20 PA-PB最大值模型

P-PB 最大值模型 一、方法突破： 1．口诀：同侧差最大 2．图形：如图 1 所示，、B 为定点，P 为 l 上一动点，试求 的最大值与最小值． 解析 1：“最大值” ① 两边只差小于第三边， ≤B，当 、B、P 三点共线时，取等号 ② 所以连接 B 并延长与 l 的交点即为所求点 解析 2：“最小值” ① 绝对值具有非负性 ≥0，当 P＝PB 时成立 ② P 为 B 中垂线与 l 的交点． 二、典例精析： 例一：如图，抛物线y＝﹣ x2﹣x+2 的顶点为，与y 轴交于点B． （1）求点、点B 的坐标； （2）若点P 是x 轴上任意一点，求证：P﹣PB≤B； （3）当P﹣PB 最大时，求点P 的坐标． 【分析】（1）把抛物线解析式的一般式写成顶点式，可求顶点坐标，令x＝0，y＝2， 可得B 点坐标； （2）当、B、P 三点共线时，P﹣PB＝B，当三点不共线时，根据“三角形的两边之差 小于第三边”可证结论； （3）通过分析可知，P﹣PB 最大时，、B、P 三点共线，求直线B 解析式，令y＝0， 可得P 点坐标． 【解答】（1）解：抛物线y＝﹣ x2﹣x+2 与y 轴的交于点B， 令x＝0 得y＝2． ∴B（0，2） ∵y＝﹣ x2﹣x+2＝﹣ （x+2）2+3 ∴（﹣2，3） （2）证明：当点P 是B 的延长线与x 轴交点时， P﹣PB＝B． 当点P 在x 轴上又异于B 的延长线与x 轴的交点时， 在点P、、B 构成的三角形中，P﹣PB＜B． 综合上述：P﹣PB≤B （3）解：作直线B 交x 轴于点P，由（2）可知：当P﹣PB 最大时，点P 是所求的点 作⊥P 于． ∵B⊥P， ∴△BP∽△P ∴ 由（1）可知：＝3、＝2、B＝2， ∴P＝4， 故P（4，0）． 注：求出B 所在直线解析式后再求其与x 轴交点P（4，0）等各种方法只要正确也相应 给分． 例二：如图，抛物线y＝ x2+bx+与直线y＝ x+3 分别相交于，B 两点，且此抛物线与x 轴的一个交点为，连接，B．已知（0，3），（﹣3，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线对称轴l 上找一点M，使|MB﹣M|的值最大，并求出这个最大值； 【分析】（1）①将（0，3），（﹣3，0）代入y＝ x2+bx+，即可求解； （2）分当点B、、M 三点不共线时、当点B、、M 三点共线时，两种情况分别求解即 可； 【解答】解：（1）①将（0，3），（﹣3，0）代入y＝ x2+bx+得： ，解得： ， ∴抛物线的解析式是y＝ x2+ x+3； （2）将直线y＝ x+3 表达式与二次函数表达式联立并解得：x＝0 或﹣4， ∵ （0，3），∴B（﹣4，1） ①当点B、、M 三点不共线时， |MB﹣M|＜B ②当点B、、M 三点共线时， |MB﹣M|＝B ∴当点B、、M 三点共线时，|MB﹣M|取最大值，即为B 的长， 如图1，过点B 作BE⊥x 轴于点E，在Rt△BE 中，由勾股定理得B＝ ＝ ， ∴|MB﹣M|取最大值为 ； 三、中考真题对决： 1 已知抛物线y1＝（x﹣2）2﹣4（≠0）经过点（0，﹣3），顶点为M，将抛物线y1向上平 移b 个单位可使平移后得到的抛物线y2经过坐标原点，抛物线y2的顶点为，与x 轴的另 一个交点为B． （1）求的值； （2）①b＝ ，②抛物线y2的函数表达式是 ； （3）①点P 是y 轴上一点，当|P﹣PB|的值最大时，求点P 的坐标； 【分析】（1）将（0，﹣3）代入y1＝（x﹣2）2﹣4（≠0）中，即可求得的值． （2）抛物线y1 经过（0，﹣3），向上平移后经过原点即可（0，0），因此抛物线向上 平移了3 个单位，根据“上加下减”的平移规律即可得出y2的函数表达式． （3）①当P、、B 三点不在同一直线上时，能构成△PB，由三角形三边关系定理不难看 出|P﹣PB|＜B；若P、、B 三点共线时，|P﹣PB|＝B，显然当|P﹣PB|的值最大时， P、、B 三点共线，所以直接求出直线B 的解析式，该直线与y 轴的交点即为符合条件 的P 点； 【解答】解：（1）抛物线y1＝（x﹣2）2﹣4（≠0）经过点（0，﹣3），可得： ﹣3＝（0﹣2）2﹣4， 解得：＝ ． （2）∵经过（0，﹣3）的抛物线y1 向上平移，经过（0，0）得到抛物线y2， ∴向上平移了3 个单位，即b＝3； 故抛物线y2：y2＝ （x﹣2）2﹣4+3＝ （x﹣2）2﹣1． （3）①∵|P﹣PB|≤B，且当且仅当P、、B 共线时取等号， ∴|P﹣PB|的值最大时，P、、B 共线； 由（2）的抛物线解析式知：（2，﹣1）、B（4，0），设直线B 的解析式：y＝kx+b， 有： ， 解得 故直线B：y＝ x﹣2，则P（0，﹣2）． 2．在平面直角坐标系xy 中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如 图，直线y＝ x 与抛物线交于、B 两点，直线l 为y＝﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使|P﹣PB|取得最大值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； 【分析】（1）设函数解析式为y＝（x﹣2）2，将点（4，1）代入，即可求解析式； （2）联立方程求出（1， ），B（4，1），对称轴x＝2，点关于对称轴的对称点 为'（3， ），当点P，'，B 共线时，|P﹣PB|取得最大值；待定系数法求出直线'B 的解 析式y＝ x﹣2，即可求点P； 【解答】解：（1）设函数解析式为y＝（x﹣2）2， 将点（4，1）代入， 得到＝ ， ∴y＝ （x﹣2）2， （2）y＝ （x﹣2）2与y＝ x 的交点（1， ），B（4，1）， 对称轴x＝2， 点关于对称轴的对称点为'（3， ）， 当点P，'，B 共线时，|P﹣PB|取得最大值； 设直线'B 的解析式为y＝kx+b， ∴ ， ∴ ， ∴y＝ x﹣2， ∴P（2，﹣ ）； 3 如图，已知抛物线y＝ x2+bx+与直线y＝ x+3 交于，B 两点，交x 轴于、D 两点，连接、 B，已知（0，3），（﹣3，0）． （1）求此抛物线的解析式； （2）在抛物线对称轴l 上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值； 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据对称性，可得M＝MD，根据解方程组，可得B 点坐标，根据两边之差小于 第三边，可得B，，M 共线，根据勾股定理，可得答； 【解答】解：（1）将（0，3），（﹣3，0）代入函数解析式，得 ， 解得 ， 抛物线的解析式是y＝ x2+ x+3； （2）由抛物线的对称性可知，点D 与点关于对称轴对称， ∴对l 上任意一点有MD＝M， 联立方程组 ， 解得 （不符合题意，舍）， ， ∴B（﹣4，1）， 当点B，，M 共线时，|MB﹣MD|取最大值，即为B 的长， 过点B 作BE⊥x 轴于点E ， 在Rt△BE 中，由勾股定理，得 B＝ ＝ ， |MB﹣MD|取最大值为 ； 4（2021•鄂州）如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，点 为线段 的中点，点 是线段 上一动点（不与点 、 重合）． （1）请直接写出点 、点 、点 的坐标； （2）连接 ，在第一象限内将 沿 翻折得到 ，点 的对应点为点 ．若 ，求线段 的长； （3）在（2）的条件下，设抛物线 的顶点为点 ． ①若点 在 内部（不包括边），求 的取值范围； ②在平面直角坐标系内是否存在点 ，使 最大？若存在，请直接写出点 的坐 标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先求出点 ，点 坐标，由中点坐标公式可求点 坐标； （2 ）过点 作 于 ，由折叠的性质可得 ，可得 ，即可求解； （3）①先求出顶点 的坐标为 ，可得点 是直线 上一点，即可求 解； ②作点 关于直线 的对称点 ，连接 交直线 于点 ，此时 最大，利用待定系数法求出 的解析式，联立方程组可求解． 解：（1） 直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ， 点 ，点 ， 点 是线段 中点， 点 ； （2）过点 作 于 ， 将 沿 翻折得到 ， ， ， ， ， 点 ， ， ， ， 点 ， ， ， 即 的长为1； （3）① ， 顶点 的坐标为 ， 点 是直线 上一点， ， ， 当 时， ， 又 点 在直线 上， 当点 在 内部（不含边）时， 的取值范围是 ； ②存在点 使 最大， 理由如下： ， ， 点 ， 如图3，作点 关于直线 的对称点 ，连接 交直线 于点 ，此 时 最大， 设直线 的解析式为 ， ， ， 直线 的解析式为 ， 联立方程组可得 ， 解得： ， 点 坐标为 ．