模型31 正、余弦定理与正弦面积公式(解析版）

R 正弦定理：三角形B 的三边长分别为、b 、，其分别对应∠、∠B 、∠；则有 R 余弦定理：在△B 中，余弦定理可以表示为： 2＝b2+2 2 ﹣bs∠ b2＝2+2 2s ﹣ ∠B 2＝2+b2 2 ﹣bs∠． R 正弦面积公式： S△B＝ bs＝ bs＝ sB 模型介绍 例题精讲 【例1】．如图，∠XY＝45°，一把直角三角尺△B 的两个顶点、B 分别在X，Y 上移动，其 中B＝10，则点到顶点的距离的最大值为 10 ，点到B 的距离的最大值为 5+5 ． 解：作△B 的外接圆，如图， ∵ ＝ ， ∴当∠B＝90°，△B 是等腰直角三角形时，点到顶点的距离最大． 则＝ B＝10 ． 点到B 的距离的最大值为5+5 ． 故答是：10 ，5+5 ． 变式训练 【变式1-1】．以为圆心，1 为半径作圆．△B 为⊙的内接正三角形，P 为弧的三等分点，则 P2+PB2+P2的值为 6 ． 解：∵以为圆心，1 为半径作圆，△B 为⊙的内接正三角形， ∴∠B＝∠B＝60°，B＝＝B＝ ， ∴∠PB＝∠B＝60°，∠BP＝∠B＝60°， ∵P 为弧的三等分点， ∴∠BP＝ ∠B＝20°， ∴∠PB＝40°， ∴∠P＝∠PB＝40°， ∴∠PB＝∠B+∠P＝100°， ∵ ， ， ∴ ， ， ∵ ＝2， ∴P＝2s20°，PB＝2s100°，P＝2s40°， ∴P2+PB2+P2＝4[s220+s280+s240]＝4[ + + ]＝4[ ﹣ s（60° 20° ﹣ ）+s20° s ﹣（60°+20°）]＝6． 故答为：6． 【变式1-2】．如图，，B 是海面上位于东西方向相距 海里的两个观测点，现 位于点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西 60°且与B 点相距 海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 海里/小时， 该救援船到达D 点需要多长时间？ 解：由题意知B＝5（3+ ）海里，∠DB＝90° 60° ﹣ ＝30°，∠DB＝45°， ∴∠DB＝105°， 在△DB 中，由正弦定理得 ， ∴DB＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝10 （海里）， 又∠DB＝∠DB+∠B＝30°+（90° 60° ﹣ ）＝60°，B＝20 海里， 在△DB 中，由余弦定理得 D2＝BD2+B2 2 ﹣BD•B•s∠DB ＝300+1200 2×10 ﹣ ×20 × ＝900， ∴D＝30（海里），则需要的时间t＝ ＝1（小时）． 答：救援船到达D 点需要1 小时． 【例2】．如图，在△B 中，∠B＝45°，D⊥B，垂足为D，BD＝3，D＝2，求D 的长． 解：设D＝x（x＞0）． ∵D⊥B 于D，BD＝3，D＝2， ∴＝ ，B＝ ； 又∵在△B 中，∠B＝45°， ∴B2＝2+B2 2• ﹣ Bs45°，即25＝x2+4+x2+9 2 ﹣ • • ， 解得x＝6， ∴D＝6． 变式训练 【变式2-1】．在四边形BD 中，B＝B＝D＝26，D＝30 ，，BD 交于点，∠B＝60°．求 S 四边形BD＝ 506 ． 解：设B＝x，＝y，＝，D＝b， 由余弦定理，得 ． 由（③+④）﹣（①+②）得：x+by+b+xy＝2024． 所以S 四边形BD＝ xys60°+ xs120°+ bs60°+ bys60°＝ xy+ x+ b+ by＝ （x+by+b+xy）， 所以 ． 故答是：506 ． 【变式2-2】．如图，圆内接四边形BD 中，平分BD，＝ ，求B2+B2+D2+D2的值． 解：∵ ， ． ∵平分BD， ∴BP＝DP， ∴S△B＝S△D， ∴ ． ∵∠B+∠D＝180°， s ∴∠D＝s∠B，s∠D+s∠B＝0， ∴B•B＝D•D， ∴ ， 即B2+B2+D2+D2＝10． 1．若△B 的三个内角满足s：sB：s＝5：11：13，则△B（ ） ．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 ．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 解：∵△B 的三个内角满足s：sB：s＝5：11：13， ∴由正弦定理可设＝5k，b＝11k，＝13k， 由余弦定理得：s＝ ＝ ＝﹣ ＜0， ∴∠是钝角， ∴△B 是钝角三角形， 故选：． 2．如图，点D 是△B 的边B 上一点，如果B＝D＝2，＝4，且BD：D＝2：3，则△B 是（ ） ．锐角三角形 B．直角三角形 ．钝角三角形 D．锐角三角形或直角三角形 解：方法1：过作E 垂直B 于E， 令BD＝2xD＝3x 则B＝5x， ∵B＝D＝2， ∴BE＝x，sB＝ ， ∴2＝B2+B2 2 ﹣B•BsB 即16＝4+25x2 10 ﹣ x2， 解得，x＝ ， ∴△B 用余弦定理B2＝B2+2 2 ﹣B•s 即20＝4+16 16s ﹣ ， s ∴＝0，∠＝90°． 方法2：过点D 作B 平行线交于E， 因此很容易得到DE：B＝E：＝D：B＝3：5， 那么DE＝12； D＝2，E＝16，由勾股定理得△ED 构成一个直角三角形，即△B 是直角三角形 故选：B． 3．在△B 中，∠B＝45°，＝2，则△B 面积的最大值为（ ） ．2 B． +1 ．2 D． 解：∵∠B＝45°、＝2， ∴由余弦定理sB＝ 得： ＝ ， ∴ ＝2+2 4≥2 4 ﹣ ﹣，即（2﹣ ）≤4（当且仅当＝时取等号）， ≤ ∴ ＝2（2+ ）＝4+2 ， ∴△B 的面积S＝ sB≤ （4+2 ）× ＝1+ ， 则△B 的面积的最大值为1+ ， 故选：B． 4．△B 中， ， ，B＝2，设P 为B 边上任一点，则（ ） ．P2＜PB•P B．P2＝PB•P ．P2＞PB•P D．P2与PB•P 的大小关系并不确定 解：如图，设BP＝x，P＝2﹣x， 在△B 中，由余弦定理，有 ＝ ， 在△BP 中，由余弦定理， 有P2＝B2+BP2 2 ﹣B•BPsB＝ ， ∴P2＝x2 5 ﹣x+8， 而PB•P＝x（2﹣x）＝2x﹣x2， 令y＝P2﹣PB•P＝x2 5 ﹣x+8 2 ﹣x+x2＝ ， ∴P2＞PB•P． 故选：． 5．圆内接四条边长顺次为5、10、11、14，则这个四边形的面积为（ ） ．785 B．975 ．90 D．102 解：设B＝5，B＝10，D＝11，D＝14， 5 ∵2+142＝102+112， ∴BD2＝B2+D2＝B2+D2， ∴∠＝∠＝90°， ∴S 四边形＝ B•D+ B•D＝5×7+5×11＝90．故选：． 6．如图，点1 为单位正方形内一点，且E＝BE＝B，延长E 交D 于F，作FG⊥B 于点G， 则EG 的长度为（ ） ． B． ． D． 解：如右图所示， ∵E＝BE＝B， ∴△BE 是等边三角形， ∴∠EB＝∠EB＝∠EB＝60°， 又∵FG⊥B， ∴∠GF＝90°， ∴∠FG＝30°， ∴F＝ ＝ ， ∴EF＝F﹣E＝ ﹣1， 在△EFG 中，EG2＝EF2+FG2 2× ﹣ EF×FG×s30°＝ ， ∴EG＝ ． （作E⊥FG，求出E，G，利用勾股定理即可解决问题） 故选：D． 7．设△B 的三边为，b，且（b+）：（+）：（+b）＝4：5：6，则s：sB：s＝ 7 ： 5 ： 3 ． 解：由已知，设 （k＞0）， 得 b+＝4k， +＝5k， +b＝6k， 三式相加，得+b+＝ k， ∴＝ k，b＝ k，＝ k， s ∴：sB：s＝：b：＝7：5：3． 8．已知在△B 中，有一个角为60°， ，周长为20，则三边长分别为 5 ， 7 ， 8 ． 解：在△B 中，不妨设∠＝60°． 由题意，可得 ， ， ， 解得＝7，b＝5，＝8 或＝7，b＝8，＝5， 所以，△B 三边长分别为5，7，8． 故答为：5，7，8． 9．已知直角三角形B 中，∠＝90°，B＝6，＝3，D 为∠的角平分线，则D＝ ． 解：令D＝x，由正弦定理可知： S△B＝9＝ ×3×x•s45°+ ×6×x•s45°， 故x＝ ． 故答为：2 ． 10．在△B 中，∠B＝45°，D⊥B 于D，BD＝3，D＝2，那么D 的长是 6 ． 解：设D＝x（x＞0）． ∵D⊥B 于D，BD＝3，D＝2， ∴＝ ，B＝ ； 又∵在△B 中，∠B＝45°， ∴B2＝2+B2 2• ﹣ Bs45°，即25＝x2+4+x2+9 2 ﹣ • • ， 解得x＝6． 故答是：6． 11．在△B 中，∠＝3∠，B＝48，B＝27，则＝ 35 ． 解：作D 交B 于D，使∠D＝∠， 由已知得∠BD＝2∠， 又因∠BD＝∠+∠D＝2∠， 所以∠BD＝∠BD，BD＝B＝27，D＝D＝B﹣BD＝21， 在△BD 和△B 中， 由余弦定理，得： ， 解得：＝35． 故答为：35． 12．如图，在△B 中，∠＝45°，点D 为中点，DE⊥B 于点E，BE＝B，BD＝ ，则的长 为 4 ． 解：设E＝x（x＞0），BE＝B＝y（y＞0）， ∵∠＝45°，DE⊥B， ∴E＝DE＝x， 在Rt△BDE 中，BD2＝BE2+DE2，即x2+y2＝87…①， 在Rt△DE 中，D＝ ＝ x， 又∵D 为中点， ∴＝2 x， 在△B 中，由余弦定理得：B2＝B2+2 2 ﹣B××s， 即y2＝（x+y）2+8x2 2 ﹣（x+y）×2 x× ， 整理得：5x2 2 ﹣xy＝0， 解得：y＝ x…②， 将②代入①得：x＝2 ， ∴＝2 x＝4 ． 故答为：4 ． 13．在△B 中，B＝2 ，B＝，∠＝60°，如果对于的每一个确定的值，都存在两个不全等 的△B，那么的取值范围是 2 ＜＜ 4 ． 解：法一：由正弦定理得： ＝ ，即 ＝ ， 再s＝ ， 由题意得：当60°＜∠＜120°时，满足条件的△B 有两个， 所以 ＜ ＜1， 解得2 ＜＜4； 法二：由题，对于的每一个确定的值，都要存在两个不全等的△B，例如下图所示，在B 为定值时，存在两个不全等的△B 与△′B， ∴两个不全等的△B 中其中一个是锐角三角形，其中一个是钝角三角形（∠B 为钝角）， ①当△B 为锐角三角形时，假设0°＜∠＜60°，如下图所示， 在图中无法以B 边为定值，再画出另一个不全等的△B， ②当△B 为锐角三角形时，假设∠＝60°，如下图所示，△B 为等边三角形， 在图中也无法以B 边为定值，再画出另一个不全等的△B， ∴综上，当△B 为锐角三角形时，∠必须满足：90°＞∠＞60°， ∵当∠＝60°时，△B 为等边三角形，此时B＝2 ， ∵当∠＝90°时，△B 为直角三角形，此时B＝4， ∴对于的每一个确定的值，都要存在两个不全等的△B，则B 需满足：2 ＜B＜4， 2 ∴ ＜＜4； 故答为：2 ＜＜4． 14．在△B 中，∠B＝45°，D 是B 边上的一点，D＝ ，＝3，D＝ ，求B 的长． 解：∵D＝ ，＝3，D＝ ， ∴2＝32＝9，D2＝3，D2＝6， ∴2＝D2+D2， ∴∠D＝90°， ∵∠B＝45°， ∴B＝ D＝ • ＝ ． 15．如图，在Rt△B 中，B＝5，＝12，B＝13，点D 在B 上，点E 在上，且DE 平分△B 的 面积，求线段DE 长度的最小值． 解：在Rt△B 中，B＝5，＝12，B＝13，则S△B＝ ＝30，s＝ ＝ ． ∵DE 平分△B 的面积， ∴S△DE＝ S△B＝15． 令D＝，E＝b，有： bs＝15． 故b＝78． ∴ ． 故DE 长度的最小值为 ． 16．如图，在△B 中，D⊥直线B，垂足为D，且D＝B＝（为常数），＝b，B＝，求 最大值． 解：由题意知 bs＝ •，即bs＝2． 又∵2＝b2+2 2 ﹣bs， ∴b2+2＝2+2bs， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝s+2s． 又∵s+2s＝ （ s+ s）＝ s（+B） ． ∴ 最大值为 ． 17．在△B 中，s＝ ，sB＝ ，s＝ ，我们称为余弦定理， 请用余弦定理完成下面的问题．请用余弦定理完成下面的问题： （1）如图，已知△DEF，∠E＝60°，DE＝4，DF＝ ，求EF 的长度； （2）通过合理的构造，试求s105°． 解：（1）由余弦定理，可得sE＝ ， ∵∠E＝60°，DE＝4，DF＝ ， ∴ ＝ ， 解得EF＝1 或3； （2）如图，在△B 中，∠B＝45°，∠＝30°，D⊥B，D＝1． ∵在RT△D 中，D＝1． ∴＝2，D＝ ， ∵在RT△DB 中，D＝1， ∴B＝ ，BD＝1， ∴在△B 中，B＝ ，＝2，B＝ +1， ∠B＝180° 30° 45° ﹣ ﹣ ＝105°， 利用余弦定理可得s105°＝ ＝ ＝ ． 18．阅读：△B 中，，b，分别是∠，∠B，∠的对边，△B 的边角有如下性质： ①正弦定理： ＝ ＝ ②余弦定理：2＝b2+2 2 ﹣bs，b2＝2+2 2s ﹣ B，2＝2+b2 2 ﹣bs． ③S△B＝ bs＝ bs＝ sB 请你根据上述结论求解下列问题：在锐角△B 中，，b，分别是∠，∠B，∠的对边，且 2sB＝ b． （1）求角的大小； （2）若＝6，b+＝8，求△B 的面积． 解：（1）∵2sB＝ b，利用正弦定理 ＝ 得：sB＝bs， 2 ∴bs＝ b， s ∵B≠0， s ∴＝ ， 又∵为锐角， ∴＝ ； （2）由余弦定理得：2＝b2+2 2 ﹣b•s，即36＝b2+2﹣b＝（b+）2 3 ﹣b＝64 3 ﹣b， ∴b＝ ， 又∵s＝ ， ∴S△B＝ bs＝ ． 19．△B 中，B＝，D 平分∠B． （1）若∠＝x°，∠BD 是y°，则y 与x 之间的函数关系式 y ＝ x +45 ； （2）若△BD 三边的长是三个连续整数，求s； （3）在（2）的条件下求△D 的面积． 解：（1）∵B＝，∠＝x°， ∴∠B＝∠B＝ ， 又∵D 平分∠B， ∴∠D＝ ∠B＝ ， ∴∠BD＝∠+∠D＝x°+ ＝ ， ∴y＝ x+45． 故答为y＝ x+45； （2）∵∠BD＝ ∠B＝ ＝45°﹣ x°，∠BD＝ x°+45°，∠DB＝2∠BD， ∴∠BD＜∠BD，∠BD＜∠DB， ∴△BD 中BD 边最小． 作∠B 的平分线交D 于E． ∵∠DBE＝ ∠B＝ ∠B＝∠DB，∠BDE＝∠DB， ∴△BDE∽△DB， ∴BD：D＝BE：B＝DE：BD．（*） 设BE＝E＝z，则DE＝+1﹣z． 下面分两种情况讨论B 与D 的关系： ①当B＞D 时，设BD、D、B 分别为，+1，+2，再设BE＝E＝z，则DE＝+1﹣z．将它 们代入（*），得 ＝ ＝ ， 由 ＝ ，得z＝ ， 由 ＝ ，得+1﹣z＝ ， 两式相加，得+1＝ ， 解得＝1． 由三角形三边关系定理可知1，2，3 不能组成三角形，所以B＞D 不成立； ②当B＜D 时，设BD、B、D 分别为，+1，+2，再设BE＝E＝z，则DE＝+2﹣z．将它 们代入（*），得 ＝ ＝ ， 由 ＝ ，得z＝ ， 由 ＝ ，得+2﹣z＝ ， 两式相加，得+2＝ ， 解得1＝4，2＝﹣1（不合题意，舍去）， ∴BD＝4，B＝5，D＝6． ∵D 平分∠B， ∴D：BD＝：B， ∴D：4＝：5， 设D＝4x，则＝5x， ∵B＝， 4 ∴x+4＝5x， ∴x＝4， ∴B＝＝20． 在△B 中，B＝＝20，B＝5， 由余弦定理，得s＝ ＝ ， s ∴＝ ＝ ； （3）△D 的面积＝ ×16×20× ＝15 ． 20．如图：D 是以B 为直径的圆上任意一点，且不与点、B 重合，点是弧BD 的中点，作 E∥B，交D 或其延长线于E，连接BE 交与G，E＝E，过作M⊥D 交D 延长线于点M， M 与⊙相切，E＝7，D＝6，求EG 的长． 解：连接，如图． ∵M 与⊙相切， ∴⊥M． ∵M⊥D， ∴∥M． ∵E∥B， ∴四边形E 是平行四边形， ∴＝E＝7， ∴B＝14． ∵点是弧BD 的中点， ∴B＝D＝6． ∵B 是⊙的直径， ∴∠B＝90°， ∴＝ ＝ ＝4 ． ∵E∥B，∴△GE∽△GB， ∴ ＝ ＝ ＝ ， ∴G＝ ＝ ． 在Rt△B 中， s∠B＝ ＝ ＝ ． ∵点是弧BD 的中点， ∴∠B＝∠D，即∠B＝∠EG， s ∴∠EG＝ ． 在△EG 中， s∠EG＝ ． ∴ ＝ ． ∵G＝ ，E＝E＝7， ∴ ＝ ． 整理得：GE2＝ ． ∵GE＞0，∴GE＝ ． ∴EG 的长为 ．