R 正弦定理：三角形B 的三边长分别为、b 、，其分别对应∠、∠B 、∠；则有 R 余弦定理：在△B 中，余弦定理可以表示为： 2＝b2+2 2 ﹣bs∠ b2＝2+2 2s ﹣ ∠B 2＝2+b2 2 ﹣bs∠． R 正弦面积公式： S△B＝ bs＝ bs＝ sB 模型介绍 例题精讲 【例1】．如图，∠XY＝45°，一把直角三角尺△B 的两个顶点、B 分别在X，Y 上移动，其 海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 海里/小时， 该救援船到达D 点需要多长时间？ 解：由题意知B＝5（3+ ）海里，∠DB＝90° 60° ﹣ ＝30°，∠DB＝45°， ∴∠DB＝105°， 在△DB 中，由正弦定理得 ， ∴DB＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝10 （海里）， 又∠DB＝∠DB+∠B＝30°+（90° 60° ﹣ ）＝60°，B＝20 海里， 在△DB 中，由余弦定理得 D2＝BD2+B2 3，则△B（ ） ．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 ．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 解：∵△B 的三个内角满足s：sB：s＝5：11：13， ∴由正弦定理可设＝5k，b＝11k，＝13k， 由余弦定理得：s＝ ＝ ＝﹣ ＜0， ∴∠是钝角， ∴△B 是钝角三角形， 故选：． 2．如图，点D 是△B 的边B 上一点，如果B＝D＝2，＝4，且BD：D＝2：3，则△B

R 正弦定理：三角形B 的三边长分别为、b 、，其分别对应∠、∠B 、∠；则有 R 余弦定理：在△B 中，余弦定理可以表示为： 2＝b2+2 2 ﹣bs∠ b2＝2+2 2s ﹣ ∠B 2＝2+b2 2 ﹣bs∠． R 正弦面积公式： S△B＝ bs＝ bs＝ sB 模型介绍 例题精讲 【例1】．如图，∠XY＝45°，一把直角三角尺△B 的两个顶点、B 分别在X，Y 上移动，其 海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 海里/小时， 该救援船到达D 点需要多长时间？ 解：由题意知B＝5（3+ ）海里，∠DB＝90° 60° ﹣ ＝30°，∠DB＝45°， ∴∠DB＝105°， 在△DB 中，由正弦定理得 ， ∴DB＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝10 （海里）， 又∠DB＝∠DB+∠B＝30°+（90° 60° ﹣ ）＝60°，B＝20 海里， 在△DB 中，由余弦定理得 D2＝BD2+B2 3，则△B（ ） ．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 ．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 解：∵△B 的三个内角满足s：sB：s＝5：11：13， ∴由正弦定理可设＝5k，b＝11k，＝13k， 由余弦定理得：s＝ ＝ ＝﹣ ＜0， ∴∠是钝角， ∴△B 是钝角三角形， 故选：． 2．如图，点D 是△B 的边B 上一点，如果B＝D＝2，＝4，且BD：D＝2：3，则△B

正弦定理：三角形B 的三边长分别为、b 、，其分别对应∠、∠B 、∠；则有 余弦定理：在△B 中，余弦定理可以表示为： 2＝b2+2 2 ﹣bs∠ b2＝2+2 2s ﹣ ∠B 2＝2+b2 2 ﹣bs∠． 正弦面积公式： S△B＝ bs＝ bs＝ sB 模型介绍 例题精讲 【例1】．如图，∠XY＝45°，一把直角三角尺△B 的两个顶点、B 分别在X，Y 上移动，其 中B＝10，则点到顶点的距离的最大值为 （1）如图，已知△DEF，∠E＝60°，DE＝4，DF＝ ，求EF 的长度； （2）通过合理的构造，试求s105°． 18．阅读：△B 中，，b，分别是∠，∠B，∠的对边，△B 的边角有如下性质： ①正弦定理： ＝ ＝ ②余弦定理：2＝b2+2 2 ﹣bs，b2＝2+2 2s ﹣ B，2＝2+b2 2 ﹣bs． ③S△B＝ bs＝ bs＝ sB 请你根据上述结论求解下列问题：在锐角△B 中，，b，分别是∠，∠B，∠的对边，且

正弦定理：三角形B 的三边长分别为、b 、，其分别对应∠、∠B 、∠；则有 余弦定理：在△B 中，余弦定理可以表示为： 2＝b2+2 2 ﹣bs∠ b2＝2+2 2s ﹣ ∠B 2＝2+b2 2 ﹣bs∠． 正弦面积公式： S△B＝ bs＝ bs＝ sB 模型介绍 例题精讲 【例1】．如图，∠XY＝45°，一把直角三角尺△B 的两个顶点、B 分别在X，Y 上移动，其 中B＝10，则点到顶点的距离的最大值为 （1）如图，已知△DEF，∠E＝60°，DE＝4，DF＝ ，求EF 的长度； （2）通过合理的构造，试求s105°． 18．阅读：△B 中，，b，分别是∠，∠B，∠的对边，△B 的边角有如下性质： ①正弦定理： ＝ ＝ ②余弦定理：2＝b2+2 2 ﹣bs，b2＝2+2 2s ﹣ B，2＝2+b2 2 ﹣bs． ③S△B＝ bs＝ bs＝ sB 请你根据上述结论求解下列问题：在锐角△B 中，，b，分别是∠，∠B，∠的对边，且

题型14 4 类解三角形大题综合 （双正弦及双余弦、周长及面积类最值、边长和差、积商类最值、图 形类解三角形综合） 技法01 双正弦及双余弦模型 例1．（2023·江苏·高三专题练习）如图，在 中，角 的对边分别为 .已知 . (1)求角 ； (2)若 为线段 延长线上一点，且 ，求 . 技法01 双正弦及双余弦模型 技法02 周长及面积类最值问题 技法03 边长和差、积商类最值问题 边长和差、积商类最值问题 技法04 图形类解三角形综合 双正弦及双余弦模型是通过正余弦定理列方程组来求解相关问题，此类题型难度中等，是高考中的常考考 点，需强加练习 （1） （2）设 ，在 和 中，由正弦定理可得 于是 ，又 ， 则 ， ， ； 综上， ， . 1．（2022 秋·安徽合肥·高三统考期末）在 中，点D 在BC 上，满足AD＝BC， ． (1)求证：AB，AD，AC 成等比数列； (2)若 ，求 ． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由正弦定理得 ，再由 ，得到 ，即得证； （2）记A，B，C 的对边分别为a，b，c，由（1）得 ，设 ，在△ABD 与△ACD 中，分别使 用余弦定理，解方程组可求出 或 ，依题意排除 ，利用余弦定理即可求出 . 【详解】（1）在 中，由正弦定理得： ①， 由已知得： ②， 由①②联立得： ， 因为 ，所以 ．

题型14 4 类解三角形大题综合 （双正弦及双余弦、周长及面积类最值、边长和差、积商类最值、图 形类解三角形综合） 技法01 双正弦及双余弦模型 例1．（2023·江苏·高三专题练习）如图，在 中，角 的对边分别为 .已知 . (1)求角 ； (2)若 为线段 延长线上一点，且 ，求 . 技法01 双正弦及双余弦模型 技法02 周长及面积类最值问题 技法03 边长和差、积商类最值问题 边长和差、积商类最值问题 技法04 图形类解三角形综合 双正弦及双余弦模型是通过正余弦定理列方程组来求解相关问题，此类题型难度中等，是高考中的常考考 点，需强加练习 （1） （2）设 ，在 和 中，由正弦定理可得 于是 ，又 ， 则 ， ， ； 综上， ， . 1．（2022 秋·安徽合肥·高三统考期末）在 中，点D 在BC 上，满足AD＝BC， ． (1)求证：AB，AD，AC 成等比数列； 等式来求解相关问题，此类题型难度中等，是高考中的常 考考点，需强加练习 （2）由正弦定理，可知 ， ， ∵ ，∴ ，∴ . 例2-2．（2023·云南·校联考模拟预测） 的内角 的对边分别为 ，且 . (1)求角 ； (2)若 ，求 周长的取值范围. （1）以 . （2）由（1）知 ，又 ， 由正弦定理得 ， 则 ， ， 1．（2023·全国·模拟预测）在锐角 中，角 ， ，

年独立提出了“三斜求积术”，但它与海伦公式完全等价，因此 海伦公式又译作海伦-秦九韶公式．现在有周长为 的 满足 ，则用 以上给出的公式求得 的面积为（ ） A． B． C． D．12 【答案】C 【分析】由正弦定理得三角形三边之比，由周长求出三边，代入公式即可． 【详解】∵ ，∴ ， ∵ 周长为 ，即 ， ∴ ，∴ ， ∴ 的面积 ． 故选：C． 3．（2023·海南·校联考模拟预测）古希腊的 的周长为36 C． 的内切圆面积为 D． 边上的中线长度为 【答案】ACD 【分析】利用正弦定理和余弦定理可知 ，满足 ，即A 正确；根据海伦公式可得 ， 所以周长为 ，故B 错误；由等面积法可知内切圆的半径 ，可知C 正确，由利用余弦定理可得 边上的中线长度为 ，即D 正确. 【详解】对于A，由正弦定理可知 ， 设 ， ， ， 由余弦定理可得 ， 所以 ， ，故角A，B，C 构成等差数列，故A 射影定理能够快速得到答案，需强化练习 【答案】 【分析】由正弦定理得到 ，求出正弦，利用二倍角公式求出答案. 【详解】 ，由正弦定理得 ， 因为 ，所以 ，故 ， 由于 ，故 ， 则 . 故答案为： 2．（全国·高考真题） 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c.已知 . （1）求角C；（2）若 ， ，求 的周长. 【答案】（1） （2） 【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把 化成 ，利用和角公式可得

，又 ，所以 ，故B 不正确； 对于C，因为 ， ， 所以当 时， ，此时 ，故C 不正确； 对于D，当 时， 不成立，故D 不正确. 故选：A 2．D 【分析】 由正弦定理即可求解． 【详解】 在 中，由正弦定理可得 ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 或 ， 故选：D. 3．A 【分析】 由已知得 和 ，可求出 ，利用等差数列的通项公式得到 . 【详解】 的公差为d，则有 ， 因为 ， ， 依次成等比数列， ， 所以有 ，即 ，整理得 ， 因为 ，所以 ， ， 因此 ， 故选：A. 4．D 【分析】 利用三角形的面积公式整理得出 ，利用二倍角的正弦和余弦公式化简得 出 ，结合角 的取值范围可求得结果. 【详解】 在 中，因为 ，则 ， ，则 ，则 ， 所以， ，可得 ， ，故 . 故选：D. 5．B 【分析】 根据题设条件结合余弦定理可求得 由题意，可得小球10 次着地共经过的路程为： 米 故选：A. 7．C 【分析】 根据 ，利用正弦定理转化为： ，整理为 再转化为角判断. 【详解】 因为 ， 所以由正弦定理得： ， 所以 ， 即 ， 所以 或 ， 所以 或 ， 所以 是等腰或直角三角形. 故选：C 【点睛】 本题主要考查正弦定理判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 8．A 【分析】 根据圆的性质、射影定理求出CD

性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行 例1-1．（2022·全国·统考高考真题）如图， 是三棱锥 的高， ， ，E 是 的 中点． (1)证明： 平面 ； (2)若 ， ， ，求二面角 的正弦值． 【详解】（1）证明：连接 并延长交 于点 ，连接 、 ， 因为 是三棱锥 的高，所以 平面 ， 平面 ， 所以 、 ， 又 ，所以 ，即 ，所以 ， 又 ，即 ，所以 ， ， 所以 则 ， ， ， 设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ， ，所以 ； 设平面 的法向量为 ，则 ， 令 ，则 ， ，所以 ； 所以 . 设二面角 的大小为 ，则 ， 所以 ，即二面角 的正弦值为 . 例1-2．（2022·全国·统考高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图 所示：底面 是边长为8（单位： ）的正方形， 均为正三角形，且它们 所在的平面都与平面 ）如图，在三棱锥 中， ， ， ， ，BP，AP，BC 的中点分别为D，E，O， ，点F 在AC 上， . (1)证明： 平面 ； (2)证明：平面 平面BEF； (3)求二面角 的正弦值. 【详解】（1）连接 ，设 ，则 ， ， ， 则 ， 解得 ，则 为 的中点，由 分别为 的中点， 于是 ，即 ，则四边形 为平行四边形， ，又 平面 平面 ， 所以 平面

2 交变电流的描述 [学习目标] 1.知道交变电流的周期、频率的概念，掌握T、f、ω 之间的关系.2.理解交变电 流的峰值、有效值的概念，会根据电流的热效应计算电流的有效值.3.理解正弦式交变电流的 公式和图像． 一、周期和频率 1．周期(T)： 交变电流完成一次周期性变化所需的时间． 2．频率(f)： 周期的倒数叫作频率，数值等于交变电流在单位时间内完成周期性变化的次数． 3．周期和频率的关系：T＝或f＝ 内它们产生的热量相等，则此恒定电流的数值叫作交变电流的有效值． 3．在正弦式交变电流中，最大值与有效值之间的关系 E＝＝0.707Em，U＝＝0.707Um，I＝＝0.707Im 三、正弦式交变电流的公式和图像 1．正弦式交变电流的公式和图像可以详细描述交变电流的情况．若线圈通过中性面时开始 计时，交变电流的图像是正弦曲线． 2．若已知电压、电流最大值分别是Um、Im，周期为T，则正弦式交变电流电压、电流表达 式分别为u＝Umsin t. 1．判断下列说法的正误． (1)正弦式交变电流的正负两部分是对称的，所以有效值为零．( × ) (2)交变电流的有效值就是一个周期内的平均值．( × ) (3)一个正弦式交变电流的峰值同周期、频率一样是不变的，但有效值是随时间不断变化的． ( × ) (4)交流电路中，电压表、电流表的测量值都是有效值．( √ ) 2．图1 是一个正弦式交变电流的图像，由图可知，电流的峰值Im＝________