模型48 梯子最值与斜边中点模型（原卷版）(1)

【模型】梯子最值问题，指有一条线段的两个端点在坐标轴上滑动的最值模型 【结论】线段B 的两端在坐标轴上滑动，∠B=90°，B 的中点为Q，连接Q，Q， 当，Q，三点共线时，取得最大值 【简证】如图在 Rt△B 中，点Q 是中点，∴Q= 1 2 B 在 Rt△B 中，由勾股定理得 Q=√ QB （ ） 2+(CB)2=√( 1 2 AB)2+(CB)2 若要取得最大值，则 ，Q，三点共线，即 =Q+Q， 即 = 1 2 B+√( 1 2 AB)2+(CB)2 【小结】梯子模型的题，关键是取两个图形的公共边的中点作为桥梁 【例1】．如图，已知，∠M＝∠B＝90°，且点在M 上运动，点B 在上运动，若B＝8，＝ 6，则的最大值为 ． 例题精讲 变式训练 【变式1-1】．如图，矩形BD，B＝2，B＝4，点在x 轴正半轴上，点D 在y 轴正半轴上， 当点在x 轴上运动时，点D 也随之在y 轴上运动，在这个运动过程中，点到原点的最大 距离为（ ） ． B．2 ． D． 【变式1-2】．如图，∠M＝90°，已知△B 中，＝B＝13，B＝10，△B 的顶点、B 分别在边 M、上，当点B 在边上运动时，随之在M 上运动，△B 的形状始终保持不变，在运动的 过程中，点到点的最小距离为_______ 【例2】．如图，点、B 分别在y 轴和x 轴正半轴上滑动，且保持线段B＝4，点D 坐标为 （4，3），点关于点D 的对称点为点，连接B，则B 的最小值为 ． 变式训练 【变式2-1】．如图，⊥B，垂足为，P、Q 分别是射线、B 上的两个动点，点是线段PQ 的 中点，且PQ＝4，点Q 从点出发沿B 方向运动过程中，动点运动形成的路径长是 ． 【变式2-2】．如图，在△B 中，∠B＝90°，B＝3，B＝4，D 为的中点，过点D 作 DE⊥DF，DE，DF 分别交B，B 于点E，F，求EF 的最小值． 1．如图，∠M＝90°，矩形BD 的顶点，B 分别在M、上，当B 在边上运动时，随之在边M 上运动，矩形BD 的形状保持不变，其中B＝2，B＝ ．运动过程中，当点D 到点的 距离最大时，长度为（ ） ． B． ．2 D． 2．如图，Rt△B 中，B＝6，＝8．∠B＝90°，D，E 为B，边上的两个动点，且DE＝6，F 为 DE 中点，则 BF+F 的最小值为（ ） ．2 B． ． D． 3．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等 待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点， 模型如图，∠B＝90°，点M，分别在射线B，B 上，M 长度始终保持不变，M＝4，E 为 M 的中点，点D 到B，B 的距离分别为3 和2，在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE 的 最小值为（ ） ．2 2 ﹣ B． ﹣1 ． ﹣2 D． ﹣3 4．如图，D∥B，D＝2，B＝3，△B 的面积是4，那△D 的面积是 ． 5．如图，∠M＝90°，长方形BD 的顶点B、分别在边M、上，当B 在边M 上运动时，随之 在边上运动，若D＝5，B＝24，运动过程中，点D 到点的最大距离为 ． 6．在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝8，B＝4．如图，将直角顶点B 放在原点，点放在y 轴正半 轴上，当点B 在x 轴上向右移动时，点也随之在y 轴上向下移动，当点到达原点时，点 B 停止移动，在移动过程中，点到原点的最大距离为 ． 7．如图，在等腰直角三角形B 中，∠B＝90°，B＝4，点M，分别为边B，B 上的点，且M ＝2．点D，E 分别是B，M 的中点，点P 为斜边上任意一点，则PE+PD 的最小值为 ． 8．如图，∠B＝∠DB＝90°，B＝6，E 为B 中点 （1）若D＝2，求△DE 的周长和面积． （2）若∠BD＝15°，求△ED 的面积． 9．如图所示，一根长25 米的木棍（B），斜靠在与地面（M）垂直的墙（）上，此时B 的 距离为07 米，设木棍的中点为P．若木棍端沿墙下滑，且B 端沿地面向右滑行． （1）如果木棍的底端B 向外滑出08 米，那么木棍的顶端沿墙下滑多少距离？ （2）木棍在滑动的过程中，请判断、、B、P 四点的所有连线中，哪些线段的长度不变， 并简述理由． （3）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△B 的面积最大？简述理由，并求出 面积的最大值． 10．如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点落在第二象限．其斜边两端 点、B 分别落在x 轴、y 轴上，且B＝12m （1）若B＝6m． ①求点的坐标； ②若点向右滑动的距离与点B 向上滑动的距离相等，求滑动的距离； （2）点与点的距离的最大值＝ m． 11．如图，一个梯子B 斜靠在一面墙上，梯子底端为，梯子的顶端B 距地面的垂直距离为 B 的长． （1）若梯子的长度是10m，梯子的顶端B 距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下 滑1m，那么梯子的底端向外滑动多少米？ （2）设B＝，B＝，＝b，且＞b，请思考，梯子在滑动的过程中，是否一定存在顶端下 滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况？若存在，请求出这个距离；若不存在，说 明理由． 12．如图，将一块等腰直角三角板B 放置在平面直角坐标系中，∠B＝90°，＝B，点在y 轴 的正半轴上，点在x 轴的负半轴上，点B 在第二象限． （1）若所在直线的函数表达式是y＝2x+4． ①求的长； ②求点B 的坐标； （2）若（1）中的长保持不变，点在y 轴的正半轴滑动，点随之在x 轴的负半轴上滑动． 在滑动过程中，点B 与原点的最大距离是 ．