江苏省扬州中学2022-2023学年高二下学期5月月考试题+数学+Word版含解析

江苏省扬州中学高二数学5 月考试卷 一、单选题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分. 1．如果 ， ， 三点共线，那么 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2． 的展开式中 的系数为（ ） A． B．32 C．8 D． 3．已知 是空间的一组基底，则可以与向量 ， 构成基底的向量是（ ） A． B． C． D． 4．算盘起源于中国，迄今已有2600 多年的历史，是中国传统的计算工具：现有一种算盘（如图1），共 两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记 作数字1（如图2 中算盘表示整数51）.如果拨动图1 算盘中的两枚算珠，则表示的数字大于50 的概率为 （ ） A． B． C． D． 5．由 组成没有重复数字的五位数，其中小于50000 的偶数共有（ ）个 A．360 B．192 C．312 D．240 6．已知P（B）=0.3， ， ，则 =（ ） A． B． C． D． 7．为了预防肥胖，某校对“学生性别和喜欢吃甜食”是否有关做了一次调查，其中被调查的男女生人数 相同，男生喜欢吃甜食的人数占男生人数的 ，女生喜欢吃甜食的人数占女生人数的 ，若有 的把 握认为是否喜欢吃甜食与和性别有关，则被调查的男生人数可能是（ ） 参考公式及数据： ，其中 . 附： 0.05 0.010 3.841 6.635 A．7 B．11 C．15 D．20 8．已知 ， ， ，则下列排序正确的是（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 9．下列命题正确的是（ ） A．对于事件A，B，若 ，且 ， ，则 B．若随机变量 ， ，则 C．相关系数r 的绝对值越接近1，两个随机变量的线性相关程度越强 D．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越宽表示回归效果越好 10．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ） A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24 种 B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有18 种 C．甲乙不相邻的排法种数为72 种 D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20 种 11．已知离散型随机变量 服从二项分布 ，其中 ，记 为奇数的概率为 ， 为 偶数的概率为 ，则下列说法正确的有（ ） A． B． ，且 为偶数时， C． 时， 随着 的增大而增大 D． 时， 随着 的增大而减小 12．如图所示，圆锥PO 中，PO 为高，AB 为底面圆的直径，圆锥的轴截面是面 积等于2 的等腰直角三角形，C 为母线PA 的中点，点M 为底面上的动点，且 OM⊥AM，点O 在直线PM 上的射影为H．当点M 运动时，（ ） A．三棱锥M-ABC 体积的最大值为 B．直线CH 与直线PA 垂直不可能成立 C．H 点的轨迹长度为π D．AH+HO 的值小于2 三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13．已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 的展开式中 的系数为_______. 14．如图，在棱长为1 的正方体 中，E 为线段 的中点，则点 C 到平面 的距离等于_______. 15．定义在R 上的奇函数 满足 ， ，且当 时， ，则 _______． 16．某工厂的某种产品成箱包装，每箱 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不 合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下 的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为 ，且各件产品是否为不合格品相互独 立．记 件产品中恰有件不合格品的概率为 ，则 取最大值时， _______． 四、解答题：本大题共6 小题，共70 分. 17．现有7 本不同的书准备分给甲、乙、丙三人. (1) 若甲、乙、丙三人中，一人得1 本，一人得2 本，一人得4 本，则不同的分配方法有多少种？ (2) 若甲、乙、丙三人中，一人得3 本，另外两人每人得2 本，则不同的分配方法有多少种？ 18．在① ，②二项式系数之和为64，③二项式系数最大项仅为第4 项这三个条件中任选一个，补 充在下面横线中，已知 ， ，求: (1) n 的值; (2) 的值. 19．设某幼苗从观察之日起，第x 天的高度为ycm，测得的一些数据如下表所示： 第x 天 1 2 3 4 5 6 7 高度ycm 0 4 7 9 11 12 13 作出这组数据的散点图发现：y（cm）与x（天）之间近似满足关系式 . (1) 试借助一元线性回归模型，根据所给数据，求出y 关于x 的线性回归方程 ； (2) 在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的3 个点，记这3 个点中幼苗的高度大于 的 点的个数为 ，其中 为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量 的分布列和数学期望. 附：回归方程 中斜率与截距的最小二乘估计公式，分別为 ， 20．新能源汽车是中国战略新兴产业之一，政府高度重视新能源产业的发展，某企业为了提高新能源汽 车品控水平，需要监控某种型号的汽车零件的生产流水线的生产过程，现从该企业生产的该零件中随机 抽取100 件，测得该零件的质量差（这里指质量与生产标准的差的绝对值）的样本数据统计如下表. 质量差（单位： ） 5 6 67 70 78 86 件数（单位：件） 1 20 48 19 3 0 (1) 求样本平均数 的值；根据大量的产品检测数据，得到该零件的质量差（这里指质量与生产标准的差 的绝对值）X 近似服从正态分布 ，其中 的近似值为36，用样本平均数 作为 的近似值，求 概率 的值； (2) 若该企业有两条生产该零件的生产线，其中第1 条生产线的生产效率是第2 条生产线的生产效率的两 倍. 若第1 条生产线出现废品的概率约为0.015，第2 条生产线出现废品的概率约为0.018，将这两条生产 线生产出来的零件混放在一起，这两条生产线是否出现废品相互独立.现从该企业生产的该零件中随机抽 取一件.（i）求该零件为废品的概率； （ii）若在抽取中发现废品，求该废品来自第1 条生产线的概率. 参考数据：若随机变量 服从正态分布 ，则： ， ， 21．如图，在多面体 中，侧面 为菱形，侧面 为直角梯 形， 分别为 的中点，且 . (1)证明： 平面 ； (2)若平面 平面 ，多面体 的体积为 ，求直线 与平面 所成角的正弦 值. 22．已知函数 ． (1)当 时，证明：当 时， ； (2)当 时， 恒成立，求a 的取值范围． 参考答案： 1．D 【分析】确定 ， ，根据共线得到 ，计算得到答 案. 【详解】即 ， ， ， ， 三点共线，故 ， 即 ，解得 ， ， ，故 . 故选：D 2．A 【分析】由题设写出展开式通项 ，进而确定 的值，即可求其系数. 【详解】由题设，展开式通项为 ， ∴ 时， 的系数为 . 故选：A 3．D 【分析】利用空间共面向量定理及基底的概念判断即可. 【详解】∵ ， ，∴ 与 共面，故A，B 错误； ∵ ，∴ 与 共面，故C 错误； ∵ 是基底，∴不存在 使 成立， ∴ 与 不共面，故 可以与 构成空间的一组基底，故D 正确. 故选：D. 4．B 【分析】根据给定条件分类探求出拨动两枚算珠的结果，从而得到表示不同整数的个数和 表示的数字大于50 的个数，再根据古典概型概率计算公式即可求解. 【详解】拨动图1 算盘中的两枚算珠，有两类办法， 第一类，只在一个档拨动两枚算珠共有4 种方法，表示的数字分别为 ； 第二类，在每一个档各拨动一枚算珠共有4 种方法，表示的数字分别为 ， 所以表示不同整数的个数为8. 其中表示的数字大于50 的有 共3 个， 所以表示的数字大于50 的概率为 . 故选：B 5．D 【分析】根据题意可分为两类：个位数字为和个位数数字为 或 ，结合排列、组合数的 公式，即可求解. 【详解】解：根据题意可分为两类：个位数字为和个位数数字为 或 ， 当个位数字为时，小于 的偶数有 个； 当个位数字为 或 时，小于 的偶数有 个， 所以小于 的偶数共有 个. 故选：D. 6．A 【分析】根据已知利用全概率公式得 ，即可求解 . 【详解】由全概率公式可得： 可得 ，解得： . 则 . 故选：A. 7．C 【分析】设男生的人数为： ，根据题意可列出 列联表，由公式求出 ，由 求出 的取值范围，可得答案. 【详解】由题意被调查的男女生人数相同，设男生的人数为： ，由题意可列出 列联表： 男生 女 生 合计 喜欢吃甜食 不喜欢吃甜 食 合计 . 由于有 的把握认为是否喜欢吃甜食和性别有关， 所以 ；解得： ，因为 ， 所以选项ABC 错误，选项D 正确. 故选：D. 8．A 【分析】先直接计算得 的值，构造函数 ，利用导数研究其单调性 得到 ，再利用二项式定理求得的值，从而得解. 【详解】因为 ， ， 令 ，则 ， 故 在 上单调递减， 所以 ，即 ，故 ， 因为 ， 所以 ，即 . 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是构造函数 证得 ，再利 用二项式定理求得 ，从而得解. 9．AC 【分析】对于A，根据事件之间的关系，可得概率计算，结合条件概率的计算公式，可得 答案；对于B，根据正态分布的性质，利用其对称性，可得答案；对于C，根据相关系数 的性质，可得答案；对于D，根据残差图的性质，可得答案. 【详解】对于A，由 ，则 ，故 ，故A 正确； 对于B，由随机变量 ，则随机变量 满足的正态分布曲线关于直线 对称， 故 ， ， ，故B 错误； 对于C，根据相关系数的性质，可得C 正确； 对于D，根据残差图的性质，可知宽度越窄表示回归效果越好，故D 错误. 故选：AC. 10．ACD 【分析】根据题意，由捆绑法，插空法，特殊元素优先处理法，对选项逐一判断，即可得 到结果. 【详解】对于A，甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，将甲乙看成一个整体，与丙，丁，戊 全排列，有 种排法，A 正确； 对于B，若甲站在最左端，乙和丙，丁，戊全排列，有 种排法， 故B 错误； 对于C，先将丙，丁，戊三人排成一排，再将甲乙安排在三人的空位中，有 种 排法，C 正确； 对于D，甲，乙，丙，丁，戊五人全排列有 种排法， 甲乙丙全排列有 种排法，则甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有 种，故 D 正确. 故选：ACD. 11．AC 【分析】根据二项分布的概率公式判断A、C、D，根据组合数公式判断B. 【详解】因为 ，所以 ， 且 ， 对于A：由二项分布可知 ，故 正确； 对于B，由 时， ，则 所以 ， ， 所以 ，故B 不正确， 对于C、D： ， 当 时， ，且 为正项且单调递增的数列， 故 随着 的增大而增大，故C 正确， 当 时， ，且 为摆动数列，故D 不正确. 故选：AC 12．ACD 【分析】根据圆锥体积公式结合最值判断A 选项，由已知得出矛盾判断B 选项，由线面垂 直得出轨迹判断C 选项，结合不等式判断最值判断D 选项. 【详解】设圆锥的底面半径为R，高为h，母线长为l． 由已知，圆锥的轴截面为面积等于2 的等腰直角三角形，则其面积 ， 解得l=2，所以 ． 对于A 项，如图2，由OM⊥AM 可知，点M 在以OA 为直径的圆上． 因为 ，所以点M 到平面PAB 距离的最大值为 ． 易知 ，故三棱维M-ABC 体积的最大值为 ，故A 正 确． 对于B 项，易知PO⊥平面AMB，AM 平面AMB，所以AM⊥PO，又AM⊥OM， OM∩PO=O，OM 平面POM，PO 平面POM， 所以AM⊥平面POM，又OH 平面POM，则AM⊥OH， 又OH⊥PM，PM∩AM=M，AM 平面PAM，PM 平面PAM，则OH⊥平面PAM，又PA 平面PAM，则OH⊥PA， 由△PAB 是等腰直角三角形，可得PO=OA，即△POA 为等腰三角形，连接OC，又C 为PA 的中点，故PA⊥OC， 又OH∩OC=O，OH 平面OHC，OC 平面OHC，则PA⊥平面OHC，所以PA⊥CH 恒成 立，故B 项不正确． 对于C 项，由B 项可知PA⊥平面OHC，又OH⊥平面PAM，HC 平面PAM，所以 OH⊥HC，过点C 且与PA 垂直的平面仅有一个，则H 点的轨迹为以OC 为直径的圆（除去 O，C 两点）． 又 ，则H 点形成的轨迹周长为π，故C 项正确. 对于D 项，设 ，由B 项可知CH⊥PA，CH⊥OH，则 ， ． 所以 ，则AH+HO 的值小于2，D 项正确． 故选:ACD． 13． 【分析】根据正态分布的性质求 ，结合二项式定理展开式的通项公式求 展开式 中 的系数. 【详解】因为随机变量 服从正态分布 ，且 ， 所以 ，故 ， 二项式 展开式的通项 ， 令 ，可得 ， 所以 展开式中 的系数为 ， 故答案为： . 14． 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离. 【详解】 如图，建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ，设平面 的一个法向量为 ， ，即 ，取 ，又 ， 所以点 到面 的距离 ， 故答案为： . 15．1012 【分析】根据函数的奇偶性、周期性求解即可. 【详解】因为 是奇函数，且 ， 所以 ， 故 是周期为4 的周期函数． 所以 ， 令 ,可得 ，所以 ， 因为函数为奇函数且周期为4，所以 ， 则 ， 则 ． 故答案为:1012. 16． / 【分析】利用独立重复试验的概率可得出 的表达式，利用导数法可求得函数 取 最大值对应的 值. 【详解】因为每件产品为不合格品的概率都为 ，且各件产品是否为不合格品相 互独立， 所以， 件产品中恰有件不合格品的概率为 ， 则 ， 当 时， ，此时函数 单调递增， 当 时， ，此时函数 单调递减， 故当 时， 取最大值. 故答案为： . 17．(1) (2) 【分析】（1）首先将7 本书分成1 本、2 本、4 本（不平均分组），再将三组作全排即可 得结果； （2）首先将7 本书分成3 本、2 本、2 本（部分平均分组），再将三组作全排即可得结果； 【详解】（1）首先将7 本书分成1 本、2 本、4 本，共三组有 种， 再将三组分给甲、乙、丙三人有 种， 所以共有 种. （2）首先将7 本书分成3 本、2 本、2 本，共三组有 种， 再将三组分给甲、乙、丙三人有 种， 所以共有 种. 18．(1)6； (2)63. 【分析】（1）选①，根据二项式通项列方程可解；选②，根据二项式系数和列方程可解； 选③，根据二项式系数的性质可解； （2）先根据二项式通项表示出 ，然后带入目标式由二项式系数和可得. 【详解】（1）若选①，因为 ，所以 =60，化简可得 =30，且 ，解得n=6. 若选②，则 ，∴n=6. 若选③，则 +1=4，∴n=6. （2）由（1）知，n=6 的展开式通项 ，所以 ， 所以 = =63 19．(1) (2)分布列见解析，数学期望 . 【分析】（1）由y 关于x 的回归直线方程的计算公式求得结果； （2）利用超几何分布概率公式计算，求得随机变量 的分布列，并根据分布列，利用数学 期望计算求得期望值. 【详解】（1）由表格数据，得 ， ， 则 ， 所以 ， 所以y 关于x 的线性回归方程为 . （2）7 天中幼苗高度大于 的有4 天，小于等于8 的有3 天， 从散点图中任取3 个点，即从这7 天中任取3 天， 所以这3 个点中幼苗的高度大于 的点的个数 的取值为0，1，2，3， ； ； ； ； 所以随机变量 的分布列为： 随机变量 的期望值 . 20. (1) ， (2)（i） ；（ii） 【分析】（1）先由表格计算平均数，再根据正态分布三段区间公式计算概率即可； （2）（i）根据全概率公式计算即可，（ii）根据贝叶斯公式计算即可. 【详解】（1） 由 得： （2）（i）设 “随机抽取一件该企业生产的该零件为废品”， “随机抽取一件零件为第1 条生产线生产”， “随机抽取一件零件为第2 条生产线生产”， 则由题意可知 ， 又 ， 于是 . （ii） . 21．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取 的中点 ，连接 ，易证四边形 为平行四边形，则有 ，再由线面平行的判定证结论； （2）由题设及面面、线面垂直的性质可得 、 ，线面垂直的判定有 平面 ，连接 得到 为三棱柱，设 ，用 表示多面体 的体积求参，构建空间直角坐标系，向量法求直线 与平面 所成角的正 弦值. 【详解】（1）取 的中点 ，连接 ，则 为 的中位线， 所以 ，且 ，又 ，且 ， 所以 ，且 ，即四边形 为平行四边形， 所以 ，又 平面 平面 ， 故 平面 . （2）连接 ，在菱形 中 ，则 . 在直角梯形 中 ，所以 ， 因为面 面 ，面 面 面 ， 所以 平面 ，又 平面 ，故 ， 又 ， 面 ，所以 平面 . 连接 ，因为 ，即 ，且 ， 所以 为平行四边形， 且 ，则 为三棱柱， 设 ，则 ，三棱柱 的体积 . 连接 ，则三棱锥 的体积 . 取 中点 ，连接 ，则 ， 面 面 ，面 面 面 ，则 面 ， 所以三棱锥 的体积 ， 由多面体 的体积为 ，得： ，解得 . 综上， 两两垂直，以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建 立如图所示的空间直角坐标系. 则 ， ， ， 设面 的法向量为 ，由 ，令 ，则 ， 设直线 与平面 所成角为 ，所以 ， 故直线 与平面 所成角的正弦值为 . 22．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）法一：求导后利用放缩法得到 ，故 ； 法二：多次求导，结合隐零点，得到 先增后减，结合端点值的符号，得到 在 上恒成立，求出 ； （2）法一：构造 ，变形后结合 ， ， ，且在 处取等号，得到 时， 符合题意， 时，结合函数单调性及零点存在性定理得到矛盾，求出答案； 法二：构造 ，求导后考虑 ，利用放缩法及函数单调性 可证，再考虑 ，由 在 单调递增，且 ，分 与 两种 情况，进行求解，得到答案. 【详解】（1）法一：首先证明 ， ，理由如下： 构造 ， ， 则 恒成立，故 在 上单调递减， 故 ，所以 ， ， ， ， ， 故 在 上恒成立， 所以 在 单调递增，故 法二： ， ， ，且 ， 令 ，则 ， 令 ，则 在 上恒成立， 所以 单调递减， 又 ，其中 ，故 ， 故 ，使得 ，且当 时， ，当 时， ， 所以 先增后减，又 ， ， ∴ 在 上恒成立， 所以 单调递增， ； （2）法一： ， ， 下证： ， ， ，且在