设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘 表达面积即可. 【小问1 详解】 由题意得 ，解得 ， 11/22 所以 .【小问2 详解】 法一： ，则直线 的方程为 ，即 ， ，由（1）知 ， 12/22 设点 到直线 的距离为 ，则 ， 则将直线 沿着与 垂直的方向平移 单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点 ， 设该平行线的 方程为： ， 则 ，解得 或 ， 当 时，联立 ，解得 或 ， 即 或 ， 当 时，此时 ，直线的方程为 ，即 ， 当 时，此时 ，直线的方程为 ，即 ， 当 时，联立 得 ， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为 或 . 法二：同法一得到直线 的方程为 ， 12/22 点 到直线 的距离 ，设 ，则 ，解得 或 ， 即 或 ，以下同法一. 法三：同法一得到直线 的方程为 ， 13/22 点 到直线 的距离 ， 设 ，其中 ，则有 ， 联立 ，解得 或 ， 即 或 ，以下同法一； 法四：当直线 的斜率不存在时，此时 ， ，符合题意，此时 ，直线的方程为 ，即 ， 当线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， 联立椭圆方程有 ，则 ，其中 ，即 ， 解得 或 ， ， ， 令 ，则 ，则 同法一得到直线 的方程为 ， 点 到直线 的距离 ，则 ，解得 ， 此时 ，则得到此时 ，直线的方程为 ，即 ， 13/22 综上直线的方程为 或 . 法五：当的斜率不存在时， 到 距离 ， 此时 不满足条件. 14/22 当的斜率存在时，设 ，令 ， ，消 可得 ， ，且 ，即 ， ， 到直线 距离 ， 或 ，均满足题意， 或 ，即 或 . 法六：当的斜率不存在时， 到 距离 ， 此时 不满足条件. 当直线斜率存在时，设 ， 设 与 轴的交点为 ，令 ，则 ，联立 ，则有 ， 14/22 ， 其中 ，且 ， 则 ， 则 ，解的 或 ，经代入判别式验证均满足题意. 15/22 则直线为 或 ，即 或 . 17. 如图，四棱锥 中， 底面ABCD ， ， ． （1）若 ，证明： 平面 ； （2）若 ，且二面角 的正弦值为 ，求 ． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】【分析】（1）先证出 平面 ，即可得 ，由勾股定理逆定理可得 ， 从而 ，再根据线面平行的判定定理即可证出； （2）过点D 作 于 ，再过点 作 于 ，连接 ，根据三垂线法可知， 即 为二面角 的平面角，即可求得 ，再分别用 的长度表示出 ，即可 解方程求出 ． 【小问1 详解】 15/22 （1）因为 平面 ，而 平面 ，所以 ， 又 ， ， 平面 ，所以 平面 ， 而 平面 ，所以 . 因为 ，所以 ， 根据平面知识可知 ， 又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ． 16/22 【小问2 详解】 如图所示，过点D 作 于 ，再过点 作 于 ，连接 ， 因为 平面 ，所以平面 平面 ，而平面 平面 ， 所以 平面 ，又 ，所以 平面 ， 根据二面角的定义可知， 即为二面角 的平面角， 即 ，即 ． 因为 ，设 ，则 ，由等面积法可得， ， 又 ，而 为等腰直角三角形，所以 ， 故 ，解得 ，即 ． 18. 已知函数 （1）若 ，且 ，求 的最小值； （2）证明：曲线 是中心对称图形； （3）若 当且仅当 ，求 的取值范围． 【答案】（1） 16/22 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出 后根据 可求 的最小值； （2）设 为 图象上任意一点，可证 关于 的对称点为 也在 函数的图像上，从而可证对称性； 17/22 （3）根据题设可判断 即 ，再根据 在 上恒成立可求得 . 【小问1 详解】 时， ，其中 ， 则 ， 因为 ，当且仅当 时等号成立， 故 ，而 成立，故 即 ， 所以 的最小值为 .， 【小问2 详解】 的定义域为 ， 设 为 图象上任意一点， 关于 的对称点为 ， 因为 在 图象上，故 ， 而 ， ， 所以 也在 图象上， 由 的任意性可得 图象为中心对称图形，且对称中心为 . 【小问3 详解】 因为 当且仅当 ，故 为 的一个解， 17/22 所以 即 ， 先考虑 时， 恒成立. 此时 即为 在 上恒成立， 设 ，则 在 上恒成立， 设 ， 18/22 则 ， 当 ， ， 故 恒成立，故 在 上为增函数， 故 即 在 上恒成立. 当 时， ， 故 恒成立，故 在 上为增函数， 故 即 在 上恒成立.当 ，则当 时， 故在 上 为减函数，故 ，不合题意，舍； 综上， 在 上恒成立时 . 而当 时， 而 时，由上述过程可得 在 递增，故 的解为 ， 即 的解为 . 综上， . 【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对 一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范 围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况. 18/22 19. 设m 为正整数，数列 是公差不为0 的等差数列，若从中删去两项 和 后剩余 的 项可被平均分为 组，且每组的4 个数都能构成等差数列，则称数列 是 可分 数列． （1）写出所有的 ， ，使数列 是 可分数列； （2）当 时，证明：数列 是 可分数列； （3）从 中一次任取两个数和 ，记数列 是 19/22 可分数列的概率为 ，证明： ． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接根据 可分数列的定义即可； （2）根据 可分数列的定义即可验证结论； （3）证明使得原数列是 可分数列的 至少有 个，再使用概率的定义. 【小问1 详解】首先，我们设数列 的公差为 ，则 . 由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列， 故我们可以对该数列进行适当的变形 ， 得到新数列 ，然后对 进行相应的讨论即可. 换言之，我们可以不妨设 ，此后的讨论均建立在该假设下进行. 回到原题，第1 小问相当于从 中取出两个数和 ，使得剩下四个数是等差数列. 那么剩下四个数只可能是 ，或 ，或 . 所以所有可能的 就是 . 【小问2 详解】 由于从数列 中取出 和 后，剩余的 个数可以分为以下两个部分，共 组，使得每组 成等差数列： ① ，共 组； ② ，共 组. 19/22 （如果 ，则忽略②） 故数列 是 可分数列. 【小问3 详解】 定义集合 ， . 20/22 下面证明，对 ，如果下面两个命题同时成立， 则数列 一定是 可分数列： 命题1： 或 ； 命题2： . 我们分两种情况证明这个结论. 第一种情况：如果 ，且 . 此时设 ， ， .则由 可知 ，即 ，故 . 此时，由于从数列 中取出 和 后， 剩余的 个数可以分为以下三个部分，共 组，使得每组成等差数列： ① ，共 组； ② ，共 组； ③ ，共 组. （如果某一部分的组数为 ，则忽略之） 故此时数列 是 可分数列. 第二种情况：如果 ，且 . 20/22 此时设 ， ， . 则由 可知 ，即 ，故 . 由于 ，故 ，从而 ，这就意味着 . 此时，由于从数列 中取出 和 后，剩余的 个数可以分为以下四个部 分，共 组，使得每组成等差数列： ① ，共 组； ② ， ，共 21/22 组； ③全体 ，其中 ，共 组； ④ ，共 组. （如果某一部分的组数为 ，则忽略之） 这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含 个行， 个列的数 表以后， 个列分别是下面这些数： ， ， ， . 可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，