天津市东丽区2021-2022学年高二下学期期末质量监测数学试题含解析

东丽区2021-2022 学年度第二学期高二数学期末质量监测试题 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1 页至第2 页，第Ⅱ卷 第3 页至第8 页.试卷满分120 分.考试时间100 分钟.考试结束后，将答题卡和答题纸一并交回. 第Ⅰ卷（选择题 共 45 分） 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必先将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号用蓝、黑色墨 水的钢笔（签字笔）或圆珠笔填在“答题卡”上；用2B 铅笔将考生号所对应的填涂信息点填好. 2．答案答在试卷上无效.答题时，请注意题号顺序.每小题选出答案后，用2B 铅笔把“答题卡” 上对应题目的答案标号的信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信 息点. 一．选择题（本大题共9 小题，每小题5 分，共45 分．每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的） 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接进行交集运算即可. 【详解】因为 ，所以 . 故选：A. 2. 在 的展开式中， 的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式计算即可. 【详解】 展开式的 通项为 ，取 ， ，系数为 . 故选：A. 3. 已知 ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数性质与0 或1 比较后可得 【详解】由指数函数性质 ， ， ，所以 ． 故选：D． 4. 已知 ，则“ ”是“ "的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法求出 ，然后利用充分条件与必要条件的定义进行判断即 可． 【详解】解：因为 ，即 ，解得 或 ， 因为 ， 所以“ ”是“ ”的充分不必要条件． 故选： ． 5. 命题“ ， ”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由全称命题的否定可直接得到结果. 【详解】由全称命题的否定知原命题的否定为： ， . 故选：D. 6. 一箱产品中有8 件正品和2 件次品．每次从中随机抽取1 件进行检测，抽出的产品不再放回．已知前两 次检测的产品均是正品，则第三次检测的产品是正品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，剩下的8 件中有6 件正品，由古典概型的概率公式求解即可． 【详解】解：已知有8 件正品和2 件次品，每次从中随机抽取1 件进行检测，抽出的产品不再放回， 因为前两次检测的产品均是正品，说明剩下的8 件中有6 件正品， 所以第三次检测的产品是正品的概率为 ． 故选： ． 7. 某校开展“迎奥运阳光体育”活动，共设踢毽、跳绳、拔河、推火车、多人多足五个集体比赛项目，各比 赛项目逐一进行．为了增强比赛的趣味性，在安排比赛顺序时，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一 场，则不同的安排方案种数为（ ） A. 3 B. 18 C. 21 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】 “ ” 根据题意，分析可得：多人多足有3 种安排方法，再将踢毽、跳绳、推火车安排在剩下的3 个 位置，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场， “ ” 则多人多足有3 种安排方法， 将踢毽、跳绳、推火车安排在剩下的3 个位置，有 种安排方法， 则有 种安排方法． 故选：B． 8. 在下列4 组样本数据的散点图中，样本相关系数最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用散点图变化趋势，判断相关系数的正负，由散点的集中程度确定大小，即可得到答案． 【详解】解：由散点图变化趋势可知， ， ， ， ， 又图1 中的散点更为集中，更接近于一条直线， 所以 ， 故样本相关系数最大的是 ． 故选： ． 9. 已知函数f（x）的定义域为[－1，5]，其部分自变量与函数值的对应情况如下表： x －1 0 2 4 5 f（x） 3 1 2.5 1 3 f（x）的导函数 的图象如图所示．给出下列四个结论： ①f（x）在区间[－1，0]上单调递增； ②f（x）有2 个极大值点； ③f（x）的值域为[1，3]； ④如果x∈[t，5]时，f（x）的最小值是1，那么t 的最大值为4． 其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ③ B. ①④ C. ②③ D. ③④ 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用函数的导函数的图像，进一步画出函数的图像，进一步利用函数的性质的应用求出函数 的单调区间，函数的极值和端点值可得结论 【详解】解：由f（x）的导函数 的图像，画出 的图像，如图所示， 对于①， 在区间 上单调递减，所以①错误， 对于②， 有1 个极大值点，2 个极小值点，所以②错误， 对于③，根据函数的极值和端点值可知 的值域为 ，所以③正确， 对于④，如果x∈[t，5]时，由图像可知，当f（x）的最小值是1 时， t 的最大值为4，所以④正确， 故选：D 第Ⅱ卷（非选择题 共 75 分） 注意事项： 答案答在试卷上无效.用蓝、黑色墨水的钢笔（签字笔）或圆珠笔直接在第Ⅱ卷 “答题纸”上做 答. 二．填空题（每题5 分，共30 分） 10. 已知 的展开式的二项式系数之和为16，则 _____________；展开式的常数项是___________ __． 【答案】 ①. 4 . ②16 【解析】 【分析】根据二项展开式的 二项式系数之和为16，得 ， ，再求二项展开式的常数项的值. 【详解】由题知， ， . 所以 展开式的常数项是 . 故答案为： ； . 11. 从4 名男生和2 名女生中任选3 人参加演讲比赛，则所选3 人中至少有1 名女生的概率是____________ _． 【答案】 【解析】 【分析】求出任选3 人的方法总数，再求得至少有1 名女生的方法数后可计算概率． 【详解】任选3 人的方法数为 ，其中至少有1 名女生的方法数为 ． 所以概率为 ． 故答案为： ． 12. 曲线 在点 处的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用切线方程的公式： ，代入切点求解即可. 【详解】 ， ， 曲线 在点 处的切线方程为： ，化简得 【点睛】本题考查切线方程的公式，属于简单题. 13. 已知随机变量 ， ，则 ________________． 【答案】0.16 【解析】 【分析】由正态分布的对称性知： ，代入即可得出答案. 【详解】随机变量 ， ，由正态分布的对称性知： . 故答案为：0.16. 14. 数列{ }是公比为2 的等比数列，其前n 项和为 ．若 ，则 =_______； =_______ 【答案】 ①. . ② 【解析】 【详解】 ， ， ，故答案为 ， . 15. 已知正数a，b 满足 ，则 的最小值是___________. 【答案】3 【解析】 【分析】利用“1 的代换”将 转化为 ，最后利用基本不等式求得最小值即可. 【详解】解：因为正数a，b 满足 ， 则 ， 当且仅当 且 即 时取等号， 此时 的最小值3. 故答案为：3. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定 ——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 三．解答题（共5 道大题，共45 分） 16. 已知函数 在x＝1 处取得极值． （1）求a 的值； （2）求f（x）在区间[－4，4]上的最大值和最小值． 【答案】（1）9；（2）最大值为76，最小值为－5. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用 在 处取得极值， ，求解 即可． （2）求出 ．判断导函数的符号，判断函数的单调性，然后求解极值，求解端点值， 推出最值即可． 【详解】解：（1）因为 ， 所以 ． 因为 在x＝1 处取得极值， 所以 ，即 ，解得 经检验，符合题意． （2）由（1）得 ． 所以 ． 令 ，得 或 ； 令 ，得 ． 所以 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ． 所以 的极大值为 ，极小值为 又 ， ， 所以 所以 的最大值为76，最小值为 17. 某学校学生会有10 名志愿者，其中高一2 人，高二3 人，高三5 人，现从这10 人中任意选取3 人参加 一个冬奥会志愿活动. （1）求选取的3 个人来自同一年级的概率； （2）设 表示选取的志愿者是高二学生的人数，求 的分布列和期望. 【答案】（1） ；（2）分布列见解析，期望为 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解即可； （2）先求出随机变量 的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解 即可． 【详解】解：（1）由题意可知，选取的3 个人来自同一年级的概率为 ； （2）由题意可知， 的可能取值为0，1，2，3， 则 ； ； ； ； 所以 的分布列为： 0 1 2 3 故 ． 18. 教育部决定自2020 年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称强基计划）．强基计划主要选 拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的 学生，强基计划的校考由试点高校 自主命题.已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目，且每门科目是否通过相互独立．若某考生 报考甲大学，每门科目通过的概率分别为 ， ， ，该考生报考乙大学，每门科目通过的概率均为 ． （1）设A 为事件“该考生报考乙大学在笔试环节至少通过二门科目”求事件A 发生的概率； （2）设X 为该考生通过甲大学的笔试环节科目数，求随机变量X 的分布列和数学期望． 【答案】（1） ；（2）分布列见解析，期望为 ． 【解析】 【分析】（1）至少通过二门科目即通过二门或通过三门，由此计算概率； （2） 的可能值为 ，分别计算概率后可得分布列，由期望公式计算期望． 【详解】（1）由题意 ； （2） 的可能值为 ， ， ． ， ， 的分布列为 0 1 2 3 ． 19. 已知等比数列 满足 ， ． （1）求数列 的通项公式； （2）求数列 的前n 项和 ； （3） 求数列 的前n 项和 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件求解出等比数列的公比 ，则 的通项公式可求； （2）根据等比数列的前 项和公式求解出 ； （3）由错位相减法求解即可 【小问1 详解】 设等比数列的公比为 ， 因为 ， 所以 ， 所以 ， 又因为 ， 所以 ； 【小问2 详解】 因为 ， 所以 ； 【小问3 详解】 ， ， 两式相减得： 所以 . 20. 已知函数 ． （1）若 ，求 的极值 （2）讨论 的单调区间； （3）对 ，都有 恒成立，求 的取值范围． 【答案】（1）1 （2）详解见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，从而计算得 ，判断单调性与极值；（2）分类讨论 与 两种情况；（3 ）将条件转化为 ，分类讨论 与 两种情况下的最小值. 【小问1 详解】 已知 ， 得 ， ，得 0 ↘ 极小值 ↗ 的极小值为 【小问2 详解】 ， ． 当 时， ，所以 在 上单调递增； 当 时，令 ，得 ；令 ，得 ， 所以 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ． 综上，当 时， 的单调递增区间是 ； 当 时， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ． 【小问3 详解】 对 ，都有 恒成立 则 ，由（2）知 ． 因为 ，所以 ． 当 时， ．所以 在区间 上单调递增， 于是 ，所以 符合题意． 当 时，令 ，得 ；令 ，得 ， 所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减． 所以 ，解得 ． 综上， 的取值范围是 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导 数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解 决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．