【模型】梯子最值问题，指有一条线段的两个端点在坐标轴上滑动的最值模型 【结论】线段B 的两端在坐标轴上滑动，∠B=90°，B 的中点为Q，连接Q，Q， 当，Q，三点共线时，取得最大值 【简证】如图在 Rt△B 中，点Q 是中点，∴Q= B 在 Rt△B 中，由勾股定理得 Q= 若要取得最大值，则 ，Q，三点共线，即 =Q+Q， 即 = B+ 【 【小结】梯子模型的题，关键是取两个图形的公共边的中点作为桥梁 【例1】．如图，已知，∠M＝∠B＝90°，且点在M 上运动，点B 在上运动，若B＝8，＝ 6，则的最大值为 4+2 ． 例题精讲 解：取B 的中点E，连接E，E， ∴E＝4， 在Rt△E 中，由勾股定理得， E＝ ＝ ＝2 ， ∵∠B＝90°，点E 为B 的中点， ∴E＝ B＝4， ≤ ∵E+E， ∴当点、E、共线时，最大值为4+2 BF+F＝GF+F， ∴当点G，点F，点共线时，最小值为G 的长， ∵G＝ ＝ ＝ ， ∴ BF+F 的最小值为 ， 故选：D． 3．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等 待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点， 模型如图，∠B＝90°，点M，分别在射线B，B 上，M 长度始终保持不变，M＝4，E 为 M 的中点，点D 到B，B

【模型】梯子最值问题，指有一条线段的两个端点在坐标轴上滑动的最值模型 【结论】线段B 的两端在坐标轴上滑动，∠B=90°，B 的中点为Q，连接Q，Q， 当，Q，三点共线时，取得最大值 【简证】如图在 Rt△B 中，点Q 是中点，∴Q= B 在 Rt△B 中，由勾股定理得 Q= 若要取得最大值，则 ，Q，三点共线，即 =Q+Q， 即 = B+ 【 【小结】梯子模型的题，关键是取两个图形的公共边的中点作为桥梁 【例1】．如图，已知，∠M＝∠B＝90°，且点在M 上运动，点B 在上运动，若B＝8，＝ 6，则的最大值为 4+2 ． 例题精讲 解：取B 的中点E，连接E，E， ∴E＝4， 在Rt△E 中，由勾股定理得， E＝ ＝ ＝2 ， ∵∠B＝90°，点E 为B 的中点， ∴E＝ B＝4， ≤ ∵E+E， ∴当点、E、共线时，最大值为4+2 BF+F＝GF+F， ∴当点G，点F，点共线时，最小值为G 的长， ∵G＝ ＝ ＝ ， ∴ BF+F 的最小值为 ， 故选：D． 3．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等 待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点， 模型如图，∠B＝90°，点M，分别在射线B，B 上，M 长度始终保持不变，M＝4，E 为 M 的中点，点D 到B，B

【模型】梯子最值问题，指有一条线段的两个端点在坐标轴上滑动的最值模型 【结论】线段B 的两端在坐标轴上滑动，∠B=90°，B 的中点为Q，连接Q，Q， 当，Q，三点共线时，取得最大值 【简证】如图在 Rt△B 中，点Q 是中点，∴Q= 1 2 B 在 Rt△B 中，由勾股定理得 Q=√ QB （ ） 2+(CB)2=√( 1 2 AB)2+(CB)2 若要取得最大值，则 ，Q，三点共线，即 =Q+Q， 即 = 1 2 B+√( 1 2 AB)2+(CB)2 【小结】梯子模型的题，关键是取两个图形的公共边的中点作为桥梁 【例1】．如图，已知，∠M＝∠B＝90°，且点在M 上运动，点B 在上运动，若B＝8，＝ 6，则的最大值为 ． 例题精讲 变式训练 【变式1-1】．如图，矩形BD，B＝2，B＝4，点在x 轴正半轴上，点D 中，B＝6，＝8．∠B＝90°，D，E 为B，边上的两个动点，且DE＝6，F 为 DE 中点，则 BF+F 的最小值为（ ） ．2 B． ． D． 3．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等 待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点， 模型如图，∠B＝90°，点M，分别在射线B，B 上，M 长度始终保持不变，M＝4，E 为 M 的中点，点D 到B，B

【模型】梯子最值问题，指有一条线段的两个端点在坐标轴上滑动的最值模型 【结论】线段B 的两端在坐标轴上滑动，∠B=90°，B 的中点为Q，连接Q，Q， 当，Q，三点共线时，取得最大值 【简证】如图在 Rt△B 中，点Q 是中点，∴Q= 1 2 B 在 Rt△B 中，由勾股定理得 Q=√ QB （ ） 2+(CB)2=√( 1 2 AB)2+(CB)2 若要取得最大值，则 ，Q，三点共线，即 =Q+Q， 即 = 1 2 B+√( 1 2 AB)2+(CB)2 【小结】梯子模型的题，关键是取两个图形的公共边的中点作为桥梁 【例1】．如图，已知，∠M＝∠B＝90°，且点在M 上运动，点B 在上运动，若B＝8，＝ 6，则的最大值为 ． 例题精讲 变式训练 【变式1-1】．如图，矩形BD，B＝2，B＝4，点在x 轴正半轴上，点D 中，B＝6，＝8．∠B＝90°，D，E 为B，边上的两个动点，且DE＝6，F 为 DE 中点，则 BF+F 的最小值为（ ） ．2 B． ． D． 3．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等 待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点， 模型如图，∠B＝90°，点M，分别在射线B，B 上，M 长度始终保持不变，M＝4，E 为 M 的中点，点D 到B，B

平行四边形 模型（三十一）——梯子模型 【最值模型】梯子问题，指有一条线段的两个端点在坐标轴上滑动,P 为B 的中点。 ◎结论：线段B 的两端在坐标轴上滑动，∠B=90°，B 的中点为Q，连接Q，Q，当， Q，三点共线时，取得最大值。 【证明】如图在 Rt△B 中，点Q 是中点，∴Q=1 2 B 在 Rt△B 中，由勾股定理得 题的关键是构造三角形PB． 1．（2022·广东·陆河县水唇中学八年级阶段练习）一架梯子长25 米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7 米， (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了4 米到 ，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【答】(1)这个梯子的顶端距地面有24 米 (2)梯子的底端在水平方向滑动了8 米 【分析】（1）=25 米，B=7 米，根据勾股定理即可求得 =20 米，根据勾股定理求得 ，根据 即可求解． （1） 解：由题意得：=25 米，B=7 米，∠B=90°， （米） 答：这个梯子的顶端距地面有24 米； （2） 由题意得： =20 米， （米） 则： =15-7=8（米）， 答：梯子的底端在水平方向滑动了8 米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 2．（2021·全国·八年级专题练习）如图所示，线段

平行四边形 模型（三十一）——梯子模型 【最值模型】梯子问题，指有一条线段的两个端点在坐标轴上滑动,P 为B 的中点。 ◎结论：线段B 的两端在坐标轴上滑动，∠B=90°，B 的中点为Q，连接Q，Q，当， Q，三点共线时，取得最大值。 【证明】如图在 Rt△B 中，点Q 是中点，∴Q=1 2 B 在 Rt△B 中，由勾股定理得 中，∠B＝90°，B＝1，＝4，点在y 轴上，点在x 轴上，则点在 移动过程中，B 的最大值是_____． 1．（2022·广东·陆河县水唇中学八年级阶段练习）一架梯子长25 米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7 米， (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了4 米到 ，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 2．（2021·全国·八年级专题练习）如图所示，线段 的两端在坐标轴上滑动， ，B 的中点为Q，连 向上滑动的距离相等，求滑动的距离； （2）点与点的距离的最大值是多少m． 2．在一次消防演习中，消防员架起一架25 米长的云梯，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙20 米，如图． （1）求这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果消防员接到命令，要求梯子的顶端上升5 米（云梯长度不变），那么云梯底部在水平方向应滑动多少米？

重难点10 与四边形有关7 种模型 （垂美四边形、中点四边形、梯子模型、正方形半角模型、四边形折叠模型、 十字架模型、对角互补模型） 目 录 题型01 垂美模型 题型02 中点四边形 题型03 梯子模型 题型04 正方形半角模型 题型05 四边形翻折模型 题型06 十字架模型 题型07 对角互补模型 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质 四边形 边 角 对角线 对称性 平行四边形 直角三角形，二次函数的应用，平 行线分线段成比例定理等知识，解决问题的关键是设变量建立函数关系式． 题型03 梯子模型 【模型介绍】如下图，一根长度一定的梯子斜靠在竖直墙面上，当梯子底端滑动时，探究梯子上某点（如 中点）或梯子构成图形上的点的轨迹模型（图2），就是所谓的梯子模型 【考查方向】已知一条线段的两个端点在坐标轴上滑动，求线段最值问题 模型一：如图所示，线段的两个端点在坐标轴上滑动，∠B= ∴当、P、B 三点共线时，此时线段B 取最大值 B= P+BP =1 2+❑ √BC 2+PC 2= 1 2+❑ √BC 2+( 1 2 A C ) 2 即已知Rt∆B 中、B 的长，就可求出梯子模型中B 的最值 模型二：如图所示，矩形BD 的顶点、B 分别在边M、上，当点在 边M 上运动时，点B 随之在上运动，且运动的过程中矩形BD 形状保 持不变，B 的中点为P，连接P、PD、D，则当、

重难点突破10 与四边形有关7 种模型 （垂美四边形、中点四边形、梯子模型、正方形半角模型、四边形折叠模型、 十字架模型、对角互补模型） 目 录 题型01 垂美模型 题型02 中点四边形 题型03 梯子模型 题型04 正方形半角模型 题型05 四边形翻折模型 题型06 十字架模型 题型07 对角互补模型 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质 四边形 边 角 对角线 对称性 在符合设计要求的面积最大的四边形花MNGH？若存在，求四边形MNGH面积的最大值；若不存在，请 说明理由． 题型03 梯子模型 【模型介绍】如下图，一根长度一定的梯子斜靠在竖直墙面上，当梯子底端滑动时，探究梯子上某点（如 中点）或梯子构成图形上的点的轨迹模型（图2），就是所谓的梯子模型 【考查方向】已知一条线段的两个端点在坐标轴上滑动，求线段最值问题 模型一：如图所示，线段的两个端点在坐标轴上滑动，∠B= ∴当、P、B 三点共线时，此时线段B 取最大值 B= P+BP =1 2+❑ √BC 2+PC 2= 1 2+❑ √BC 2+( 1 2 A C ) 2 即已知Rt∆B 中、B 的长，就可求出梯子模型中B 的最值 模型二：如图所示，矩形BD 的顶点、B 分别在边M、上，当点在 边M 上运动时，点B 随之在上运动，且运动的过程中矩形BD 形状保 持不变，B 的中点为P，连接P、PD、D，则当、

......................................................................................5 【题型5 勾股定理之梯子问题】................................................................................................ 【题型5 勾股定理之梯子问题】 【例5】（2022 春•淮南期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时， 梯子底端到左墙角的距离为07 米，顶端距离地面24 米．如果保持梯子底端位置不动， 将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2 米，则小巷的宽度为 米． 【变式5-1】（2022•花溪区校级期末）一个长度为5 米的梯子的底端距离墙脚2 米，这个 梯子的顶端能达到45 米的墙头吗？ 米的树上．其中一位同学赶快搬来一架长为25 米的梯子，架在树干上，梯子底端离 树干15 米远，另一位同学爬上梯子去拿衣服．问这位同学能拿到衣服吗？如果再把梯 子底端向树干靠近08 米，问此时这位同学能拿到衣服吗？ 【变式5-3】（2022•泉港区期末）一架方梯长25 米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离 墙7 米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4 米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

......................................................................................8 【题型5 勾股定理之梯子问题】................................................................................................ 16÷80 ∴ ＝02（小时）， 02 ∵ ＜05， ∴能在半小时内回到海岸线． 【题型5 勾股定理之梯子问题】 【例5】（2022 春•淮南期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时， 梯子底端到左墙角的距离为07 米，顶端距离地面24 米．如果保持梯子底端位置不动， 将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2 米，则小巷的宽度为 22 米． 【分析】先根据勾股定理求出B 【变式5-1】（2022•花溪区校级期末）一个长度为5 米的梯子的底端距离墙脚2 米，这个 梯子的顶端能达到45 米的墙头吗？ 【分析】根据勾股定理，求出梯子顶端到地面的垂直高度（距离），再和墙的高度作比 较． 【解答】解：梯子顶端到地面的垂直距离为：❑ √5 2−2 2=❑ √21， 因为❑ √21＞45， 所以这个梯子的顶端能达到45 米的墙头． 【变式5-2】（2022•广