专题17-6 极值范围类计算 知识·解读 一、引起电路变化的因素： （1）滑动变阻器接入电阻可变、敏感电阻受环境因素的影响可变； （2）开关的开、闭情况不同； 二、影响电路安全的因素： （1）电流表、电压表量程； （2）用电器规格(灯泡的“U 额、P 额”或滑动变阻器的规格“ Ω b ”)； 三、解题步骤： 第一步： 列出极值 要保证电路的安全，首先要将题目中给了规格的各元件的额定电压、额定电流或允许通 过的最大电流罗列出来，这样可以避免遗漏某个元件 第二步： 确定电路状态 根据题干限制条件(滑片位置或开关状态)，确定此时的电路连接情况 第三步： 求物理量极值、范围 根据电路连接状态，在电路安全的条件下，各物理量极值或范围均是在物理量、R 的基 础上求得的，因此确定、R 的极值尤为重要 （1）串联电路中电路安全时： 电流表量程； bR 变安全电流； m= 三者中最小值为电路可通过电流最大值，此时滑动变阻器接入电阻最小

专题17-6 极值范围类计算 知识·解读 一、引起电路变化的因素： （1）滑动变阻器接入电阻可变、敏感电阻受环境因素的影响可变； （2）开关的开、闭情况不同； 二、影响电路安全的因素： （1）电流表、电压表量程； （2）用电器规格(灯泡的“U 额、P 额”或滑动变阻器的规格“ Ω b ”)； 三、解题步骤： 第一步： 列出极值 要保证电路的安全，首先要将题目中给了规格的各元件的额定电压、额定电流或允许通 过的最大电流罗列出来，这样可以避免遗漏某个元件 第二步： 确定电路状态 根据题干限制条件(滑片位置或开关状态)，确定此时的电路连接情况 第三步： 求物理量极值、范围 根据电路连接状态，在电路安全的条件下，各物理量极值或范围均是在物理量、R 的基 础上求得的，因此确定、R 的极值尤为重要 （1）串联电路中电路安全时： 电流表量程； bR 变安全电流； m= 三者中最小值为电路可通过电流最大值，此时滑动变阻器接入电阻最小 电压表的示数 为4V，求R3的阻值； （3）闭合开关S1、S2和S3，在不损坏电流表、电压表的情况下，求滑动变阻器R2的阻 值取值范围。 第 8 页 / 共 12 页 专题17-6 极值范围类计算 例1、【答】 D 【解析】小灯泡L 的电阻为RL＝＝＝12 Ω，S 闭合，当P 在最左端时，小灯泡L 正常工作， 故电源电压为U＝UL＝6 V，错误；当S 闭合、S1断开，P 在中点时，滑动变阻器一半电

题型08 手把手教学答题模板 之4 类函数单调性与函数极值最值 技法01 具体函数的单调性 知识迁移 导函数与原函数的关系，f '( x)>0,f ( x)单调递增，f '( x)<0,f ( x)单调递减 例1-1．（2021·全国·统考高考真题）已知函数 ，讨论 的单调性 技法01 具体函数的单调性 技法02 含参函数且导函数可分解型函数的单调性 技法03 含参函数且导函数不可分解型函数的单调性 含参函数且导函数不可分解型函数的单调性 技法04 二阶导函数求函数的单调性 技法05 函数的极值最值 函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,可以说 在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题.这是因为单调性是解决后续问题的关键。单调性在 研究函数图象、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关重要的 作用，函数单调性的讨论与 单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,可以说 在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题.这是因为单调性是解决后续问题的关键。单调性在 研究函数图像、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关重要的 作用，函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而含有参数的函数单调性的讨论与应用更是高 考中的难点 若 ，则 单调递减． 当 时，令 ，得

题型08 手把手教学答题模板 之4 类函数单调性与函数极值最值 技法01 具体函数的单调性 知识迁移 导函数与原函数的关系，f '( x)>0,f ( x)单调递增，f '( x)<0,f ( x)单调递减 例1-1．（2021·全国·统考高考真题）已知函数 ，讨论 的单调性 技法01 具体函数的单调性 技法02 含参函数且导函数可分解型函数的单调性 技法03 含参函数且导函数不可分解型函数的单调性 含参函数且导函数不可分解型函数的单调性 技法04 二阶导函数求函数的单调性 技法05 函数的极值最值 函数是高中数学主干知识,单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,可以说 在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题.这是因为单调性是解决后续问题的关键。单调性在 研究函数图象、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关重要的 作用，函数单调性的讨论与 单调性是函数的重要性质,用导数研究函数单调性是导数的一个主要应用,可以说 在高考导数解答题中单调性问题是绕不开的一个问题.这是因为单调性是解决后续问题的关键。单调性在 研究函数图像、比较函数值大小、确定函数的极值与零点、解不等式及证明不等式中都起着至关重要的 作用，函数单调性的讨论与应用一直是高考考查的热点、而含有参数的函数单调性的讨论与应用更是高 考中的难点 综上：当 时， 在 上单调递减； 当 时，

题型09 8 类导数大题综合 （证明不等式、恒成立、有解、零点、方程的根、双变量、隐零点、 极值点偏移） 技法01 利用导数证明不等式 例1．（2021·全国·统考高考真题）设函数 ，已知 是函数 的极值点． （1）求a； 技法01 利用导数证明不等式 技法02 利用导数研究恒成立问题 技法03 利用导数研究能成立（有解）问题 技法04 利用导数研究函数的零点问题 技法05 技法05 利用导数研究方程的根 技法06 利用导数研究双变量问题 技法07 导数中的隐零点问题 技法08 导数中的极值点偏移问题 不等式是数学中的一个重要概念，而导数作为一种重要的数学工具，在不等式证明中发挥着非常关键的作 用。通过构造函数、利用导数的单调性等知识，我们可以更加便捷、快速地证明不等式，此类题型难度中 等，是高考中的常考考点，需强加练习 （2）设函数 ．证明: ． ，即 ，所以 ． （ⅰ）当 时， ，所以 ，即 ，所以 ． （ⅱ）当 时， ，同理可证得 ． 综合（ⅰ）（ⅱ）得，当 且 时， ，即 ． 1．（全国·高考真题）已知函数 ． （1）设 是 的极值点．求 ，并求 的单调区间； （2）证明：当 时， ． 【答案】(1)a= ；增区间为 ，减区间为 ．(2)证明见解析. 【分析】（1）先确定函数的定义域，利用 ，求得a= ，从而确定出函数的解析式，再解不等

题型09 8 类导数大题综合 （证明不等式、恒成立、有解、零点、方程的根、双变量、隐零点、 极值点偏移） 技法01 利用导数证明不等式 例1．（2021·全国·统考高考真题）设函数 ，已知 是函数 的极值点． （1）求a； （2）设函数 ．证明: ． 技法01 利用导数证明不等式 技法02 利用导数研究恒成立问题 技法03 利用导数研究能成立（有解）问题 技法04 利用导数研究函数的零点问题 利用导数研究函数的零点问题 技法05 利用导数研究方程的根 技法06 利用导数研究双变量问题 技法07 导数中的隐零点问题 技法08 导数中的极值点偏移问题 不等式是数学中的一个重要概念，而导数作为一种重要的数学工具，在不等式证明中发挥着非常关键的作 用。通过构造函数、利用导数的单调性等知识，我们可以更加便捷、快速地证明不等式，此类题型难度中 等，是高考中的常考考点，需强加练习 且 时， ，即 ． 1．（全国·高考真题）已知函数 ． （1）设 是 的极值点．求 ，并求 的单调区间； （2）证明：当 时， ． 2．（2023·山东泰安·校考模拟预测）已知函数 ． (1)讨论 的单调性； (2)证明：当 ，且 时， ． 3．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数 . (1)讨论 的极值； (2)当 时，证明： . 技法02 利用导数研究恒成立问题 例2

13．曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为______. 14．已知函数 的导函数为 ，且 ，则 ______． 15．已知函数 ，则 ______． 16．函数 （ ）在 处有极值，则曲线 在原点处的切线 方程是__________． 三、解答题：本题6 小题，共70 分。 17．求下列函数的导数： （1） ； （2） ． 18．设函数 ，已知 ，且曲线 在点 （1）判断函数 在区间 上的单调性； （2）若不等式 在 上恒成立，求m 的取值范围. 19．已知函数 ． (1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程； (2)判断函数 的极值点个数，并说明理由． 20．已知函数 在 和 时都取得极值. （1）求 、 的值； （2）若函数 在区间 上不是单调函数，其中 ，求的取值范围. 21．已知函数 ， . （1）求函数 的单调区间； （2）若函数 的图象是 应用，关键在于得出导函数取 得正负的区间，得出函数的单调性，属于难题. 19．(1) ； (2)当 时， 无极值点；当 且 时， 有2 个极值点. （1）代入 ，求出 ，再求导得 ，由点斜式写出切线方程即可； （2）直接求导分解因式，分 、 和 讨论函数单调性，即可求得极值点情况. （1） 当 时， ， ， ， ， 则曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ； （2） 易得函数定义域为R，

然后再利用分离参数求得参数的取值范围即可. 5. 已知 在 处有极值 ，则 （ ） A. 11 或4 B. -4 或-11 C. 11 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先求解导函数，再根据极值的概念求解参数的值即可. 【详解】根据题意， 函数 在 处有极值0 且 或 时 恒成立，此时函数无极值点 . 故选：C. 6. 高三（2）班某天安排6 节课，其中语文 （本题共6 小题，每题5 分，共30 分 ） 10. 已知 是函数 的一个极值点，则 ____________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导函数，根据 是函数 的一个极值点，得 ，解方程，检验即可得出答案. 【详解】解：因为 ，所以 . 又 是 的一个极值点，所以 ，解得 或 . 当 时， ，则 无极值. 当 时， ， 是 的极小值点. 故答案为： . 11. 已知函数 种不同的分法．故不同的分配方法共有 种． 故答案为：540 13. 函数 （ ）在 内不存在极值点，则a 的取值范围是_______________． 【答案】 ． 【解析】 【分析】将函数在 内不存在极值点，转化为函数为单调函数，求导利用导数 或 恒 成立即可求解. 【详解】解：∵函数 （ ）在 内不存在极值点， ∴函数 在 内单调递增或单调递减， ∴ 或 在 内恒成立， ∵ ， 令 ，二次函数的对称轴为

故选：A. 4. 已知函数 的导函数的图象如图所示，则 的极值点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】含导函数图象确定 的极值点个数，要保证导函数的零点左右两边导函数函数值一正一负. 【详解】因为在 左、右两边的导数值均为负数，所以0 不是极值点，故由图可知 只有2 个极值 点. 故选：C 5. 不等式 的解集为（ ） A. 单调递增，在 单调递减； C. 当 时，总有 恒成立； D. 若函数 有两个极值点，则实数 【答案】ACD 【解析】 【分析】A 选项，解不等式即可；B 选项，求导，利用导函数研究其单调性；C 选项，构造函数，二次求 导结合函数单调性和极值，最值进行证明；D 选项，转化为 在 有两个根，求导后结合 单调性，极值等求出 的取值范围. 【详解】由题意得 ，则 对于A：由 ，可得 ，解得 ，所以解集为 对于D：若函数 有两个极值点， 则 有两个根，即 在 有两个根， 令 ，则 ， 所以当 时， ，函数 为增函数， 当 时， ，函数 为减函数， 又当 时， ，当 时， ， ， 所以 ，解得 ，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】导函数在研究函数单调性和函数图象上非常重要，很多问题看似与函数单调性无关，不过通过转 化或构造新函数，通过求导，结合函数单调性及极值，最值，就变的迎刃而解

【分析】直接利用函数的导函数的图像，进一步画出函数的图像，进一步利用函数的性质的应用求出函数 的单调区间，函数的极值和端点值可得结论 【详解】解：由f（x）的导函数 的图像，画出 的图像，如图所示， 对于①， 在区间 上单调递减，所以①错误， 对于②， 有1 个极大值点，2 个极小值点，所以②错误， 对于③，根据函数的极值和端点值可知 的值域为 ，所以③正确， 对于④，如果x∈[t，5]时，由图像可知，当f（x）的最小值是1 道大题，共45 分） 16. 已知函数 在x＝1 处取得极值． （1）求a 的值； （2）求f（x）在区间[－4，4]上的最大值和最小值． 【答案】（1）9；（2）最大值为76，最小值为－5. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用 在 处取得极值， ，求解 即可． （2）求出 ．判断导函数的符号，判断函数的单调性，然后求解极值，求解端点值， 推出最值即可． 【详解】解：（1）因为 【详解】解：（1）因为 ， 所以 ． 因为 在x＝1 处取得极值， 所以 ，即 ，解得 经检验，符合题意． （2）由（1）得 ． 所以 ． 令 ，得 或 ； 令 ，得 ． 所以 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ． 所以 的极大值为 ，极小值为 又 ， ， 所以 所以 的最大值为76，最小值为 17. 某学校学生会有10 名志愿者，其中高一2 人，高二3 人，高三5 人，现从这10