青海省西宁市城西区青海师范大学附属实验中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题

青海师范大学附属实验中学2022-2023 学年度第一学期教学质量检测 高二数学 一、单选题：本题12 小题，共60 分。 1．函数 在区间 上的平均变化率是（ ） A． B． C． D． 2．向一个半球形的水池注水时，向池子注水速度不变（即单位时间内注入水量相同）， 若池子中水的高度是关于时间的函数 ，则函数 的图象可能是（ ） A． B． C． D． 3．已知函数 ，且 ，则实数 的值为（ ） A． B． C．2 D． 4．下列函数求导运算正确的个数为（ ） ① ；② ；③ ；④ . A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知函数 ，则 A． B． C． D． 6．已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 7．曲线 在点 处的切线方程为（ ） A．x+y+1＝0 B．x+y 1 ﹣＝0 C．x﹣y+1＝0 D．x﹣y 1 ﹣＝0 8．已知函数 ，则 是 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 9．在抛物线 第一象限内一点 处的切线与 轴交点横坐标记为 ，其 中 ，已知 ， 为 的前 项和，若 恒成立，则 的最小值为 （ ） A．16 B．32 C．64 D．128 10．已知函数 ，且 ，则 （ ） A．0 B．1 C．2 D．4 11．函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 12．若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范 围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题5 小题，共20 分。 13．曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为______. 14．已知函数 的导函数为 ，且 ，则 ______． 15．已知函数 ，则 ______． 16．函数 （ ）在 处有极值，则曲线 在原点处的切线 方程是__________． 三、解答题：本题6 小题，共70 分。 17．求下列函数的导数： （1） ； （2） ． 18．设函数 ，已知 ，且曲线 在点 处的切线与直线 垂直. （1）判断函数 在区间 上的单调性； （2）若不等式 在 上恒成立，求m 的取值范围. 19．已知函数 ． (1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程； (2)判断函数 的极值点个数，并说明理由． 20．已知函数 在 和 时都取得极值. （1）求 、 的值； （2）若函数 在区间 上不是单调函数，其中 ，求的取值范围. 21．已知函数 ， . （1）求函数 的单调区间； （2）若函数 的图象是 的图象的切线，求 的最大值. 22．已知曲线 ． （1）求曲线在 处的切线方程； （2）求曲线过点 的切线方程． 参考答案 1．A 根据平均变化率的定义计算． 由题意平均变化率为 ． 故选：A． 2．B 根据几何体的形状，判断水面高度随时间升高的快慢，判断可得出合适的选项. 几何体为半球形，上面宽下面窄，相同的时间内注水量相同，所以高度增加得越来越慢， 即图象越来越平缓， 故选：B. 3．C 根据函数在某一点处的导数的定义，可得结果. 由 ，即 因为 ，所以 则 ，所以 故选：C 本题考查函数在某点处的导数求参数，属基础题. 4．A 根据导数的运算法则和导数的基本公式计算后即可判断． 解：① ，故错误；② ，故正确； ③ ，故错误；④ ，故错误. 所以求导运算正确的个数为1. 故选：A. 5．B ，故选 . 6．B 根据基本初等函数的导数公式及求导法则求导函数即可. . 故选：B. 7．C 根据导数的几何意义，先求出函数在 的导数值f′（0）＝1，即是该点处切线的斜率， 利用点斜式即可得出切线方程. ∵f（x）＝x2+x+1， ∴f′（x）＝2x+1， ∴根据导数的几何意义可得曲线f（x）＝x2+x+1 在（0，1）处的切线的斜率为f′（0）＝1 ∴曲线f（x）＝x2+x+1 在（0，1）处的切线方程为y 1 ﹣＝f′（0）（x 0 ﹣）即x﹣y+1＝0. 故选：C. 本题考查了导数的几何意义，考查了直线方程，属于基础题. 8．C 对函数 进行求导，可得出函数的单调性，再得出函数的奇偶性，利用充分必 要条件的定义判断可得选项. 由题意可得： 恒成立，所以函数 在 上递增， 又 ，所以函数 是奇函数， 当 时，即 ，所以 ，即 ； 当 时，即 ，所以 ，即 ， 所以“ ”是“ ”的充要条件. 故选：C. 9．D 根据导数的几何意义求出切线方程，即可得到 与 的关系，从而判断出 是以 为 公比的等比数列，再根据等比数列前 项和公式求出 ，得到 的范围,即可求出. 因为 ， ， ，所以切线： 令 ， ，∴ ， ，则 ，有 ． ∴ 是以 为公比的等比数列, ，而 ， ．∴ 恒成立 ,即 的最小值为128. 故选：D． 10．C 对函数 求导，然后代入 ，即可解出参数 . 因为 ， 所以 ， 所以 ， 又 ， 所以 ， 故选：C. 11．A 根据偶次根式被开方数非负、对数真数大于零列出关于 的不等式组，解出即可得出函数 的定义域. 由题意可得 ，解得 ， 因此，函数 的定义域为 . 故选A. 本题考查函数定义域的求解，解题时要熟悉一些求函数定义域的基本原则，考查运算求解 能力，属于基础题. 12．C 依题意得 在定义域内单调递增，得 ； 在定义域内单调递增，利用导数求得 ，又因为 ，即可求得结果． 由题意可知函数 在定义域内单调递增， ∴ ，得 ； 函数 在定义域内单调递增， 则 在 上恒成立， ∴当 时， 恒成立，而当 时， ， ∴ ，即 ． 又因为 ，解得 ． 综上，实数 的取值范围是 ． 故选：C 关键点点睛：本题的解题关键是两段函数在相应的自变量的范围内均为增函数，同时要满 足 ． 13． 利用导数的几何意义求出切线方程，再求出切线与坐标轴的交点，即可计算作答. 依题意， ，则曲线 在点 处切线斜率 ， 因此曲线 在点 处的切线方程为 ， 切线 交 轴于点 ，交 轴于点 ， 所以所求三角形面积为 . 故答案为： 14．1 根据在某点处的导数的定义，可求得答案. 由题意可得 , 故答案为：1 15． 先求导，再代入计算即可． 解：函数 ，则 ，则 ， 故答案为： 本题考查了基本导数公式和导数值，属于基础题． 16． ,则曲线 在原点处 的切线方程是 . 故答案为： 17．（1） ；（2） . 根据初等函数求导公式和导数的四则运算即可得到答案. （1） ． （2） ． 18．（1）函数 在区间 上单调递增；（2） 或 . （1）计算出函数 的导数，求出函数在 处的斜率，再利用 ，从而求出 的值，再利用导数研究 的单调性，从而得出 在给定区间的单调性； （2）分别求出函数 在 上的最小值与最大值，从而得出 ，再利用恒成立 思想可得出m 的取值范围. （1）因为 ， 所以 ，所以 ， 又因为 在点 处的切线与直线 垂直， 所以 ，又 ，即 ， 所以 ，解得 ； 所以 ，则 （ ）， 因为 在 单调递增，当 时， ， 所以 在 上单调递增.即函数 在区间 上单调递增； （2）由（1）知， ， ， 因为 在 单调递增，且 ， ， 所以存在 使得 ，当 时， ，所以 在 上单调 递减， 当 时， ，所以 在 上单调递增， 由 可得 ，所以 ， 因为 ，且 在 上单调递减，所以 ， 又因为当 时， ， 所以 ，所以 ，所以 ， 因为当 时， ，所以 ，解得 或 . 所以m 的取值范围 或 . 本题主要考查函数综合、导数的计算和导数在研究函数中的应用，关键在于得出导函数取 得正负的区间，得出函数的单调性，属于难题. 19．(1) ； (2)当 时， 无极值点；当 且 时， 有2 个极值点. （1）代入 ，求出 ，再求导得 ，由点斜式写出切线方程即可； （2）直接求导分解因式，分 、 和 讨论函数单调性，即可求得极值点情况. （1） 当 时， ， ， ， ， 则曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ； （2） 易得函数定义域为R， ， 当 时，令 ，解得 或 ，显然 ，则当 或 时， ， 当 时， ，所以 在 上单调递增，在 上 单调递减，故 有2 个极值点； 当 时， ，所以 在R 上单调递增，故此时 无极值点； 当 时，令 ，解得 或 ，显然 ，则当 或 时， ， 当 时， ，所以 在 上单调递增，在 上 单调递减，故 有2 个极值点； 综上可得，当 时， 无极值点；当 且 时， 有2 个极值点. 20．（1） ， ；（2） . （1）由题意可知， 和是方程 的两根，利用韦达定理可求得 、 的值； （2）由题意可知函数 在区间 上存在极值点，由此可得出关于实数的不 等式组，进而可解得正实数的取值范围. （1） ， ， 由题意可知 和是方程 的两根，由韦达定理得 ，解得 ， 此时 . 当 或 时， ；当 时， . 所以，函数 在 和 时都取得极值. 因此， ， ； （2）由（1）知，函数 的两个极值点分别为 和 ， 由于函数 在区间 上不是单调函数，则函数 在区间 上存在 极值点， 可得 或 ，解得 . 因此，实数的取值范围是 . 本题考查利用函数的极值点求参数，同时也考查了利用函数在区间上的单调性求参数，考 查计算能力，属于中等题. 21．（1）函数 在 上单调递增，在 上单调递减（2）0 （1）先求出 ，再解 ， 即可得解； （2）先设切点坐标，再由切线方程得出 关于 的函数关系，再构造函数求最值即可 得解. 解：（1）因为 ， ， 由 ， ， 所以，函数 在 上单调递增，在 上单调递减； （2）设切点为 ， ， 所以，依题意可得 ， 所以 ， ， 则 ， 令 ， ， ∴当 时， ；当 时， ， 即函数 在 为增函数，在 为减函数， ∴当 时， 有最大值 ， 故 的最大值为0. 本题考查了导数的综合应用，重点考查了运算能力，属基础题. 22．（1） ；（2） 或 ． （1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程； （2）当 为切点时，由（1）可得切线方程；当 不是切点时，设切点为 ，利用导数求得切线的斜率，结合两点的斜率公式，解方程可得 ，进而得到切 线的方程； （1） ， 曲线在 处的斜率 ， 时， ， 曲线在 处的切线方程为 ， 即 ． （2）当 为切点时，由（1）知：切线方程为 ； 当 不是切点时，设过点 的切线与曲线相切于点 ， 则切线的斜率为 ， ，解得： （舍）或 ， 切线方程为 ； 综上所述：所求的切线为 或 ．