模型40 动态角旋转问题（解析版）(1)

★旋转动角问题三步解题技巧总结 一 根据题意找到目标角度 二 表示出目标角度 1 角度一边动另一边不动, 角度变大: 目标角 = 起始角 + 速度×时间 2 角度一边动另一边不动, 角度变小: 目标角=起始角 - 速度 ×时间 3 角度一边动另一边不动, 角度先变小后变大: 变小: 目标角=起始角 - 速度 × 时间 变大: 目标角=速度 × 时间-起始角 4 角度两边都动, 运动方向相同且变大 目标角=起始角+速度差×时间 5 角度两边都动, 运动方向相同且变小 目标角=起始角 - 速度差× 时间 6 角度两边都动, 运动方向相反 目标角 = 起始角 + 速度和×时间 三 根据题意列方程求解 【例1】．如图，已知∠B＝126°，∠D＝54°，M 在∠内，在∠BD 内，∠M＝ ∠，∠B＝ ∠BD，当边与B 边重合时，∠D 从图中的位置绕点顺时针旋转°（0＜＜126），则°＝ 51° 或 69° ． 时，∠M＝2∠B． 模型介绍 例题精讲 解：①0°＜＜54°时， ∠B＝°，∠M＝2°， ∠M＝ （126°+°）+54°﹣ （54°+°）＝100°， ∴＝51． ②当54°＜＜126°时， ∠＝360°﹣（126°+°）＝234° ° ﹣， ∠BD＝54°+°， ∴∠M＝360°﹣∠M﹣∠B﹣∠B ＝360°﹣ （234° ° ﹣）﹣126°﹣ （54°+°） ＝138° ∴＝69． 综上所述，的值为51 或69． 故答为：51°或69°． 变式训练 【变式1-1】．已知两个完全相同的直角三角形纸片△B、△DEF，如图放置，点 B、D 重合， 点F 在B 上，B 与EF 交于点G．∠＝∠EFB＝90°，∠E＝∠B＝30°，现将图中的△B 绕点F 按每秒15°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，△B 恰有一边与DE 平行的 时间为 2 或 8 或 10 秒． 解：∵∠E＝∠B＝30°，∠＝∠EFB＝90°，∠E＝∠B＝30°， ∴∠D＝∠＝60°． ①当DE∥时，如图1 中， ∠＝90， ∴⊥B， ∴DE⊥B， ∴∠D+∠BFD＝90°， ∴∠BFD＝90° 60° ﹣ ＝30°， ∴旋转时间t＝ ＝2s． ②如图2 中，当DE∥B 时， ∠BFE＝∠E＝30°， ∴∠DFB＝90°+30°＝120°， ∴旋转时间t＝ ＝8s． ③当DE∥B 时，如图3 中， ∴∠BGF＝∠E＝30°， ∴∠BFE＝30°+30°＝60°， ∴∠DFB＝60°+90°＝150°， ∴旋转时间t＝ ＝10s． 综上所述，旋转时间为2s 或8s 或10s 时，△B 恰有一边与DE 平行． 故答为：2 或8 或10． 【变式1-2】．如图1，射线在∠B 的内部，图中共有3 个角：∠B，∠和∠B，若其中有一个 角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是∠B 的“巧分线”．如图2，若∠MP＝ 75°，且射线PQ 绕点P 从P 位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转，射线PM 同时绕 点P 以每秒5°的速度逆时针旋转，当PQ 与P 成180°时，PQ 与PM 同时停止旋转，设 旋转的时间为t 秒．当射线PQ 是∠MP 的“巧分线”时，t 的值为 3 或 或 ． 解：当∠PQ＝ ∠MP 时， 15t＝ （75+5t）， 解得t＝3； 当∠PQ＝ ∠MP 时， 15t＝ （75+5t）， 解得t＝ ． 当∠PQ＝ ∠MP 时， 15t＝ （75+5t）， 解得t＝ ． 故t 的值为3 或 或 ． 故答为：3 或 或 ． 【例2】．一副三角板按图1 方式拼接在一起，其中边，与直线EF 重合，∠B＝45°，∠D＝ 60°，保持三角板D 不动，将三角板B 绕着点顺时针旋转一个角度α，（如图2），在转 动过程中两块三角板都在直线EF 的上方，当B 平分由，，D 其中任意两边组成的角时， α 的值为 30° 或 90° 或 105° ． 解：当B 平分∠D 时， ∵∠E＝α，∠D＝60°， ∴∠D＝180°﹣∠E﹣∠D＝120°﹣α， ∴∠B＝ ∠D＝60°﹣ α＝45°， ∴α＝30°， 当B 平分∠时， ∵∠＝180°﹣α， ∴∠B＝90°﹣ α＝45°， ∴α＝90°； 当B 平分∠D 时， ∵∠D＝60°， ∴∠B＝30°， ∴α＝180° 45° 30° ﹣ ﹣ ＝105°， 综上所述，旋转角度α 的值为30°或90°或105°； 故答为：30°或90°或105°． 变式训练 【变式2-1】．将一副直角三角板B，DE 按如图1 叠加放置，其中B 与E 重合，∠B＝ 45°，∠BD＝30°．将三角板DE 从图1 位置开始绕点顺时针旋转，并记M，分别为 ∠BE，∠D 的平分线，当三角板DE 旋转至如图2 的位置时，∠M 的度数为 375 °． 解：∵M，分别为∠BE，∠D 的角平分线， ∴∠ME＝ ∠BE，∠＝ ∠D， ∴∠M＝∠ME+∠ ∠ ﹣ E ＝ （∠BE+∠D）﹣∠E ＝ （∠B+∠DE+2∠E）﹣∠E ＝ ×75° ＝375°； 故答为：375． 【变式2-2】．如图①，为直线B 上一点作射线，使∠＝120°，将一个直角三角尺如图摆 放，直角顶点在点处，一条直角边P 在射线上，将图①中的三角尺绕点以每秒5°的速 度按逆时针方向旋转（如图②所示），在旋转一周的过程中第t 秒时，Q 所在直线恰好 平分∠B，则t 的值为 24 s 或 60 s ． 解：如图1，∵∠＝120°， ∴∠B＝60°， ∵Q 平分∠B， ∴∠BQ＝ ∠B＝30°， ∴t＝ ＝24s； 如图2，∵∠＝120°， ∴∠B＝60°， ∵Q′平分∠B， ∴∠Q＝∠BQ′＝ ∠B＝30°， ∴t＝ ＝60s， 综上所述，Q 所在直线恰好平分∠B，则t 的值为24s 或60s， 故答为：24s 或60s． 1．如图，已知PQ∥M，点，B 分别在M，PQ 上，射线自射线M 的位置开始，以每秒3°的 速度绕点顺时针旋转至便立即逆时针回转，射线BD 自射线BP 的位置开始，以每秒1° 的速度绕点B 逆时针旋转至BQ 后停止运动．若射线BD 先转动30 秒，射线M 才开始转 动，当射线，BD 互相平行时，射线的旋转时间为 375 或 105 秒． 解：根据题意，需要分两种情况， 当射线顺时针旋转时，如图所示： ∵PQ∥M， ∴∠PBD＝∠BD， ∵BD∥， ∴∠BD＝∠， ∴∠PBD＝∠， 设射线运动时间为t，则∠M＝3°t，∠PBD＝30°+1°t， ∴∠＝180° 3° ﹣ t， 30°+1° ∴ t＝180° 3° ﹣ t，解得t＝375． 当射线逆时针旋转时，如图所示： ∵PQ∥M， ∴∠PBD＝∠BD， ∵BD∥， ∴∠BD＝∠， ∴∠PBD＝∠， 设射线运动时间为t，则∠＝3°t 180° ﹣ ，∠PBD＝30°+1°t， 30°+1° ∴ t＝3°t 180° ﹣ ，解得t＝105． 故答为：375 或105． 2．如图1，直线ED 上有一点，过点在直线ED 上方作射线，将一直角三角板B（∠B＝ 30°）的直角顶点放在点处，一条直角边在射线D 上，另一边B 在直线ED 上方，将直 角三角板绕着点按每秒10°的速度逆时针旋转一周，旋转时间为t 秒．若射线的位置保 持不变，且∠E＝140°．则在旋转过程中，如图2，当t＝ 2 或 8 或 32 秒时，射线，与 D 中的某一条射线恰好是另两条射线所夹角的平分线． 解：当射线是∠D 的平分线时， ∵∠D＝180°﹣∠E＝40°，是∠D 的平分线， ∴∠D＝ ∠D＝20°， ∴t＝ ＝2； 当射线是∠D 的平分线时， ∠D＝2∠D＝80°， ∴t＝ ＝8； 当射线D 是∠的平分线时， 360 10 ﹣ t＝40， ∴t＝32， 故答为：2 或8 或32． 3．如图1，已知∠B＝50°，有一个三角板BDE 与∠B 共用一个顶点B，其中∠EBD＝45°． （1）若BD 平分∠B，求∠EB 的度数； （2）如图2，将三角板绕着点B 顺时针旋转α 度（0°＜α＜90°），当B⊥BD 时，求 ∠EB 的度数． 解：（1）∵BD 平分∠B，∠B＝50°， ∴∠BD＝ ＝25°， ∵∠EBD＝45°， ∴∠EB＝∠EBD+∠DB＝45°+25°＝70°． （2）∵B⊥BD， ∴∠BD＝90°， ∵∠B＝50°， ∴∠DB＝90° 50° ﹣ ＝40°， ∵∠EBD＝45°， ∴∠EB＝45° 40° ﹣ ＝5°． 4．将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点． （1）如图1，若∠D＝35°，求∠B 的度数； （2）如图（1），求∠BD+∠的度数； （3）如图（2）若三角板B 保持不动，将三角板D 的边D 与边重合，然后将其绕点旋 转．试猜想在旋转过程中，∠与∠BD 有何数量关系？请说明理由． 解：（1）若∠D＝35°， ∵∠B＝∠D＝90°， ∴∠BD＝90° 35° ﹣ ＝55°， ∴∠B＝90°﹣∠BD＝90° 55° ﹣ ＝35°； （2）∵∠BD＝∠B+∠D﹣∠， ∴∠BD+∠＝∠B+∠D＝90°+90°＝180°； （3）∠与∠BD 互补． 当∠B 与∠D 有重叠部分时， ∵∠B＝∠D＝90°， ∴∠D+∠BD+∠BD+∠B＝180°． ∵∠D+∠BD+∠B＝∠， + ∴∠∠BD＝180°； 当∠B 与∠D 没有重叠部分时，∠B+∠D+ + ∠∠BD＝360°， 又∵∠B＝∠D＝90°， + ∴∠∠BD＝180°． 5．已知∠B＝60°，M 平分∠，平分∠B，求： （1）如图1，为∠B 内部任意一条射线，求∠M＝ 30° ； （2）如图2，当旋转到∠B 的外部时，∠M 的度数会发生变化吗？请说明原因； （3）如图3，当旋转到∠B（∠B＜120°）的外部且射线在B 的下方时，M 平分∠，射线 在∠B 内部，∠＝ ∠B，求∠M﹣ ∠B 的值？ 解：（1）∵M 平分∠，平分∠B，∠B＝60°， ∴∠M＝ ∠， ∴∠＝ ∠B， ∴∠M＝∠M+∠＝ ∠B+ ∠＝ ∠B＝ ×60°＝30°． 故答为：30°； （2）不变， 当旋转到∠B 的外部时， ∵M 平分∠，平分∠B，∠B＝60°， ∴∠M＝ ∠， ∴∠＝ ∠B， ∴∠M＝∠M﹣∠＝ ∠B﹣ ∠＝ ∠B＝ ×60°＝30°． ∴∠M 的度数不会发生变化； （3）当旋转到∠B（∠B＜120°）的外部且射线在B 的下方时， ∵M 平分∠，∠＝ ∠B， ∴∠M＝ ∠，∠B＝ ∠B， ∴∠M﹣ ∠B＝ ∠﹣ × ∠B＝ ∠﹣ ∠B＝ ∠B＝30°． 6．如图1，点为直线B 上一点，过点作射线，使∠：∠B＝1：2，∠M 的一边M 在射线B 上， 另一边在直线B 的下方，且∠M＝90°． （1）如图1，求∠的度数； （2）将图1 中的∠M 绕点以每秒20°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中， 如图2，若直线恰好平分锐角∠，求∠M 所运动的时间t 值； （3）在（2）的条件下，当∠与∠互余时，求出∠B 与∠M 之间的数量关系． 解：（1）∵∠：∠B＝1：2，∠+∠M＝180°， ∴∠＝ ， ∵∠M＝90°， ∴∠＝90°， ∴∠＝∠+∠＝90°+60°＝150°； （2）当直线平分∠时，如图，'平分∠，逆时针旋转60 度至''时，直线平分所以t＝3， ∵∠＝60°， ' ∴∠＝30°， 此时射线逆时针旋转60 度， ∴∠M 所运动的时间t＝60÷20＝3（s）； 如图②， ∵直线恰好平分锐角∠， ∴沿逆时针旋转的度数为90°+150°＝240°， ∴∠M 所运动的时间t＝ ＝12（s）； 综上，∠M 所运动的时间t 值为3s 或12s； （3）如图③所示： + ∵∠∠＝90°，M 与重合 ∴∠B 与∠M 互补． 如图②所示： 当平分∠时，∠+∠＝90°， ∴∠＝30°，∠M＝120°，∠B＝120°， ∴∠B＝∠M． 综上所述：∠B 与∠M 互补或相等． 7．点直线B 上一点，过点作射线，使得∠B＝65°，将一直角三角板的直角顶点放在点处． （1）如图1，将三角板M 的一边与射线B 重合时，求∠M 的度数； （2）如图2，将三角板M 绕点逆时针旋转一定角度，此时是∠MB 的平分线，求∠B 和∠ 的度数； （3）将三角板M 绕点逆时针旋转至图3 时，∠＝ ∠M，求∠B 的度数． 解：（1）∵∠M＝90°，∠B＝65°， ∴∠M＝∠M﹣∠B＝90° 65° ﹣ ＝25°； （2）∵∠B＝65°，是∠MB 的角平分线， ∴∠MB＝2∠B＝130°， ∴∠B＝∠MB﹣∠M＝130° 90° ﹣ ＝40°， ∠＝∠B﹣∠B＝65° 40° ﹣ ＝25°， 即∠B＝40°，∠＝25°； （3）∵∠＝ ∠M， ∴∠M＝4∠． ∵∠B＝65°， ∴∠＝∠B﹣∠B＝180° 65 ﹣ ＝115°， ∵∠M＝90°， ∴∠M+∠＝∠﹣∠M＝115° 90° ﹣ ＝25°， 4 + ∴∠∠＝25°， ∴∠＝5°， ∴∠B＝∠+∠B＝70°． 8．以直线B 上一点为端点作射线，使∠B＝40°，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即 ∠DE＝90°． （1）如图1，若直角三角板DE 的一边E 放在射线上，求∠D 的度数； （2）如图2，将直角三角板DE 绕点顺时针转动到某个位置，若E 恰好平分∠，求∠D 的度数； （3）将直三角板DE 绕点顺时针转动（D 与B 重合时为停止）的过程中，恰好∠D＝ ∠E，求此时∠BD 的度数． 解：（1）由题意得∠BD＝90°， ∵∠B＝40°， ∴∠D＝90° 40° ﹣ ＝50°． （2）∵∠+∠B＝180°，∠B＝40°， ∴∠＝180° 40° ﹣ ＝140°， ∵E 平分∠， ∴∠E＝ ∠＝70°， ∵∠DE＝90°， ∴∠D＝90° 70° ﹣ ＝20°， （3）①当∠D 在∠B 的内部时， ∵∠D＝∠B﹣∠BD，而∠B＝40°， ∴∠D＝40°﹣∠BD， ∵∠E+∠ED+∠BD＝180°，∠ED＝90°， ∴∠E＝90°﹣∠BD， 又∵∠D＝ ∠E， 40° ∴ ∠ ﹣ BD＝ （90°﹣∠BD）， ∴∠BD＝15°； ②当∠D 在∠B 的外部时， ∵∠D＝∠BD﹣∠B，而∠B＝40°， ∴∠D＝∠BD 40° ﹣ ， ∵∠E+∠ED﹣∠BD＝180°，∠ED＝90°， ∴∠E＝90°﹣∠BD， 又∵∠D＝ ∠E， ∴∠BD 40° ﹣ ＝ （90°﹣∠BD）， ∴∠BD＝525°， 综上所述：∠BD 的度数为15°或525°． 9．已知∠D＝160°，B、、M、是∠D 内的射线． （1）如图1，若M 平分∠B，平分∠BD．当B 绕点在∠D 内旋转时，求∠M 的大小； （2）如图2，若∠B＝20°，M 平分∠，平分∠BD．当∠B 绕点在∠D 内旋转时，求∠M 的 大小； （3）在（2）的条件下，若∠B＝10°，当∠B 在∠D 内绕着点以2 度/秒的速度逆时针旋转 t 秒时，∠M＝ ∠D．求t 的值． 解：（1）因为∠D＝160°， M 平分∠B，平分∠BD， 所以∠MB＝ ∠B，∠B＝ ∠BD， 即∠M＝∠MB+∠B ＝ ∠B ∠BD ＝ （∠B+∠BD） ＝ ∠D＝80°， 答：∠M 的度数为80°； （2）因为M 平分∠，平分∠BD， 所以∠M＝ ∠，∠B＝ ∠BD， 当在B 左侧时，如图： ∠M＝∠M+∠B﹣∠B ＝ ∠ ∠BD﹣∠B ＝ （∠+∠BD）﹣∠B ＝ （∠D+∠B）﹣∠B ＝ ×180° 20° ﹣ ＝70°； 如图，当射线在B 右侧时， ∵∠M＝ ∠，∠B＝ ∠BD， ∴∠M＝∠M+∠B+∠B ＝ ∠+ ∠BD+∠B ＝ （∠+∠BD）+∠B ＝ （∠D﹣∠B）+∠B ＝ ×140°+20° ＝90°； 答：∠M 的度数为70°或90°． （3）∵射线B 从逆时针以2°每秒的速度旋转t 秒，∠B＝20°， ∴根据（2）中，得 ∠＝∠B+∠B＝2t°+10°+20°＝2t°+30°． ∵射线M 平分∠， ∴∠M＝ ∠＝t°+15°． ∵∠BD＝∠D﹣∠B，∠D＝160°， ∴∠BD＝150° 2 ﹣t°． ∵射线平分∠BD， ∴∠D＝ ∠BD＝75°﹣t°． 又∵∠M：∠D＝2：3， ∴（t+15）：（75﹣t）＝2：3， 解得t＝21． 答：t 的值为21 秒． 10．点为直线B 上一点，过点作射线，使∠B＝65°，将一直角三角板的直角顶点放在点处． （1）如图①，将三角板M 的一边与射线B 重合时，则∠M＝ 25° ； （2）如图②，将三角板M 绕点逆时针旋转一定角度，此时是∠MB 的角平分线，求旋 转角∠B 和∠的度数； （3）将三角板M 绕点逆时针旋转至图③时，∠＝ ∠M，求∠B 的度数． 解：（1）∵∠M＝90°，∠B＝65°， ∴∠M＝∠M﹣∠B＝90° 65° ﹣ ＝25°． 故答为：25°． （2）∵∠B＝65°，是∠MB 的角平分线， ∴∠MB＝2∠B＝130°． ∴∠B＝∠MB﹣∠M ＝130° 90° ﹣ ＝40°． ∠＝∠B﹣∠B ＝65° 40° ﹣ ＝25°． 即∠B＝40°，∠＝25°； （3）∵∠＝ ∠M， ∴∠M＝4∠． ∵∠B＝65°， ∴∠＝∠B﹣∠B ＝180° 65 ﹣ ＝115°． ∵∠M＝90°， ∴∠M+∠＝∠﹣∠M ＝115° 90° ﹣ ＝25°． 4 + ∴∠∠＝25°． ∴∠＝5°． ∴∠B＝∠+∠B＝70°． 11．如图1，点为直线B 上一点，过点作射线，使∠B＝120°．将一直角三角板的直角顶点 放在点处，一边M 在射线B 上，另一边在直线B 的下方． （1）将图1 中的三角板绕点逆时针旋转至图2，使一边M 在∠B 的内部，且恰好平分 ∠B．问：此时直线是否平分∠？请说明理由． （2）将图1 中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使在∠的内部，求∠M﹣∠的度数． 解： （1）直线平分∠． 理由如下： 如图，设的反向延长线为D， ∵M 平分∠B， ∴∠M＝∠MB＝ ， 又∠MD＝∠M＝90°， ∴∠D＝90°﹣∠B＝30°， ∵∠＝180°﹣∠B＝60°， ∴∠D＝ ∠， ∴D 平分∠， 即直线平分∠； （2）∵∠M＝90°，∠＝60°， ∴∠M＝90°﹣∠，∠＝60°﹣∠， ∴∠M﹣∠＝（90°﹣∠）﹣（60°﹣∠）＝30°． 12．已知∠B＝100°，∠D＝40°，E 平分∠，F