43 图形的旋转 例 2023 年郴州市中考第16 题 如图1，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝3m，∠B＝60°．将△B 绕点逆时针旋转，得到△B′ ′，若点B 的对应点B′恰好落在线段B 上，则点的运动路径长是__________m．（结果用含 π 的式子表示）． 图1 例 2023 年自贡市中考第23（1）题 如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M、分别是斜边DE、B 边DE、B 的中点， DE＝2，B＝4．将△DE 绕点旋转一周，请直接写出点M、距离的最大值和最小值． 图1 例 2023 年包头市鄂尔多斯市中考第15 题 如图1，在Rt△B 中，∠B＝90°，＝3，B＝1，将△B 绕点逆时针旋转90°，得到△B′′，连 结BB′，交于点D，则 的值为__________． 图1 例 2023 年本溪市铁岭市辽阳市中考第18 题 如图1，线段B＝8，点是线段B 上的动点，将线段B 绕点B 顺时针旋转120°得到线段 BD，连结D，在B 的上方作Rt△DE，使∠DE＝90°，∠E＝30°，点F 是DE 的中点，连结 F，当F 最小时，△BD 的面积为__________． 图1 例 2023 年宜宾市中考第17 题 如图1，M 是正方形BD 的边D 的中点，P 是正方形内一点，连结BP，线段BP 以B 为 中心逆时针旋转90°得到线段BQ，连结MQ．若B＝4，MP＝1，则MQ

旋转 模型（三十三）——奔驰模型 ◎结论1：如图 ,等边△B，P=3，PB=4，P=5， 则①∠PB=150º， ②S△B＝ ❑ √3 4 B2＝25 ❑ √3+36 4 关键：旋转可以让线段动起来 ①【证明】以P 为边向左侧作等边△PD，连接BD, △B,△DP ∵ 为等边三角形 ∠DB 1．（2021·黑龙江佳木斯·九年级期中）如图，P 是等边三角形B 内一点，将△P 绕点顺时针旋转60°得到△BQ，若P ＝2，PB＝4， ，则四边形PBQ 的面积为（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】如图，连接PQ．由题意△PQ 是等边三角形，利用勾股定理的逆定理证明∠PQB＝90°即可解决问题． 【详解】解：如图，连接PQ． ∵△P 绕点顺时针旋转60°得到△BQ， ∴P＝Q＝2，P＝BQ＝2 ，∠PQ＝60°， ∵PB＝4， ∴ ， ∴∠PQB＝90°， ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质以及勾股定理的逆定理，熟练掌握相关内容是解题的关 键． 2．（2022·贵州毕节·八年级期末）如图，P 是等边三角形 内的一点，且 ，将 绕点 B 顺时针旋转得到 ，连接 ，则以下结论中不正确是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】根据等边三角形性质以

旋转 模型（三十三）——奔驰模型 ◎结论：如图 ,等边△B，P=3，PB=4，P=5， 则①∠PB=150º， ②S△B＝ ❑ √3 4 B2＝25 ❑ √3+36 4 关键：旋转可以让线段动起来 ①【证明】以P 为边向左侧作等边△PD，连接BD, △B,△DP ∵ 为等边三角形 ∠DB 1．（2021·黑龙江佳木斯·九年级期中）如图，P 是等边三角形B 内一点，将△P 绕点顺时针旋转60°得到 △BQ，若P＝2，PB＝4， ，则四边形PBQ 的面积为（ ） ． B． ． D． 2．（2022·贵州毕节·八年级期末）如图，P 是等边三角形 内的一点，且 ，将 绕点B 顺时针旋转得到 ，连接 ，则以下结论中不正确是（ ） ． B． ． D． 3．（2022·广西桂林·八年级期末）如图，在等边三角形B 各顶点的距离分别是P＝2，PB＝15，P＝ 25．若将线段P 绕点顺时针旋转60°得到线段Q，连接BQ．则∠PB 的度数是______度． 3．（2022·广东顺德德胜学校八年级阶段练习）如图，等边三角形 内有一点P，分别连接 、 、 ，若 ， ， ． (1)则线段 、 、 构成的三角形是______三角形（填“钝角、直角、锐角”）； (2)将 绕点B 顺时针旋转60°，画出旋转后的 ，并由此求出 的度数； (3)求三角形

★旋转动角问题三步解题技巧总结 一 根据题意找到目标角度 二 表示出目标角度 1 角度一边动另一边不动, 角度变大: 目标角 = 起始角 + 速度×时间 2 角度一边动另一边不动, 角度变小: 目标角=起始角 - 速度 ×时间 3 角度一边动另一边不动, 角度先变小后变大: 变小: 目标角=起始角 - 速度 × 时间 变大: 目标角=速度 × 时间-起始角 4 角度两边都动, 运动方向相同且变大 速度和×时间 三 根据题意列方程求解 【例1】．如图，已知∠B＝126°，∠D＝54°，M 在∠内，在∠BD 内，∠M＝ ∠，∠B＝ ∠BD，当边与B 边重合时，∠D 从图中的位置绕点顺时针旋转°（0＜＜126），则°＝ 51° 或 69° ． 时，∠M＝2∠B． 模型介绍 例题精讲 解：①0°＜＜54°时， ∠B＝°，∠M＝2°， ∠M＝ （126°+°）+54°﹣ 形纸片△B、△DEF，如图放置，点 B、D 重合， 点F 在B 上，B 与EF 交于点G．∠＝∠EFB＝90°，∠E＝∠B＝30°，现将图中的△B 绕点F 按每秒15°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，△B 恰有一边与DE 平行的 时间为 2 或 8 或 10 秒． 解：∵∠E＝∠B＝30°，∠＝∠EFB＝90°，∠E＝∠B＝30°，

旋转 模型（三十四）——费马点模型 费马点：到一个三角形三个顶点距离之和最小的点，称为三角形的费马点 当P+PB+P 取最小值时，点P 叫三角形的费马点 ◎结论：如图,△B 的三个内角均不大于120°，点P 在形内， 当∠BP＝∠P＝∠P＝120 时，P+PB+P 的值最小 【证明】如图，将△BP 绕点B 逆时针旋转 60°，得到△1BP1， 连接 连接 PP1，则△BPP1是等边三角形，所以 PB=PP1 由旋转的性质可得P+PB+P ＝ P11+PP1+P≥1, ∴当1、P1、P、四点共线时，P+PB+P 的值最小， △BPP ∵ 1是等边三角形，∠BPP1＝60º， ∠BP ∴ ＝120º， ∠PB ∵ ＝∠1P1B，∠BP1P＝60º， ∠PB ∴ ＝180º－60º＝120º 则∠P＝360º－120º－120º＝120º， △DB ≌ ，△BE △FB, ≌ E ∴＝BD，E＝F， E ∴＝BD＝F 旋转角：∠BPE＝∠EP＝∠PD＝60° 1．（2021·四川·成都实外九年级阶段练习）如图，在 中， ，P 是 内一点， 求 的最小值为______． 有等边，求长度，不好求，作等边 【答】 【分析】将△P 绕点顺时针旋转 得△DF，可得P=PF，DF=P，将 转化为 ，此时当 B、P、F、D 四点共线时，

★旋转动角问题三步解题技巧总结 一 根据题意找到目标角度 二 表示出目标角度 1 角度一边动另一边不动, 角度变大: 目标角 = 起始角 + 速度×时间 2 角度一边动另一边不动, 角度变小: 目标角=起始角 - 速度 ×时间 3 角度一边动另一边不动, 角度先变小后变大: 变小: 目标角=起始角 - 速度 × 时间 变大: 目标角=速度 × 时间-起始角 4 角度两边都动, 运动方向相同且变大 速度和×时间 三 根据题意列方程求解 【例1】．如图，已知∠B＝126°，∠D＝54°，M 在∠内，在∠BD 内，∠M＝ ∠，∠B＝ ∠BD，当边与B 边重合时，∠D 从图中的位置绕点顺时针旋转°（0＜＜126），则°＝ 51° 或 69° ． 时，∠M＝2∠B． 模型介绍 例题精讲 解：①0°＜＜54°时， ∠B＝°，∠M＝2°， ∠M＝ （126°+°）+54°﹣ 形纸片△B、△DEF，如图放置，点 B、D 重合， 点F 在B 上，B 与EF 交于点G．∠＝∠EFB＝90°，∠E＝∠B＝30°，现将图中的△B 绕点F 按每秒15°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，△B 恰有一边与DE 平行的 时间为 2 或 8 或 10 秒． 解：∵∠E＝∠B＝30°，∠＝∠EFB＝90°，∠E＝∠B＝30°，

★旋转动角问题三步解题技巧总结 一 根据题意找到目标角度 二 表示出目标角度 1 角度一边动另一边不动, 角度变大: 目标角 = 起始角 + 速度×时间 2 角度一边动另一边不动, 角度变小: 目标角=起始角 - 速度 ×时间 3 角度一边动另一边不动, 角度先变小后变大: 变小: 目标角=起始角 - 速度 × 时间 变大: 目标角=速度 × 时间-起始角 4 角度两边都动, 运动方向相同且变大 边重合时，∠D 从图中的位置绕点顺时针旋转°（0＜＜126），则°＝ 时，∠M＝2∠B． 模型介绍 例题精讲 变式训练 【变式1-1】．已知两个完全相同的直角三角形纸片△B、△DEF，如图放置，点 B、D 重合， 点F 在B 上，B 与EF 交于点G．∠＝∠EFB＝90°，∠E＝∠B＝30°，现将图中的△B 绕点F 按每秒15°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，△B 恰有一边与DE 位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转，射线PM 同时绕 点P 以每秒5°的速度逆时针旋转，当PQ 与P 成180°时，PQ 与PM 同时停止旋转，设 旋转的时间为t 秒．当射线PQ 是∠MP 的“巧分线”时，t 的值为 ． 【例2】．一副三角板按图1 方式拼接在一起，其中边，与直线EF 重合，∠B＝45°，∠D＝ 60°，保持三角板D 不动，将三角板B 绕着点顺时针旋转一个角度α，（如图2），在转

第23 章 旋转章末题型过关卷 【人版】 参考答与试题解析 一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分） 1．（3 分）（2022•湖北）在下面的格图中，每个小正方形的边长均为1，△B 的三个顶点 都是格线的交点，已知B，两点的坐标分别为（﹣1，﹣1），（1，﹣2），将△B 绕点顺 时针旋转90°，则点的对应点的坐标为（ ） ．（4，1） B．（4，﹣1） ．（5，1） D．（5，﹣1） 到点坐标，再画出△B 绕点顺时针旋转 90°后点的对应点的′，然后写出点′的坐标即可． 【解答】解：如图，点坐标为（0，2）， 将△B 绕点顺时针旋转90°，则点的对应点的′的坐标为（5，﹣1）． 故选：D． 2．（3 分）（2022•宁津县二模）如图，将Rt△B（∠B＝25°）绕点顺时针方向旋转到△B11 的位置，使得点，，B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ） ．65° B．80° ①对称点的连线必过对称中心； ②这两个图形一定全等； ③对应线段一定平行（或在一条直线上）且相等； ④将一个图形绕对称中心旋转180°必定与另一个图形重合． ．①② B．①③ ．①②③ D．①②③④ 【分析】根据（1）中心对称的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与 另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中 心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．

专题231 旋转【十大题型】 【人版】 【题型1 关于原点对称的点的坐标】.....................................................................................................................1 【题型2 利用旋转的性质求角度】....................... ......................3 【题型3 利用旋转的性质求线段长度】................................................................................................................. 6 【题型4 旋转中的坐标与图形变换】....................... .........10 【题型5 作图-旋转变换】......................................................................................................................................14 【题型6 中心对称图形及旋转对称图形】.................

专题09 几何旋转综合问题 类型一、三角形中的旋转问题 例．如图，已知等边 中，点D、E、F 分别为边 、 、 的中点，M 为直线 上一动点， 为等边三角形(点M 的位置改变时， 也随之整体移动)． (1)如图1，当点M 在点B 左侧时，请你连结 ，并判断 与 有怎样的数量关系？点 F 是否在直线 上？请写出结论，并说明理由； (2)如图2，当点M 在 上时，其它条件不变，(1)的结论中 【变式训练2】如图1，将两个完全相同的三角形纸片B 和DE 重合放置，其中∠=90°．若 固定△B，将△DE 绕点旋转． (1)当△DE 统点旋转到点D 恰好落在B 边上时，如图2． ①当∠B=∠E=30°时，此时旋转角的大小为 ； ②当∠B=∠E=α 时，此时旋转角的大小为 (用含的式子表示)． (2)当△DE 绕点旋转到如图3 所示的位置时，小杨同学猜想：△BD 的面积与△E 的面积相等， 试判断 试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想．若不正确，请说明 理由． 【变式训练3】如图1，已知∠D=90°，△B 是等边三角形，点P 为射线D 上任意一点(点P 与 点不重合)，连结P，将线段P 绕点顺时针旋转60°得到线段Q，连结QB 并延长交直线D 于 点E． (1)如图1，猜想∠QEP= °； (2)如图2，3，若当∠D 是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP 的度数，选取一种情况