相交于P，当M、分别与P、Q 重合时，M+M 有最小值， 即为Q 的长度 方法点拨 1 题型特征： ①一定点 ②动点的运动轨迹为直线 2 模型本质：过定点作定直线的垂线，垂线段最短 【例1】如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝5，＝12，P 为边B 上一动点，PE⊥B 于E， 模型介绍 例题精讲 PF⊥于F，M 为EF 中点，则M 的取值范围是 ≤ M ＜ 故答为： ≤M＜6． 变式训练 【变式1】．如图，三角形B 中，∠B＝90°，＝3，B＝4，P 为直线B 上一动点，连接P， 则线段P 的最小值是 ． 解：作P⊥B 于P， 由垂线段最短可知，此时P 最小， 由勾股定理得，B＝ ＝ ＝5， S△B＝ ××B＝ ×B×P，即 ×3×4＝ ×5×P， 解得，P＝ ， 故答为： ． 【变式2】如图，正方形BD 的边长为4，∠D 的平分线交D 解：过点作E⊥B 于点E，交BD 于点M，过点M 作M⊥B 于点， ∵点M 是∠B 平分线BD 上一动点，ME⊥B，M⊥B，∴M＝ME， ∴M+M＝ME+M＝E， ∵E⊥B，∴E 是点到B 最短的线段，即M+M 的最小值就是线段E 的长度， 在△B 中，B＝6，S△B＝10，又∵ •B•E＝S△B，∴ ×6×E＝10， ∴ E＝ 故答为 ． 8．如图，在直角△B 中，∠B＝90°，D

相交于P，当M、分别与P、Q 重合时，M+M 有最小值， 即为Q 的长度 方法点拨 1 题型特征： ①一定点 ②动点的运动轨迹为直线 2 模型本质：过定点作定直线的垂线，垂线段最短 【例1】如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝5，＝12，P 为边B 上一动点，PE⊥B 于E， 模型介绍 例题精讲 PF⊥于F，M 为EF 中点，则M 的取值范围是 ≤ M ＜ 故答为： ≤M＜6． 变式训练 【变式1】．如图，三角形B 中，∠B＝90°，＝3，B＝4，P 为直线B 上一动点，连接P， 则线段P 的最小值是 ． 解：作P⊥B 于P， 由垂线段最短可知，此时P 最小， 由勾股定理得，B＝ ＝ ＝5， S△B＝ ××B＝ ×B×P，即 ×3×4＝ ×5×P， 解得，P＝ ， 故答为： ． 【变式2】如图，正方形BD 的边长为4，∠D 的平分线交D 解：过点作E⊥B 于点E，交BD 于点M，过点M 作M⊥B 于点， ∵点M 是∠B 平分线BD 上一动点，ME⊥B，M⊥B，∴M＝ME， ∴M+M＝ME+M＝E， ∵E⊥B，∴E 是点到B 最短的线段，即M+M 的最小值就是线段E 的长度， 在△B 中，B＝6，S△B＝10，又∵ •B•E＝S△B，∴ ×6×E＝10， ∴ E＝ 故答为 ． 8．如图，在直角△B 中，∠B＝90°，D

相交于P，当M、分别与P、Q 重合时，M+M 有最小值， 即为Q 的长度 R 方法点拨 1 题型特征： ①一定点 ②动点的运动轨迹为直线 R2 模型本质：过定点作定直线的垂线，垂线段最短 【例1】如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝5，＝12，P 为边B 上一动点，PE⊥B 于E， 模型介绍 例题精讲 PF⊥于F，M 为EF 中点，则M 的取值范围是 ．

相交于P，当M、分别与P、Q 重合时，M+M 有最小值， 即为Q 的长度 R 方法点拨 1 题型特征： ①一定点 ②动点的运动轨迹为直线 R2 模型本质：过定点作定直线的垂线，垂线段最短 【例1】如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝5，＝12，P 为边B 上一动点，PE⊥B 于E， 模型介绍 例题精讲 PF⊥于F，M 为EF 中点，则M 的取值范围是 ．

专题05 最短路径的三种考法 类型一、坐标系的最值问题（和最小，差最大问题） 例．在平面直角坐标系中，B(2，2 )，以B 为一边作等边△B（点在x 轴正半轴上）． （1）若点是y 轴上任意一点，连接，在直线上方以为一边作等边△D． ①如图1，当点D 落在第二象限时，连接BD，求证：B BD ⊥ ； ②若△BD 是等腰三角形，求点的坐标； （2）如图2，若FB 是边上的中线，点M 是FB ，∴M+M＝2 ；即M+M 的最小值为2 ． 类型二、几何图形中的最短路径问题 例1．如图，已知 ， 平分 ， ， 在 上， 在 上， 在 上．当 取最小值时，此时 的度数为（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】作点 关于 的对称点 ，作点 关于 的对称点 ，连接 、 、 、 、 ，则由轴对称知识可知 ，所以依据垂线段最短知： 当 在一条直线上，且 时， 取最小值，根据直角三 ， ， ， ， ∴ ， ， ， ， 当 在一条直线上，且 时， 取最小值， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选：D 【点睛】本题考查了最短路径问题，等腰三角形等边对等角，直角三角形的两锐角互余， 三角形外角的性质，垂线段最短，通过作对称点化折为直是解题的关键 例2．如图，在三角形 中， ， ， 于D，M，分别是线 段 ， 上的动点， ，当 最小时， ． 【答】

专题173 最短路径问题专项训练（30 道） 【人版】 考卷信息： 本套训练卷共30 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了平面直角坐标系中 的规律问题所有类型！ 一．选择题（共12 小题） 1．（2022 春•五华区期末）如图，正方体的棱长为2m，点B 为一条棱的中点．蚂蚁在正 方体表面爬行，从点爬到点B 的最短路程是（ ） ．❑ √10m B．4m ．❑ √17m 最 短，根据勾股定理可求出最短路径长， 【解答】解：如图， 它运动的最短路程B¿ ❑ √(2+2) 2+( 2 2 ) 2=❑ √17（m）． 故选：． 2．（2022 春•碑林区校级期末）如图，圆柱的底面周长为12m，B 是底面圆的直径，在圆 柱表面的高B 上有一点D，且B＝10m，D＝2m．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表 面爬行到点D 的最短路程是（ ）m． 1 ．14 √6 2+8 2=¿10（m）， 即蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点D 的最短距离是10m． 故选：． 3．（2022 春•洛阳期中）如图，圆柱形玻璃杯，高为12m，底面周长为18m．在杯内离杯 底4m 的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4m 与蜂蜜相对的点处， 则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（ ）m． ．15 B．❑ √97 ．12 D．18 【分析】将圆柱沿

专题05 最短路径的三种考法 类型一、坐标系的最值问题（和最小，差最大问题） 例．在平面直角坐标系中，B(2，2 )，以B 为一边作等边△B（点在x 轴正半轴上）． （1）若点是y 轴上任意一点，连接，在直线上方以为一边作等边△D． ①如图1，当点D 落在第二象限时，连接BD，求证：B BD ⊥ ； ②若△BD 是等腰三角形，求点的坐标； （2）如图2，若FB 是边上的中线，点M 是FB 是等腰三角形，求点的坐标； （2）如图2，若FB 是边上的中线，点M 是FB 一动点，点是B 一动点，且M+M 的值最小， 请在图2 中画出点M、的位置，并求出M+M 的最小值． 类型二、几何图形中的最短路径问题 例1．如图，已知 ， 平分 ， ， 在 上， 在 上， 在 上．当 取最小值时，此时 的度数为（ ） ． B． ． D． 例2．如图，在三角形 中， ， ， 于D，M，分别是线 【变式训练4】如图，在Rt B △中，∠B=90°，∠B=60°，B=4，点D 是B 上一动点，以BD 为边 在B 的右侧作等边△BDE，F 是DE 的中点，连结F，F，则F+F 的最小值是 类型三、最短路径问题的实际应用 例1 如图1，直线 表示一条河的两岸，且 现在要在这条河上建一座桥，桥的长度 等于河宽度且桥与河岸垂直．使村庄 经桥过河到村庄 现在由小明、小红两位同学在图 2 设计两种：

专题173 最短路径问题专项训练（30 道） 【人版】 考卷信息： 本套训练卷共30 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了平面直角坐标系中 的规律问题所有类型！ 一．选择题（共12 小题） 1．（2022 春•五华区期末）如图，正方体的棱长为2m，点B 为一条棱的中点．蚂蚁在正 方体表面爬行，从点爬到点B 的最短路程是（ ） ．❑ √10m B．4m ．❑ √17m 上有一点D，且B＝10m，D＝2m．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表 面爬行到点D 的最短路程是（ ）m． ．14 B．12 ．10 D．8 3．（2022 春•洛阳期中）如图，圆柱形玻璃杯，高为12m，底面周长为18m．在杯内离杯 底4m 的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4m 与蜂蜜相对的点处， 则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（ ）m． ．15 B．❑ √97 ．12 D．18 1 点，如图所 示，若每根柱子的底面周长均为2 米，高均为3 米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度 为（ ） ．❑ √7米 B．❑ √11米 ．❑ √13米 D．5 米 5．（2022 秋•沈阳期末）如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，点B 离点的距离为1， 一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点B，需要爬行的最短路程是（ ） ．❑ √21 B．5 ．❑ √29 D．❑ √37 6．（2022

◎结论1：蚂蚁沿着长方体的表面爬行，从M 到的最短路径： MN min＝❑ √最长边 2+( 最短边＋较短边) 2 长方体表面走最短路径：化曲为平：展平面、两点连、用勾股 示意图 展平面 用勾股 M²=（＋b）²＋²＝²＋ b²＋²＋2b M²＝（＋）²＋b²＝²＋b² ＋²＋2 M²＝（＋b）²＋²＝²＋b² ＋²＋2b M 到的最短距 离： ❑ √（最短边＋较短边）²＋最长边² ◎结论2：蚂蚁沿着圆柱体的表面爬行，从到B 的最短路径： ①同侧全周长＝ ❑ √(2πr ) 2+h 2 ②异侧半周长＝ ❑ √(πr ) 2+h 2 圆柱表面积最短路径：化曲为平：展平面、两点连、用勾股 同侧全周长 底面圆的周长2πR 异侧半周长 底面圆的周长πR ◎结论3：蚂蚁吃蜂蜜问题∶求蚂蚁从沿着外壁爬行再沿着内壁爬行到B 的最短路径 转化为异侧半周长的问题 由图可知蚂蚁爬行的最短路径长为 ´B＝ ❑ √(πr ) 2+h 2 1．（2022·广东·湛江市雷阳实验学校八年级阶段练习）如图，长方形的长为15，宽为10，高为20，点 离点 的 距离为5，蚂蚁如果要沿着长方形的表面从点 爬到点 ，需要爬行的最短距离是（ ） ．35 B． ．25 D． 【答】 【分析】先把长方体展开，然后根据最短路径及勾股定理可求解． 【详

专题02 勾股定理实际应用的三种考法 类型一、最短路径问题 例1．固定在地面上的一个正方体木块（如图①），其棱长为 ，沿其相邻三个面的对 角线（图中虚线）去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面 从点爬行到点B 的最短路程为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据两点之间线段最短，将图②展开，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，正方体上表面的对角线为 ，将图②展开，连接 交 于点 ， 线段 的长度即为蚂蚁爬行的最短路程， 由题意可知： 为等边三角形， 为等腰直角三角形， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵正方体的棱长为 ， ∴ ， ， 在 中， ， 在 中， ， ∴ ； 故选 【点睛】本题考查勾股定理的应用．解题的关键，是将立体图像展开，根据两点之间线段 最短，确定最短路径． 例2．如图，一大楼的外墙面 与地面 垂直，点P 爬到点B，它的最短行程是（ ）米． ． B． ． D． 【答】D 【分析】可将室的墙面 与地面 展开，连接 ，根据两点之间线段最短，利用 勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过P 作 于G，连接 ， （米）， （米）， （米）， （米）， （米） 这只蚂蚁的最短行程应该是 米， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，解题关键是立体图形中的最短距离，通