模型48 梯子最值与斜边中点模型（解析版）

【模型】梯子最值问题，指有一条线段的两个端点在坐标轴上滑动的最值模型 【结论】线段B 的两端在坐标轴上滑动，∠B=90°，B 的中点为Q，连接Q，Q， 当，Q，三点共线时，取得最大值 【简证】如图在 Rt△B 中，点Q 是中点，∴Q= B 在 Rt△B 中，由勾股定理得 Q= 若要取得最大值，则 ，Q，三点共线，即 =Q+Q， 即 = B+ 【小结】梯子模型的题，关键是取两个图形的公共边的中点作为桥梁 【例1】．如图，已知，∠M＝∠B＝90°，且点在M 上运动，点B 在上运动，若B＝8，＝ 6，则的最大值为 4+2 ． 例题精讲 解：取B 的中点E，连接E，E， ∴E＝4， 在Rt△E 中，由勾股定理得， E＝ ＝ ＝2 ， ∵∠B＝90°，点E 为B 的中点， ∴E＝ B＝4， ≤ ∵E+E， ∴当点、E、共线时，最大值为4+2 ， 故答为：4+2 ． 变式训练 【变式1-1】．如图，矩形BD，B＝2，B＝4，点在x 轴正半轴上，点D 在y 轴正半轴上， 当点在x 轴上运动时，点D 也随之在y 轴上运动，在这个运动过程中，点到原点的最大 距离为（ ） ． B．2 ． D． 解：如图，取D 的中点，连接，， ∵矩形BD，B＝2，B＝4， ∴D＝B＝2，D＝B＝4， ∵点是D 的中点， ∴＝D＝2， ∴ ＝ ＝ ， ∵∠D＝90°，点是D 的中点， ∴ ， 在△中，＜+， 当点在上时，＝+， ∴的最大值为 ， 故选：． 【变式1-2】．如图，∠M＝90°，已知△B 中，＝B＝13，B＝10，△B 的顶点、B 分别在边 M、上，当点B 在边上运动时，随之在M 上运动，△B 的形状始终保持不变，在运动的 过程中，点到点的最小距离为_______ 解：作⊥B 于，连接，如图， ∵＝B＝13， ∴＝B＝ B＝5， 在Rt△B 中，＝ ＝ ＝12， ∵为B 的中点， ∴＝ B＝5， ≥ ∵﹣（当点、、共线时取等号）， ∴的最小值为12 5 ﹣＝7． 【例2】．如图，点、B 分别在y 轴和x 轴正半轴上滑动，且保持线段B＝4，点D 坐标为 （4，3），点关于点D 的对称点为点，连接B，则B 的最小值为 6 ． 解：如图所示，取B 的中点E，连接E，DE，D， 由题可得，D 是的中点， ∴DE 是△B 的中位线， ∴B＝2DE， ∵点D 坐标为（4，3）， ∴D＝ ＝5， Rt ∵ △B 中，E＝ B＝ ×4＝2， ∴当，E，D 在同一直线上时，DE 的最小值等于D﹣E＝3， ∴B 的最小值等于6， 故答为：6． 变式训练 【变式2-1】．如图，⊥B，垂足为，P、Q 分别是射线、B 上的两个动点，点是线段PQ 的 中点，且PQ＝4，点Q 从点出发沿B 方向运动过程中，动点运动形成的路径长是 π ． 解：∵⊥B， ∴∠B＝90°， 当Q 点与点重合时， PQ 的中点在P 的中点处， 当P 点与点重合时， PQ 的中点在Q 的中点处， ∵PQ＝4， ∴点运动轨迹是以为圆心，2 为半径的 圆上， ∴动点运动形成的路径长＝ π×4＝π， ∴动点运动形成的路径长是π， 故答为π． 【变式2-2】．如图，在△B 中，∠B＝90°，B＝3，B＝4，D 为的中点，过点D 作 DE⊥DF，DE，DF 分别交B，B 于点E，F，求EF 的最小值． 解：∵DE⊥DF， ∴∠EDF＝90°， ∴EF2＝DE2+DF2， ∴当DE 与DF 的值最小时，EF 长度的值最小， 即当DF′⊥B，DE′⊥B 时，线段E′F′值最小， 如图，过D 作DE′⊥B 于E′，DF′⊥B 于F′， 则四边形DF′BE′是矩形， ∴E′F′＝BD， ∵∠B＝90°，B＝3，B＝4， ∴＝5， ∵D 是斜边的中点， ∴BD＝ ＝25． ∴E′F′＝BD＝25． ∴EF 的最小值为25． 1．如图，∠M＝90°，矩形BD 的顶点，B 分别在M、上，当B 在边上运动时，随之在边M 上运动，矩形BD 的形状保持不变，其中B＝2，B＝ ．运动过程中，当点D 到点的 距离最大时，长度为（ ） ． B． ．2 D． 解：如图，取B 的中点，连接E、DE， ∵∠M＝90°， ∴E＝E＝ B＝ ×2＝1， ∵四边形BD 是矩形， ∴D＝B＝ ， 在Rt△DE 中，由勾股定理得，DE＝ ＝ ＝2， 由三角形的三边关系得，、E、D 三点共线时点D 到点的距离最大， 此时，D＝E+DE＝1+2＝3， 过点作F⊥D 于F，则s∠DE＝ ＝ ， 即 ＝ ， 解得DF＝ ， ∵D＝3， ∴点F 是D 的中点， ∴F 垂直平分D， ∴＝D＝ ． 故选：B． 2．如图，Rt△B 中，B＝6，＝8．∠B＝90°，D，E 为B，边上的两个动点，且DE＝6，F 为 DE 中点，则 BF+F 的最小值为（ ） ．2 B． ． D． 解：如图，连接F，在B 上截取G＝15，连接FG，G， ∵∠B＝90°，F 为DE 中点， ∴F＝ DE＝3， ∴点F 在以点为圆心，F 为半径的圆上， ∵ ＝ ，∠GF＝∠BF， ∴△GF∽△FB， ∴ ， ∴GF＝ BF， ∴ BF+F＝GF+F， ∴当点G，点F，点共线时，最小值为G 的长， ∵G＝ ＝ ＝ ， ∴ BF+F 的最小值为 ， 故选：D． 3．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等 待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点， 模型如图，∠B＝90°，点M，分别在射线B，B 上，M 长度始终保持不变，M＝4，E 为 M 的中点，点D 到B，B 的距离分别为3 和2，在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE 的 最小值为（ ） ．2 2 ﹣ B． ﹣1 ． ﹣2 D． ﹣3 解：连接BE，DE， 由勾股定理得：BD＝ ＝ ， 在Rt△MB 中，点E 是M 的中点， ∴BE＝ M＝2， ∴点E 的运动轨迹是以B 为圆心，2 为半径的弧， ∴当点E 落在线段BD 上时，DE 的值最小， ∴DE 的最小值为： ﹣2， 故选：． 4．如图，D∥B，D＝2，B＝3，△B 的面积是4，那△D 的面积是 ． 解：∵△B 的面积为4，且B＝3， ∴B 的高为 ， ∵D∥B，且D＝2． ∴四边形BD 是梯形， ∴四边形BD 的面积为： × ×（2+3）＝ ∴D 的面积为： ﹣4＝ ． 故答为： ． 5．如图，∠M＝90°，长方形BD 的顶点B、分别在边M、上，当B 在边M 上运动时，随之 在边上运动，若D＝5，B＝24，运动过程中，点D 到点的最大距离为 25 ． 解：如图，取B 的中点E，连接E、DE、D， ∵D≤E+DE， ∴当、D、E 三点共线时，点D 到点的距离最大， 此时，∵D＝5，B＝24， ∴E＝E＝ B＝12， DE＝ ＝ ＝13， ∴D 的最大值为：12+13＝25． 故答为：25． 6．在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝8，B＝4．如图，将直角顶点B 放在原点，点放在y 轴正半 轴上，当点B 在x 轴上向右移动时，点也随之在y 轴上向下移动，当点到达原点时，点 B 停止移动，在移动过程中，点到原点的最大距离为 ． 解：如图所示：取1B1的中点E，连接E，1E，当，E，1在一条直线上时，点到原点的距 离最大，在 Rt△1B1中，∵1B1＝B＝8，点E 为斜边中线， ∴E＝B1E＝ 1B1＝4， 又∵B11＝B＝4， ∴1E＝ ＝4 ， ∴点到原点的最大距离为：E+1E＝4+4 ． 故答为：4+4 ． 7．如图，在等腰直角三角形B 中，∠B＝90°，B＝4，点M，分别为边B，B 上的点，且M ＝2．点D，E 分别是B，M 的中点，点P 为斜边上任意一点，则PE+PD 的最小值为 2 1 ﹣ ． 解：如图，作点D 关于的对称点D′，连接D′，BD′，BD′交于点P′，DD′交于点F， 则PD＝PD′， ∵∠MB＝90°，M＝2，E 是M 的中点，连接BE， ∴BE＝ M＝1，即点E 在以B 为圆心，半径为1 的圆位于△B 的内部的弧上运动， ∵PE+PD＝PE+PD′＝BE+PE+PD′ 1 ﹣， ∴当B、E、P、D′四点在同一条直线上时，BE+PE+PD′＝BD′最小， 即PE+PD＝BD′ 1 ﹣最小， ∵D 是B 的中点， ∴D＝ B＝2， ∵点D、D′关于对称， ∴垂直平分DD′， ∴D′＝D＝2，∠D′F＝∠DF＝∠DD′＝∠D′D＝45°， ∴∠DD′＝90°， ∴BD′＝ ＝ ＝2 ， ∴PE+PD 的最小值为2 1 ﹣． 故答为：2 1 ﹣． 8．如图，∠B＝∠DB＝90°，B＝6，E 为B 中点 （1）若D＝2，求△DE 的周长和面积． （2）若∠BD＝15°，求△ED 的面积． 解：（1）过E 作E⊥D， ∵∠B＝∠DB＝90°，B＝6，E 为B 中点 ∴E＝3，ED＝3，D＝2， ∴E＝ ，△DE 的周长＝2+3+3＝8， ∴△DE 的面积＝ ， （2）∵∠B＝∠DB＝90°，B＝6，E 为B 中点 ∴E＝3，ED＝3， 设∠E＝2x，∠DE＝2（x+15）＝2x+30， ∴∠ED＝30° ∴△DE 的面积＝ ． 9．如图所示，一根长25 米的木棍（B），斜靠在与地面（M）垂直的墙（）上，此时B 的 距离为07 米，设木棍的中点为P．若木棍端沿墙下滑，且B 端沿地面向右滑行． （1）如果木棍的底端B 向外滑出08 米，那么木棍的顶端沿墙下滑多少距离？ （2）木棍在滑动的过程中，请判断、、B、P 四点的所有连线中，哪些线段的长度不变， 并简述理由． （3）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△B 的面积最大？简述理由，并求出 面积的最大值． 解：（1）在直角△B 中，已知B＝25m，B＝07m， 则＝ ＝24m， ∵D＝B+BD， ∴D＝15m， ∵直角三角形D 中，B＝D，且D 为斜边， ∴＝ ＝2m， ∴＝﹣＝24m 2 ﹣m＝04m； ∴木棍的顶端沿墙下滑04m． （2）B、P、BP、P 均不变．理由： 因为P 为B 中点，所以B、P、BP 不变； 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因为斜边B 不变，所以斜边上的中线 P 不变； （3）当△B 的斜边上的高等于中线P 时面积最大． 如图，若与P 不相等，则总有＜P， 故根据三角形面积公式，有与P 相等时△B 的面积最大， 此时，S△B＝ B⋅＝ ×25×125＝15625（ ）． 所以△B 的最大面积为 （15625）m2． 10．如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点落在第二象限．其斜边两端 点、B 分别落在x 轴、y 轴上，且B＝12m （1）若B＝6m． ①求点的坐标； ②若点向右滑动的距离与点B 向上滑动的距离相等，求滑动的距离； （2）点与点的距离的最大值＝ 12 m． 解：（1）①过点作y 轴的垂线，垂足为D，如图1： 在Rt△B 中，B＝12，∠B＝30°， ∴B＝6， ∴B＝6， ∴∠B＝30°，∠B＝60°， 又∵∠B＝60°， ∴∠BD＝60°，∠BD＝30°， ∴BD＝3，D＝3 ， 所以点的坐标为（﹣3 ，9）； ②设点向右滑动的距离为x，根据题意得点B 向上滑动的距离也为x，如图2： ＝12×s∠B＝12×s30°＝6 ． ' ∴＝6 ﹣x，B'＝6+x，'B'＝B＝12 在△' B'中，由勾股定理得， （6 ﹣x）2+（6+x）2＝122， 解得：x＝6（ ﹣1）， ∴滑动的距离为6（ ﹣1）； （2）设点的坐标为（x，y），过作E⊥x 轴，D⊥y 轴，垂足分别为E，D，如图3： 则E＝﹣x，D＝y， ∵∠E+∠BE＝90°，∠DB+∠BE＝90°， ∴∠E＝∠DB， 又∵∠E＝∠BD＝90°， ∴△E∽△BD， ∴ ，即 ， ∴y＝﹣ x， 2＝x2+y2＝x2+（﹣ x）2＝4x2， ∴取B 中点E，连接E，E，则E 与E 之和大于或等于，当且仅当，E，三点共线时取等 号，此时＝E+E＝6+6＝12， 故答为：12． 第二问方法二：因∠B 与∠B 和为180 度，所以∠与∠B 和为180 度，故，，B，四点共圆， 且B 为圆的直径，故弦的最大值为12． 11．如图，一个梯子B 斜靠在一面墙上，梯子底端为，梯子的顶端B 距地面的垂直距离为 B 的长． （1）若梯子的长度是10m，梯子的顶端B 距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下 滑1m，那么梯子的底端向外滑动多少米？ （2）设B＝，B＝，＝b，且＞b，请思考，梯子在滑动的过程中，是否一定存在顶端下 滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况？若存在，请求出这个距离；若不存在，说 明理由． 解：（1）由题意知：B＝10m，B＝8m， 由勾股定理得：＝ （m）， 当梯子的顶端下滑1m 时，如图， ∴B'＝7m， 由勾股定理得'＝ （m）， ' ∴＝'﹣＝（ ﹣6）m， ∴梯子的底端向外滑动（ ﹣6）m； （2）存在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况，设梯子底端向外滑动x 米， 则（﹣x）2+（b+x）2＝2， 解得x1＝﹣b，x2＝0（舍）， ∴x＝﹣b， 即梯子底端向外滑动（﹣b）米． 12．如图，将一块等腰直角三角板B 放置在平面直角坐标系中，∠B＝90°，＝B，点在y 轴 的正半轴上，点在x 轴的负半轴上，点B 在第二象限． （1）若所在直线的函数表达式是y＝2x+4． ①求的长； ②求点B 的坐标； （2）若（1）中的长保持不变，点在y 轴的正半轴滑动，点随之在x 轴的负半轴上滑动． 在滑动过程中，点B 与原点的最大距离是 5+ ． 解：（1）①当x＝0 时，y＝2x+4＝4， ∴（0，4）； 当y＝2x+4＝0 时，x＝﹣2， ∴（﹣2，0）． ∴＝4，＝2， ∴＝ ＝2 ． ②过点B 作BD⊥x 轴于点D，如图1 所示． + ∵∠∠B+∠BD＝180°，∠+∠＝90°，∠B＝90°， ∴∠＝∠BD． 在△和△DB 中， ， ∴△△ ≌DB（S）， ∴D＝＝4，DB＝＝2， D＝+D＝6， ∴点B 的坐标为（﹣6，2）． （2）如图2 所示． 取的中点E，连接BE，E，B， ∵∠＝90°，＝2 ， ∴E＝E＝ ＝ ， ∵B⊥，B＝2 ， ∴BE＝ ＝5， 若点，E，B 不在一条直线上，则B＜E+BE＝5+ ． 若点，E，B 在一条直线上，则B＝E+BE＝5+ ， ∴当，E，B 三点在一条直线上时，B 取得最大值，最大值为5+ ， 故答为：5+ ．