模型31 正、余弦定理与正弦面积公式(原卷版）

正弦定理：三角形B 的三边长分别为、b 、，其分别对应∠、∠B 、∠；则有 余弦定理：在△B 中，余弦定理可以表示为： 2＝b2+2 2 ﹣bs∠ b2＝2+2 2s ﹣ ∠B 2＝2+b2 2 ﹣bs∠． 正弦面积公式： S△B＝ bs＝ bs＝ sB 模型介绍 例题精讲 【例1】．如图，∠XY＝45°，一把直角三角尺△B 的两个顶点、B 分别在X，Y 上移动，其 中B＝10，则点到顶点的距离的最大值为 ，点到B 的距离的最大值为 ． 变式训练 【变式1-1】．以为圆心，1 为半径作圆．△B 为⊙的内接正三角形，P 为弧的三等分点，则 P2+PB2+P2的值为 ． 【变式1-2】．如图，，B 是海面上位于东西方向相距 海里的两个观测点，现 位于点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西 60°且与B 点相距 海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 海里/小时， 该救援船到达D 点需要多长时间？ 【例2】．如图，在△B 中，∠B＝45°，D⊥B，垂足为D，BD＝3，D＝2，求D 的长． 变式训练 【变式2-1】．在四边形BD 中，B＝B＝D＝26，D＝30 ，，BD 交于点，∠B＝60°．求 S 四边形BD＝ ． 【变式2-2】．如图，圆内接四边形BD 中，平分BD，＝ ，求B2+B2+D2+D2的值． 1．若△B 的三个内角满足s：sB：s＝5：11：13，则△B（ ） ．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 ．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 2．如图，点D 是△B 的边B 上一点，如果B＝D＝2，＝4，且BD：D＝2：3，则△B 是（ ） ．锐角三角形 B．直角三角形 ．钝角三角形 D．锐角三角形或直角三角形 3．在△B 中，∠B＝45°，＝2，则△B 面积的最大值为（ ） ．2 B． +1 ．2 D． 4．△B 中， ， ，B＝2，设P 为B 边上任一点，则（ ） ．P2＜PB•P B．P2＝PB•P ．P2＞PB•P D．P2与PB•P 的大小关系并不确定 5．圆内接四条边长顺次为5、10、11、14，则这个四边形的面积为（ ） ．785 B．975 ．90 D．102 6．如图，点1 为单位正方形内一点，且E＝BE＝B，延长E 交D 于F，作FG⊥B 于点G， 则EG 的长度为（ ） ． B． ． D． 7．设△B 的三边为，b，且（b+）：（+）：（+b）＝4：5：6，则s：sB：s＝ ． 8．已知在△B 中，有一个角为60°， ，周长为20，则三边长分别为 ． 9．已知直角三角形B 中，∠＝90°，B＝6，＝3，D 为∠的角平分线，则D＝ ． 10．在△B 中，∠B＝45°，D⊥B 于D，BD＝3，D＝2，那么D 的长是 ． 11．在△B 中，∠＝3∠，B＝48，B＝27，则＝ ． 12．如图，在△B 中，∠＝45°，点D 为中点，DE⊥B 于点E，BE＝B，BD＝ ，则的长 为 ． 13．在△B 中，B＝2 ，B＝，∠＝60°，如果对于的每一个确定的值，都存在两个不全等 的△B，那么的取值范围是 ． 14．在△B 中，∠B＝45°，D 是B 边上的一点，D＝ ，＝3，D＝ ，求B 的长． 15．如图，在Rt△B 中，B＝5，＝12，B＝13，点D 在B 上，点E 在上，且DE 平分△B 的 面积，求线段DE 长度的最小值． 16．如图，在△B 中，D⊥直线B，垂足为D，且D＝B＝（为常数），＝b，B＝，求 最大值． 17．在△B 中，s＝ ，sB＝ ，s＝ ，我们称为余弦定理， 请用余弦定理完成下面的问题．请用余弦定理完成下面的问题： （1）如图，已知△DEF，∠E＝60°，DE＝4，DF＝ ，求EF 的长度； （2）通过合理的构造，试求s105°． 18．阅读：△B 中，，b，分别是∠，∠B，∠的对边，△B 的边角有如下性质： ①正弦定理： ＝ ＝ ②余弦定理：2＝b2+2 2 ﹣bs，b2＝2+2 2s ﹣ B，2＝2+b2 2 ﹣bs． ③S△B＝ bs＝ bs＝ sB 请你根据上述结论求解下列问题：在锐角△B 中，，b，分别是∠，∠B，∠的对边，且 2sB＝ b． （1）求角的大小； （2）若＝6，b+＝8，求△B 的面积． 19．△B 中，B＝，D 平分∠B． （1）若∠＝x°，∠BD 是y°，则y 与x 之间的函数关系式 ； （2）若△BD 三边的长是三个连续整数，求s； （3）在（2）的条件下求△D 的面积． 20．如图：D 是以B 为直径的圆上任意一点，且不与点、B 重合，点是弧BD 的中点，作 E∥B，交D 或其延长线于E，连接BE 交与G，E＝E，过作M⊥D 交D 延长线于点M， M 与⊙相切，E＝7，D＝6，求EG 的长．