线段周长面积最大值 内容导航 方法点拨 例题演练 题组 1 ：线段的最大值 例1．如图，抛物线y＝ +mx+与x 轴交于，B 两点，与y 轴交于点，抛物线的对称轴交x 轴于 点D，已知（﹣1，0），（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）线段B 上有一动点P，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ 的最大值． 的最大值． 【解答】解：（1）抛物线y＝﹣ +mx+与x 轴交于，B 两点，与y 轴交于点，（﹣1，0）， （0，2）． ∴ ， 解得： ， 故抛物线解析式为：y＝﹣ x2+ x+2； （2）令y＝0，则﹣ x2+ x+2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4， ∴B（4，0）， 设直线B 的解析式为y＝kx+b， ∴ ，解得 ， ∴直线B 的解析式为y＝﹣ x+2， 设P（m，﹣ m+2）；则Q（m，﹣ m2+2m＝﹣ （m﹣2） 2+2， 此时PQ 的最大值为2． 练11 如图所示，二次函数y＝x2﹣ x+的图象经过点（0，1），B（﹣3， ），点在y 轴上，过 点B 作B⊥x 轴，垂足为点． （1）求直线B 的解析式和二次函数的解析式； （2）点是二次函数图象上一点（点在B 上方），过作P⊥x 轴，垂足为点P，交B 于点M，求M 的最大值； 【解答】解：（1）设直线B 的解析式为：y＝kx+b，

P-PB 最大值模型 一、方法突破： 1．口诀：同侧差最大 2．图形：如图 1 所示，、B 为定点，P 为 l 上一动点，试求 的最大值与最小值． 解析 1：“最大值” ① 两边只差小于第三边， ≤B，当 、B、P 三点共线时，取等号 ② 所以连接 B 并延长与 l 的交点即为所求点 解析 2：“最小值” ① 绝对值具有非负性 ≥0，当 P＝PB 时成立 分别相交于，B 两点，且此抛物线与x 轴的一个交点为，连接，B．已知（0，3），（﹣3，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线对称轴l 上找一点M，使|MB﹣M|的值最大，并求出这个最大值； 【分析】（1）①将（0，3），（﹣3，0）代入y＝ x2+bx+，即可求解； （2）分当点B、、M 三点不共线时、当点B、、M 三点共线时，两种情况分别求解即 可； 【解答】解：（1）①将（0，3），（﹣3，0）代入y＝ 三点不共线时， |MB﹣M|＜B ②当点B、、M 三点共线时， |MB﹣M|＝B ∴当点B、、M 三点共线时，|MB﹣M|取最大值，即为B 的长， 如图1，过点B 作BE⊥x 轴于点E，在Rt△BE 中，由勾股定理得B＝ ＝ ， ∴|MB﹣M|取最大值为 ； 三、中考真题对决： 1 已知抛物线y1＝（x﹣2）2﹣4（≠0）经过点（0，﹣3），顶点为M，将抛物线y1向上平 移b

如图，已知抛物线 经过 ， 两点，与 轴的另一个交点为 ． （1）求该抛物线的表达式； （2）点 为该抛物线上一动点（与点 、 不重合），设点 的横坐标为m．当点 在 直线 的下方运动时，求 的面积的最大值． x y A B C O P 【分析】 （1） ， （2）取B 两点之间的水平距离为水平宽，过点P 作PQ⊥x 轴交直线B 于点Q，则PQ 即为 铅垂高． Q P O 根据B、两点坐标得直线B 解析式：y=x+1， 设P 点坐标为（m，m²+6m+5），则点Q（m，m+1）， 得PQ=-m²-5m-4， 考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积就最大． 当 时，△BP 面积最大，最大值为 ． 【小结】选两个定点作水平宽，设另外一个动点坐标来表示铅垂高． 例二、 在平面直角坐标系中，将二次函数 的图像向右平移1 个单位，再向下平移2 个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与 的左侧）， ，经过点 的一次函数 的图像与 轴正半轴交于点 ，且与抛物线 的另一个交点为 ， 的面积为5． （1）求抛物线和一次函数的解析式； （2）抛物线上的动点 在一次函数的图像下方，求 面积的最大值，并求出此时点 的坐标． E D C B A y x 【分析】 （1）抛物线解析式： ； 一次函数解析式： ． （2）显然，当△E 面积最大时，点E 并不在之间． 已知（-1

题型03 “奇函数+常函数”的最大值+最小值及 f(a)+f(-a)解题技巧 技法01 “奇函数+常函数”的最大值+最小值解题技巧 知识迁移 在定义域内，若F (x )=f (x )+ A ，其中f (x ) 为奇函数，A 为常数，则最大值M ，最小值m 有 M +m=2 A 即M +m=2倍常数 （1）与指数函数相关的奇函数和偶函数 f ( x)=ax+a−x ，（ ，且 ）为偶函数， ）为其定义域上的奇函数 和 ，（ ，且 ）为其定义域上的奇函数 技法01 “奇函数+常函数”的最大值+最小值解题技巧 技法02 “奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)解题技巧 在模拟考试及高考考试中，会遇到“奇函数+常函数”类型求解，如能掌握相关本质结论和两类指对函数 的奇偶性，则最大值+最小值可秒解. 为偶函数 （2）与对数函数相关的奇函数和偶函数 ，（ 且 ）为奇函数， ，（ ，（ 且 ）为奇函数 例1-1．（2023 上·江苏·高三模拟）已知 分别是函数 + +1 的最大值、最小值，则 M +m=2 倍常数=2 例1-2．．（2023 上·江苏镇江·高三统考开学考试）已知函数 ， 的最大值为M，最小值为m，则 . 【法一】M +m=2 倍常数=14 【法二】M +m=2f (0)=14 例1-3．（2023 上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）函数

题型03 “奇函数+常函数”的最大值+最小值及 f(a)+f(-a)解题技巧 技法01 “奇函数+常函数”的最大值+最小值解题技巧 知识迁移 在定义域内，若F (x )=f (x )+ A ，其中f (x ) 为奇函数，A 为常数，则最大值M ，最小值m 有 M +m=2 A 即M +m=2倍常数 （1）与指数函数相关的奇函数和偶函数 f ( x)=ax+a−x ，（ ，且 ）为偶函数， ）为其定义域上的奇函数 和 ，（ ，且 ）为其定义域上的奇函数 技法01 “奇函数+常函数”的最大值+最小值解题技巧 技法02 “奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)解题技巧 在模拟考试及高考考试中，会遇到“奇函数+常函数”类型求解，如能掌握相关本质结论和两类指对函数 的奇偶性，则最大值+最小值可秒解. 为偶函数 （2）与对数函数相关的奇函数和偶函数 ，（ 且 ）为奇函数， ，（ ，（ 且 ）为奇函数 例1-1．（2023 上·江苏·高三模拟）已知 分别是函数 + +1 的最大值、最小值，则 M +m=2 倍常数=2 例1-2．．（2023 上·江苏镇江·高三统考开学考试）已知函数 ， 的最大值为M，最小值为m，则 . 【法一】M +m=2 倍常数=14 【法二】M +m=2f (0)=14 例1-3．（2023 上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）函数

， ． （1）求 的值（用含 的代数式表示）； （2）若二次函数 在 时， 的最大值为1，求 的值； （3 ）将线段 向右平移2 个单位得到线段 ．若线段 与抛物线 仅有一个交点，求 的取值范围． 【分析】（1）把 ， 代入抛物线的解析式，构建方程组，可得结论． （2）由题意， 或 时， 取得最大值1，由此构建方程求解即可． （3）把问题转化为不等式组，可得结论． 【解答】解：（1） 二次函数 ， ，在 时， 的最大值为1， 时， 或 时， ， 或 ， 解得 （舍弃）或 ． ． （3） 线段 向右平移2 个单位得到线段 ， ， ． 线段 与抛物线 仅有一个交点， ， 解得， ， ． 3．（2021•嘉兴）已知二次函数 ． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）当 时，函数的最大值和最小值分别为多少？ （3）当 时，函数的最大值为 ，最小值为 ，若 ，求的值． （2）根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得最大值和最小值； （3）分三种情况讨论，根据二次函数的性质得到最大值 和最小值 ，进而根据 得到关于的方程，解方程即可． 【解答】解：（1） ， 顶点坐标为 ； （2） ， 抛物线开口向下， 顶点坐标为 ， 当 时， ， 当 时， 随着 的增大而增大， 当 时， ， 当 时， 随着 的增大而减小， 当 时， ． 当 时，函数的最大值为4，最小值为0；

外，已知B＝2，B＝4，△D 是等边三角形， 则 的面积的最大值为 解：以B 为边作等边△BM，连接DM． ∵∠D＝∠MB＝60°，∴∠DM＝∠B， ∵D＝，M＝B∴△DM≌△B（SS），∴DM＝B＝2 为定值， 即点D 在以M 为圆心，半径为2 的圆上运动， 当点D 运动至B 的中垂线与圆的交点时， B 边上的高取最大值为2 +2，此时面积为4 +4． 例题精讲 变式训练 变式训练 【变式1-1】．如图，线段B 为⊙的直径，点在B 的延长线上，B＝4，B＝2，点P 是⊙上 一动点，连接P，以P 为斜边在P 的上方作Rt△PD，且使∠DP＝60°，连接D，则D 长 的最大值为（ ） ． B．2 ．2 D．4 解：如图，作△E，使得∠E＝90°，∠E＝60°，连接P，则 ＝2E，E＝2 ，∠P＝∠ED， ∵∠DP＝90°，∠DP＝60°， ∴P＝2D， ∴ ＝ ＝2 ∴△P∽△ED， ∴ ＝ ＝2， 即 ED＝ P＝1（ 定长 ）， ∵点 E 是定点，DE 是定长， ∴点D 在半径为1 的⊙E 上， ∵D⩽E+DE， ∴D≤ +1， ∴D 的最大值为 +1， 故选：． 【变式1-2】．如图，已知正方形BD 的边长为4，以点为圆心，2 为半径作圆，P 是⊙上 的任意一点，将点P 绕点D 按逆时针方向旋转90°，得到点Q，连接BQ，则BQ 的最大

外，已知B＝2，B＝4，△D 是等边三角形， 则 的面积的最大值为 解：以B 为边作等边△BM，连接DM． ∵∠D＝∠MB＝60°，∴∠DM＝∠B， ∵D＝，M＝B∴△DM≌△B（SS），∴DM＝B＝2 为定值， 即点D 在以M 为圆心，半径为2 的圆上运动， 当点D 运动至B 的中垂线与圆的交点时， B 边上的高取最大值为2 +2，此时面积为4 +4． 例题精讲 变式训练 变式训练 【变式1-1】．如图，线段B 为⊙的直径，点在B 的延长线上，B＝4，B＝2，点P 是⊙上 一动点，连接P，以P 为斜边在P 的上方作Rt△PD，且使∠DP＝60°，连接D，则D 长 的最大值为（ ） ． B．2 ．2 D．4 解：如图，作△E，使得∠E＝90°，∠E＝60°，连接P，则 ＝2E，E＝2 ，∠P＝∠ED， ∵∠DP＝90°，∠DP＝60°， ∴P＝2D， ∴ ＝ ＝2 ∴△P∽△ED， ∴ ＝ ＝2， 即 ED＝ P＝1（ 定长 ）， ∵点 E 是定点，DE 是定长， ∴点D 在半径为1 的⊙E 上， ∵D⩽E+DE， ∴D≤ +1， ∴D 的最大值为 +1， 故选：． 【变式1-2】．如图，已知正方形BD 的边长为4，以点为圆心，2 为半径作圆，P 是⊙上 的任意一点，将点P 绕点D 按逆时针方向旋转90°，得到点Q，连接BQ，则BQ 的最大

【例1】．如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3 与x 轴交于，B 两点（点在点B 左侧），与y 轴 交于点，连接B，点P 是线段B 上方抛物线上一点，过点P 作PM⊥B 于点M，求线段 PM 的最大值． 解：过P 点作PQ∥y 轴交B 于Q，如图， 当y＝0 时，﹣x2+2x+3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3，则B（3，0），（﹣1，0）， 当x＝0 时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则（0，3）， （t﹣ ）2+ ， 当t＝ 时，PM 的最大值为 ． 变式训练 【变1-1】．如图，抛物线y＝ x2+bx+经过点B（3，0）、（0，﹣2），直线L：y＝﹣ x﹣ 交y 轴于点E，且与抛物线交于、D 两点，P 为抛物线上一动点（不与、D 重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P 在直线L 下方时，过点P 作P∥y 轴交L 于点，求P 的最大值． （3）当点P 在直线L 下方时，过点P 作PM∥x 轴交L 于点M，求PM 的最大值． 解：（1）把B（3，0），（0，﹣2）代入y＝ x2+bx+得， ， ∴ ∴ 抛物线的解析式为：y＝ x2﹣ x 2 ﹣； （2）设P（m， m2﹣ m 2 ﹣）， ∵P∥y 轴，在直线D 上， ∴（m，﹣ m﹣ ）， ∴P＝﹣ m﹣ ﹣ m2+ m+2＝﹣ m2+ m+ ． ∴当m＝ 时，P 的最大值是 ； （3）设P（m，

【例1】．如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3 与x 轴交于，B 两点（点在点B 左侧），与y 轴 交于点，连接B，点P 是线段B 上方抛物线上一点，过点P 作PM⊥B 于点M，求线段 PM 的最大值． 解：过P 点作PQ∥y 轴交B 于Q，如图， 当y＝0 时，﹣x2+2x+3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3，则B（3，0），（﹣1，0）， 当x＝0 时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则（0，3）， （t﹣ ）2+ ， 当t＝ 时，PM 的最大值为 ． 变式训练 【变1-1】．如图，抛物线y＝ x2+bx+经过点B（3，0）、（0，﹣2），直线L：y＝﹣ x﹣ 交y 轴于点E，且与抛物线交于、D 两点，P 为抛物线上一动点（不与、D 重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P 在直线L 下方时，过点P 作P∥y 轴交L 于点，求P 的最大值． （3）当点P 在直线L 下方时，过点P 作PM∥x 轴交L 于点M，求PM 的最大值． 解：（1）把B（3，0），（0，﹣2）代入y＝ x2+bx+得， ， ∴ ∴ 抛物线的解析式为：y＝ x2﹣ x 2 ﹣； （2）设P（m， m2﹣ m 2 ﹣）， ∵P∥y 轴，在直线D 上， ∴（m，﹣ m﹣ ）， ∴P＝﹣ m﹣ ﹣ m2+ m+2＝﹣ m2+ m+ ． ∴当m＝ 时，P 的最大值是 ； （3）设P（m，