题型13 6 类解三角形公式定理解题技巧 （海伦、射影、角平分线、张角、倍角、恒等式） 技法01 海伦公式的应用及解题技巧 知识迁移 海伦-秦九韶公式 三角形的三边分别是a、b、c，则三角形的面积为 其中 ，这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明。 我国南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九韶公式: 技法01 海伦公式的应用及解题技巧 技法02 射影定理的应用及解题技巧 技法03 角平分线定理的应用及解题技巧 技法04 张角定理的应用及解题技巧 技法05 倍角定理的应用及解题技巧 技法06 10 类恒等式的应用及解题技巧 海伦-秦九韶公式能够解决已知三边的三角形的面积求解，是解三角形中必不可少的解题利器，也会作为材 料题在高考及模考中出现，需加以练习. 例1．（2022·浙江·统考高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把 （2）令 ， 由（1） 得 . 在锐角三角形 中, ，即 ， , 令 , 根据对勾函数的性质知 在 上单调递增， ,即 的取值范围是 . 技法06 10 类恒等式的应用及解题技巧 在解三角形中，应用恒等式能做到快速求解及其秒解，也是高考命题的重要考点，需重点学习. ⑦ ； ⑧ ； ⑨ ； ⑩ 。 例6．（2023·全国·高三专题练习）在锐角 中，角 所对的边分别为 ，若

题型13 6 类解三角形公式定理解题技巧 （海伦、射影、角平分线、张角、倍角、恒等式） 技法01 海伦公式的应用及解题技巧 知识迁移 海伦-秦九韶公式 三角形的三边分别是a、b、c，则三角形的面积为 其中 ，这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明。 我国南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九韶公式: 技法01 海伦公式的应用及解题技巧 技法02 射影定理的应用及解题技巧 技法03 角平分线定理的应用及解题技巧 技法04 张角定理的应用及解题技巧 技法05 倍角定理的应用及解题技巧 技法06 10 类恒等式的应用及解题技巧 海伦-秦九韶公式能够解决已知三边的三角形的面积求解，是解三角形中必不可少的解题利器，也会作为材 料题在高考及模考中出现，需加以练习. 例1．（2022·浙江·统考高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把 中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，满足 ． (1)证明： ； (2)求 的取值范围． 技法06 10 类恒等式的应用及解题技巧 知识迁移 三角恒等式 在 中， ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥ ； ⑦ ； ⑧ ； 在解三角形中，应用恒等式能做到快速求解及其秒解，也是高考命题的重要考点，需重点学习. ⑨ ； ⑩ 。 例6．（2023·全国·高三专题练习）在锐角

题型12 5 类平面向量解题技巧 （“爪子定理”、系数和（等和线）、极化恒等式、 奔驰定理与三角形四心问题、范围与最值问题） 技法01 “爪子定理”的应用及解题技巧 知识迁移 形如 条件的应用（“爪子定理”） “爪”字型图及性质： （1）已知 为不共线的两个向量，则对于向量 ，必存在 ，使 得 。则 三点共线 当 ，则 与 位于 同侧，且 位于 与 之间 当 ，则 与 位于 两侧 两侧 技法01 “爪子定理”的应用及解题技巧 技法02 系数和（等和线）的应用及解题技巧 技法03 极化恒等式的应用及解题技巧 技法04 奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧 技法05 范围与最值的应用及解题技巧 “爪子定理”是平面向量基本定理的拓展，用“爪子定理”能更快速求解，需同学们重点学习掌握 A B C D 时，当 ，则 在线段 上；当 ，则 在线段 延长 线上 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 技法03 极化恒等式的应用及解题技巧 知识迁移 极化恒等式 恒等式右边有很直观的几何意义: 向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的 ， 恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系 如图在平行四边形 中, 利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量

题型12 5 类平面向量解题技巧 （“爪子定理”、系数和（等和线）、极化恒等式、 奔驰定理与三角形四心问题、范围与最值问题） 技法01 “爪子定理”的应用及解题技巧 知识迁移 形如 条件的应用（“爪子定理”） “爪”字型图及性质： （1）已知 为不共线的两个向量，则对于向量 ，必存在 ，使 得 。则 三点共线 当 ，则 与 位于 同侧，且 位于 与 之间 当 ，则 与 位于 两侧 两侧 技法01 “爪子定理”的应用及解题技巧 技法02 系数和（等和线）的应用及解题技巧 技法03 极化恒等式的应用及解题技巧 技法04 奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧 技法05 范围与最值的应用及解题技巧 “爪子定理”是平面向量基本定理的拓展，用“爪子定理”能更快速求解，需同学们重点学习掌握 A B C D 时，当 ，则 在线段 上；当 ，则 在线段 延长 线上 相切时， ，取得最大值 . 故选：B 技法03 极化恒等式的应用及解题技巧 知识迁移 极化恒等式 恒等式右边有很直观的几何意义: 向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的 ， 恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系 如图在平行四边形 中, 则 利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量

D．（+3）（﹣3）＝2 9 ﹣ 【变式5-3】（2022•郫都区模拟）如图，在边长为（x+）的正方形中，剪去一个边长为的 小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个平行四边形，由左右两个阴影部分面积，可 以得到一个恒等式是（ ） ．（x+）2﹣2＝x（x+2） B．x2+2x＝x（x+2） ．（x+）2﹣x2＝（+2x） D．x2﹣2＝（x+）（x﹣） 【题型6 乘法公式的应用】 【例6】（2022 春 【变式7-1】（2022 春•西城区校级期中）阅读学习： 数学中有很多恒等式可以用图形的面积来得到． 如图1，可以求出阴影部分的面积是2﹣b2；如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成 一个矩形，它的长是+b，宽是﹣b，比较图1，图2 阴影部分的面积，可以得到恒等式 （+b）（﹣b）＝2﹣b2． （1）观察图3，请你写出（+b）2，（﹣b）2，b 之间的一个恒等式 ． （2）观察图4，请写出图4 （2）观察图4，请写出图4 所表示的代数恒等式： ． （3）现有若干块长方形和正方形硬纸片如图5 所示，请你用拼图的方法推出一个恒等 式（+b）2＝2+2b+b2，仿照图4 画出你的拼图并标出相关数据． 1 【变式7-2】（2022 春•武侯区校级期中）[知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个 图形的面积，可以得到一个恒等式． 例如：如图①是一个长为2，宽为2b

边长为的 小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个平行四边形，由左右两个阴影部分面积，可 以得到一个恒等式是（ ） 1 ．（x+）2﹣2＝x（x+2） B．x2+2x＝x（x+2） ．（x+）2﹣x2＝（+2x） D．x2﹣2＝（x+）（x﹣） 【分析】根据阴影部分面积相等得到恒等式即可． 【解答】解：第一幅图阴影部分面积＝（x+）2﹣2， 第二幅图阴影部分面积＝（x++）x＝x（x+2）， 春•西城区校级期中）阅读学习： 数学中有很多恒等式可以用图形的面积来得到． 1 如图1，可以求出阴影部分的面积是2﹣b2；如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成 一个矩形，它的长是+b，宽是﹣b，比较图1，图2 阴影部分的面积，可以得到恒等式 （+b）（﹣b）＝2﹣b2． （1）观察图3，请你写出（+b）2，（﹣b）2，b 之间的一个恒等式 （﹣ b ） 2 ＝（ + b ） 2 4 ﹣ b ． （2）观察图4，请写出图4 所表示的代数恒等式： （ 2+ b ）（ + b ）＝ 2 2 +3 b + b 2 ． （3）现有若干块长方形和正方形硬纸片如图5 所示，请你用拼图的方法推出一个恒等 式（+b）2＝2+2b+b2，仿照图4 画出你的拼图并标出相关数据．

现金流量表中的现金仅指企业的库存现金。（） 30. 重要性要求企业提供的会计信息应当反映与企业财务状况、经营 成果和现金流量有关的所有重要交易或事项。（） 四、简答题（共4 题，每题5 分） 31. 简述会计恒等式的基本内容及其意义。 32. 简述原始凭证与记账凭证的区别。 33. 简述存货发出计价方法中的先进先出法（FIFO）和加权平均法各 自的优缺点。 34. 列举并简要说明财务报表编制的基本要求。 ABCD 三、判断题 21. √ 22. × 23. × 24. × 25. √ 26. √ 27. √ 28. √ 29. × 30. √ 四、简答题 31. 会计恒等式为：资产= 负债+ 所有者权益。意义：反映企业资源 来源与运用的平衡关系，是复式记账、试算平衡及编制报表的理论基 础。 32. 原始凭证记录经济业务发生原始证明（如发票）；记账凭证根据 原

纸片拼出一个面积为(3＋2b)(2＋3b)长方形，请在下面方框中画出图形，并计算x＋z＝ _____ (拓展迁移) (4)事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图5 表示的是一个边长 为＋b 的正方体，请你根据图5 求正方体的体积，写出一个代数恒等式：______ 【变式训练4】提出问题：怎么运用矩形面积表示(y+2)(y+3)与2y+5 的大小关系(其中y>0)？ 几何建模： (1)画长y+3，宽y+2

解为\( x = 8 \) B. 去括号后为\( 3x - 6 = 2x + 2 \) C. 移项后得\( 3x - 2x = 2 + 6 \) D. 是恒等式 15. 若长方形的长为\( 2a \) ，宽为\( b \)（\( a > 0, b > 0 \)），则 （） A. 周长为\( 4a + 2b \)

4 3 30 sin 2 1 1 15 cos 15 sin 15 cos 15 sin 2 2 = − =  − +      2 分 （2）根据式子特点，猜想三角恒等式为 ( ) ( ) 4 3 30 cos sin 30 cos sin 2 2 = −  − − +       5