高考数学答题技巧题型20 6类立体几何大题解题技巧（平行、垂直、空间角、空间距离、动点、范围）（原卷版）Word（52页）

题型20 6 类立体几何大题解题技巧 （平行、垂直、空间角、空间距离、动点、范围） 技法01 空间中的平行关系解题技巧 知识迁移 空间中的平行关系 （1）线线平行 ①三角形、四边形的中位线与第三边平行，②平行四边形的性质（对边平行且相等） ③内错角、同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行 （2）线面平行的判定定理： 平面外一直线与平面内一直线平行，则线面平行 图形语言 符号语言 l // b l⊂α b⊂α} ⇒l // α （3）线面平行的性质定理 技法01 空间中的平行关系解题技巧 技法02 空间中的垂直关系解题技巧 技法03 向量法与几何法求空间角的解题技巧 技法04 空间距离的解题技巧 技法05 动点的应用及解题技巧 技法06 范围的应用及解题技巧 空间中的平行关系是高考中的高频考点，需熟练掌握线面平行、面面平行的判定及性质定理，同时还需注 意书写过程的规范性，需重点强化练习. 若线面平行，经过直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行 图形语言 符号语言 l // α l⊂β α∩β=b} ⇒l // b （4）面面平行的判定定理 判定定理1：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则面面平行 图形语言 符号语言 a // α b // β a∩b=A a⊂α ,b⊂α} ⇒α // β 判定定理2：一个平面内有两条相交直线分别于另一个平面内两条相交直线平行，则面面平 行 图形语言 符号语言 a // n b // m a∩b=A m∩n=B a,b⊂α m,n⊂β} ⇒α // β （5）面面平行的性质定理 性质定理1：两平面互相平行，一个平面内任意一条直线平行于另一个平面 性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行 例1-1．（2022·全国·统考高考真题）如图， 是三棱锥 的高， ， ，E 是 的 中点． (1)证明： 平面 ； (2)若 ， ， ，求二面角 的正弦值． 【详解】（1）证明：连接 并延长交 于点 ，连接 、 ， 因为 是三棱锥 的高，所以 平面 ， 平面 ， 所以 、 ， 又 ，所以 ，即 ，所以 ， 又 ，即 ，所以 ， ， 所以 所以 ，即 ，所以 为 的中点，又 为 的中点，所以 ， 又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 （2）解：过点 作 ，如图建立空间直角坐标系， 因为 ， ，所以 ， 又 ，所以 ，则 ， ， 所以 ，所以 ， ， ， ， 所以 ， 则 ， ， ， 设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ， ，所以 ； 设平面 的法向量为 ，则 ， 令 ，则 ， ，所以 ； 所以 . 设二面角 的大小为 ，则 ， 所以 ，即二面角 的正弦值为 . 例1-2．（2022·全国·统考高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图 所示：底面 是边长为8（单位： ）的正方形， 均为正三角形，且它们 所在的平面都与平面 垂直． (1)证明： 平面 ； (2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）． 【详解】（1）如图所示： 分别取 的中点 ，连接 ，因为 为全等的正三角形，所以 ， ，又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，同理可得 平面 ，根据线面垂直的性质定理可知 ，而 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ． （2）[方法一]：分割法一 如图所示： 分别取 中点 ，由（1）知， 且 ，同理有， ， ， ，由平面知识可知， ， ， ，所以该几何体的体积等于长方体 的体积加上四棱锥 体积 的 倍． 因为 ， ，点 到平面 的距离即为点 到直线 的 距离 ， ，所以该几何体的体积 ． [方法二]：分割法二 如图所示： 连接AC,BD,交于O，连接OE,OF,OG,OH.则该几何体的体积等于四棱锥O-EFGH 的体积加上三棱锥A-OEH 的 倍,再加上三棱锥E-OAB 的四倍．容易求得，OE=OF=OG=OH=8,取EH 的中点P，连接AP,OP.则EH 垂直平面 APO.由图可知，三角形APO,四棱锥O-EFGH 与三棱锥E-OAB 的高均为EM 的长.所以该几何体的体积 例1-3．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥 中， ， ， ， ，BP，AP，BC 的中点分别为D，E，O， ，点F 在AC 上， . (1)证明： 平面 ； (2)证明：平面 平面BEF； (3)求二面角 的正弦值. 【详解】（1）连接 ，设 ，则 ， ， ， 则 ， 解得 ，则 为 的中点，由 分别为 的中点， 于是 ，即 ，则四边形 为平行四边形， ，又 平面 平面 ， 所以 平面 . （2）法一：由（1）可知 ，则 ，得 ， 因此 ，则 ，有 ， 又 ， 平面 ， 则有 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 . 法二：因为 ，过点 作轴 平面 ，建立如图所示的空间直角坐标系， ， 在 中， ， 在 中， ， 设 ，所以由 可得： ， 可得： ，所以 ， 则 ，所以 ， ， 设平面 的法向量为 ， 则 ，得 ， 令 ，则 ，所以 ， 设平面 的法向量为 ， 则 ，得 ， 令 ，则 ，所以 ， ， 所以平面 平面BEF； （3）法一：过点 作 交 于点 ，设 ， 由 ，得 ，且 ， 又由（2）知， ，则 为二面角 的平面角， 因为 分别为 的中点，因此 为 的重心， 即有 ，又 ，即有 ， ，解得 ，同理得 ， 于是 ，即有 ，则 ， 从而 ， ， 在 中， ， 于是 ， ， 所以二面角 的正弦值为 . 法二：平面 的法向量为 ， 平面 的法向量为 ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 故二面角 的正弦值为 . 例1-4．（2024·全国·模拟预测）如图1，已知四边形 为直角梯形， ， ， ，M 为CF 的中点．将 沿 折起，使得点C 与点A 重合，如图2，且平面 平面 ， 分别为 的中点． (1)求证：平面 平面 ； (2)求二面角 的余弦值． 【详解】（1）证明：∵Q，H 分别是 的中点，∴ ． ∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ． 如图，连接 ，∵N，P 分别是 的中点，∴ 且 ． 易知 且 ， ∵Q 是 的中点，∴ ， ， ∴ ， ， ∴四边形 为平行四边形， ∴ ． ∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ． ∵ ， 平面 ， 平面 ， ∴平面 平面 . （2）由(1)知 ，又 ， ，∴ ， ， ∵平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ． 以M 为坐标原点， 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 ，如图所示： 设 ，则 ， ， ， ， ∴ ， ， ，∴ ， ， ， 设平面 的一个法向量为 ， 则 ，令 ，则 ， ， ∴ 是平面PQH 的一个法向量． 设平面 的法向量为 ， 则 ，则 ， 令 ，则 ，∴ 是平面 的一个法向量． ∴ ， 结合图象易知二面角Q﹣PH﹣D 为锐二面角，故二面角 的余弦值为 ． 1．（2022·北京·统考高考真题）如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面 平 面 ， ，M，N 分别为 ，AC 的中点． (1)求证： 平面 ； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值． 条件①： ； 条件②： ． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 2．（2023·天津·统考高考真题）三棱台 中，若 面 ， 分别是 中点. (1)求证： //平面 ； (2)求平面 与平面 所成夹角的余弦值； (3)求点 到平面 的距离． 3．（2024·广东佛山·统考一模）如图，直三棱柱 中， .过点 的平面和平面 的交线记作. (1)证明： ； (2)求顶点 到直线的距离. 4．（2024·全国·模拟预测）如图， 为圆锥的顶点， 为圆锥底面的圆心， 为底面直径，四边形 是梯形，且 ， 为底面圆周上一点，点 在 上． (1)若 ，求证： 平面 ； (2)当 时，求二面角 的正弦值． 技法02 空间中的垂直关系解题技巧 知识迁移 空间中的垂直关系 （1）线线垂直 ①等腰三角形（等边三角形）的三线合一证线线垂直 ②勾股定理的逆定理证线线垂直 ③菱形、正方形的对角线互相垂直 （2）线面垂直的判定定理 判定定理：一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直 图形语言 符号语言 l⊥a l⊥b a∩b=A a,b⊂α} ⇒l⊥α 空间中的垂直关系是高考中的高频考点，需熟练掌握线面垂直、面面垂直的判定及性质定理，同时还需注 意书写过程的规范性，需重点强化练习. （3）线面垂直的性质定理 性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线 图形语言 符号语言 l⊥α a⊂α}⇒l⊥α 性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行 图形语言 符号语言 a⊥α b⊥α}⇒a // b （4）面面垂直的判定定理 判定定理：一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直 （或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直） 图形语言 符号语言 a⊥α a⊂β}⇒α⊥β （5）面面垂直的性质定理 性质定理：两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一 个平面 图形语言 符号语言 α⊥β α∩β=CD AB⊥CD AB⊂α } ⇒AB⊥β 例2-1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知三棱锥 的四个顶点均在半径为 的球面上，且 ， ，N 为 的中点． (1)证明: 平面 (2)若M 是线段 上的点，且平面 与平面 的夹角为 ．求 与平面 所成角的正弦值． 证法一：连结 (如图)， 易知 是以AB 斜边的等腰直角三角形，∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∵ ，N 为 的中点， ∴ ， ∴ ，即 ， ∵ 平面 ，∴ 平面ABC． 证法二：取 的中点D，连结 (如图)， ∵ ，∴ ， 又∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∵ 平面 ，∴ 平面 ． ∵ 平面 ．∴ ， 又∵ ， 平面 ， ∴ 平面 ； 证法三：易知 为等腰直角三角形， 不妨设 ，则 ， 又N 为斜边 中点，∴ ， 又∵ ， ∴ 为等腰直角三角形，且 ， ∵ ，∴ ，∴ ， 又∵ ， 平面 ， ∴ 平面ABC． 例2-2．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱柱 中， 平面 ． (1)证明：平面 平面 ； (2)设 ，求四棱锥 的高． 【详解】（1）证明：因为 平面 ， 平面 , 所以 , 又因为 ，即 ， 平面 ， , 所以 平面 ， 又因为 平面 , 所以平面 平面 . （2）如图， 过点 作 ，垂足为 . 因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， 所以四棱锥 的高为 . 因为 平面 ， 平面 , 所以 , , 又因为 ， 为公共边， 所以 与 全等，所以 . 设 ，则 ， 所以 为 中点， , 又因为 ,所以 , 即 ，解得 ， 所以 ， 所以四棱锥 的高为． 例2-3．（2023·全国·统考高考真题）如图，三棱锥 中， ， ， ，E 为BC 的中点． (1)证明： ； (2)点F 满足 ，求二面角 的正弦值． 【详解】（1）连接 ，因为E 为BC 中点， ，所以 ①， 因为 ， ，所以 与 均为等边三角形， ，从而 ②，由①②， ， 平面 ， 所以， 平面 ，而 平面 ，所以 ． （2）不妨设 ， ， ． ， ，又 ， 平面 平面 ． 以点 为原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 设 ， 设平面 与平面 的一个法向量分别为 ， 二面角 平面角为 ,而 ， 因为 ，所以 ，即有 ， ，取 ，所以 ； ，取 ，所以 ， 所以， ，从而 ． 所以二面角 的正弦值为 ． 例2-4．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知 和 都是直角梯形， ， ， ， ， ， ，二面角 的平面角为 ．设M，N 分别为 的中点． (1)证明： ； (2)求直线 与平面 所成角的正弦值． 【详解】（1）过点 、 分别做直线 、 的垂线 、 并分别交于点 、 ． ∵四边形 和 都是直角梯形， ， ， 由平面几何知识易知， ，则四边形 和四边形 是矩形，∴在Rt 和Rt ， ， ∵ ，且 ， ∴ 平面 是二面角 的平面角，则 ， ∴ 是正三角形，由 平面 ，得平面 平面 ， ∵ 是 的中点， ，又 平面 ， 平面 ，可得 ，而 ， ∴ 平面 ，而 平面 ． （2）因为 平面 ，过点 做 平行线 ，所以以点 为原点， ， 、 所在直线 分别为 轴、 轴、轴建立空间直角坐标系 ， 设 ，则 ， 设平面 的法向量为 由 ，得 ，取 ， 设直线 与平面 所成角为 ， ∴ ． 1．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体 中， ，E 为AC 的 中点． (1)证明：平面 平面ACD； (2)设 ，点F 在BD 上，当 的面积最小时，求三棱锥 的体积． 2．（2022·全国·统考高考真题）在四棱锥 中， 底面 ． (1)证明： ； (2)求PD 与平面 所成的角的正弦值． 3．（2021·全国·统考高考真题）在四棱锥 中，底面 是正方形，若 ． （1）证明：平面 平面 ； （2）求二面角 的平面角的余弦值． 4．（2021·全国·统考高考真题）已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ，E， F 分别为 和 的中点，D 为棱 上的点． （1）证明： ； （2）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小? 5．（2024·广东汕头·金山中学校考一模）已知平行四边形 如图甲， ， ，沿 将 折起，使点 到达点 位置，且 ，连接 得三棱锥 ，如图乙. (1)证明：平面 平面 ； (2)在线段 上是否存在点 ，使二面角 的余弦值为 ，若存在，求出 的值，若不存 在，请说明理由. 技法03 向量法与几何法求空间角的解题技巧 知识迁移 1．两条异面直线所成角的求法 设a，b 分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角θ 的范围为(0，]，公式为cos θ＝ 2．直线与平面所成角的求法 设直线l 的方向向量为a，平面α 的法向量为n，直线l 与平面α 所成的角为θ，a 与n 的夹角为β， 则sin θ＝|cos β|＝. 3．求二面角的大小 (1)如图①，AB，CD 是二面角α－l－β 的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB，CD〉． (2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β 的两个半平面α，β 的法向量，则二面角的大小θ 满足 |cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)． 例3-1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知三棱锥 的四个顶点均在半径为 的球面上，且 ， ，N 为 的中点． 立体几何中空间角是高考中的高频考点，需熟练掌握向量法和几何法求角，难度中等偏上，需重点强化练 习. (1)证明: 平面 (2)若M 是线段 上的点，且平面 与平面 的夹角为 ．求 与平面 所成角的正弦值． （2） ∵ ，∴ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∵N 为 中点，∴ ， ∴N 为三棱锥 外接球的球心， 依题意 ，∴ ， 连结 ， ∵ 平面 ， ∴ 平面 ， ∵ 平面 ，∴ ， ∴ 为二面角 的平面角，等于 ， 解法一：由上知 为等腰直角三角形，∴M 为PC 的中点， ∵ ， ∴ 平面 ， ∴ 平面 ， ∵ 平面 ，∴平面 平面 ， ∴点A 在平面 上的射影在 上， ∴ 即为 与平面 所成的角， 易得 ，由余弦定理可得 ． 解法二：由（1）知 两两垂直，分别以 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图 所示的空间直角坐标系， 则 ， ∵M 为PC 的中点，∴ ， ∴ ， 设平面PBC 的法向量为 则 ， 取 ，则 得 ， ∴ ， ∴AM 与平面PBC 所成角的正弦值为 ． 例3-2．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥 中， ， ， ， ，BP，AP，BC 的中点分别为D，E，O， ，点F 在AC 上， . (1)证明： 平面 ； (2)证明：平面 平面BEF； (3)求二面角 的正弦值. 【详解】（1）连接 ，设 ，则 ， ， ， 则 ， 解得 ，则 为 的中点，由 分别为 的中点， 于是 ，即 ，则四边形 为平行四边形， ，又 平面 平面 ， 所以 平面 . （2）法一：由（1）可知 ，则 ，得 ， 因此 ，则 ，有 ， 又 ， 平面 ， 则有 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 . 法二：因为 ，过点 作轴 平面 ，建立如图所示的空间直角坐标系， ， 在 中， ， 在 中， ， 设 ，所以由 可得： ， 可得： ，所以 ， 则 ，所以 ， ， 设平面 的法向量为 ， 则 ，得 ， 令 ，则 ，所以 ， 设平面 的法向量为 ， 则 ，得 ， 令 ，则 ，所以 ， ， 所以平面 平面BEF； （3）法一：过点 作 交 于点 ，设 ， 由 ，得 ，且 ， 又由（2）知， ，则 为二面角 的平面角， 因为 分别为 的中点，因此 为 的重心， 即有 ，又 ，即有 ， ，解得 ，同理得 ， 于是 ，即有 ，则 ， 从而 ， ， 在 中， ， 于是 ， ， 所以二面角 的正弦值为 . 法二：平面 的法向量为 ， 平面 的法向量为 ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 故二面角 的正弦值为 . 例3-3．（2023·天津·统考高考真题）三棱台 中，若 面 ， 分别是 中点. (1)求证： //平面 ； (2)求平面 与平面 所成夹角的余弦值； (3)求点 到平面 的距离． 【详解】（1） 连接 .由 分别是 的中点，根据中位线性质， // ，且 ， 由棱台性质， // ，于是 // ，由 可知，四边形 是平行四边形，则 / / ， 又 平面 ， 平面 ，于是 //平面 . （2）过 作 ，垂足为 ，过 作 ，垂足为 ,连接 . 由 面 ， 面 ，故 ，又 ， ， 平面 ， 则 平面 . 由 平面 ，故 ，又 ， ， 平面 ，于是 平 面 ， 由 平面 ，故 .于是平面 与平面 所成角即 . 又 ， ，则 ，故 ，在 中， ，则 ， 于是 （3）[方法一：几何法] 过 作 ，垂足为 ，作 ，垂足为 ，连接 ，过 作 ，垂足为 . 由题干数据可得， ， ，根据勾股定理， ， 由 平面 ， 平面 ，则 ，又 ， ， 平面 ，于是 平面 . 又 平面 ，则 ，又 ， ，