广东实验中学2021—2022学年（上）高一期末考试（数学）答案

高一数学 第1页 广东实验中学2021—2022 学年（上） 高一级模块一考试(合格性考试)·数学 答案及说明 一、选择题（60 分，每小题5 分） 1.C 2.A 3.D 4.C 5.B 6.B 7.C 8.D 9.BCD 10.AC 11.AB 12.AD 二、填空题（20 分，每小题5 分） 13.3 14. 3 − 15.必要不充分 16.      − 0 , 2 1 三、解答题（70 分） 17. 解： （1）∵  sin 是方程 0 6 7 5 2 = − −x x 的根 ∴ 5 3 sin − =  或 2 sin =  （舍） 2 分 则 ( ) ( ) ( ) ( )( )                   sin sin sin tan cos cos sin 2 cos 2 cos 2 tan 2 3 sin 2 3 sin 2 2 − − − = +        +        − −        −        − −  sin 1 − = 5 分 3 5 = 6 分 （2）∵ 0 2 cos   ， ( ) 0 sin  −  ，则        − 4 5 ,     ，        2 , 0 2   7 分 ∴ 5 4 2 sin =  ， ( ) 13 12 cos − = −  9 分 ∵      2 + − = + ， ∴ ( ) ( )        2 sin sin + − = + ( ) ( )       2 sin cos 2 cos sin − + − = 11 分 65 63 13 12 5 4 13 5 5 3 − =      −  +      −  = 12 分 18. 解：( ) a x x a x x x x f + + − = + −  = 2 2 cos 1 2 sin 2 3 cos cos sin 3 2 2 1 6 2 sin − +       − = a x  2 分 高一数学 第2页 （1）∴由 2 6 2    + = − k x ，得到 3 2  + = k x ∴对称轴为 Z k k x  + = , 3 2   4 分 由 2 3 2 6 2 2 2      +  −  + k x k ，得 6 5 3     +   + k x k ∴单调减区间为 Z k k k        + + , 6 5 , 3     6 分 （2） 12 5 0   x ，则 6 5 2 0    x ∴ 3 2 6 2 6     −  − x 7 分 ∴当 0 = x 时，( ) 1 2 1 2 1 min − = − + − = a a x f 当 3  = x 时，( ) 2 1 2 1 1 max + = − + = a a x f 9 分 ∴ 2 2 1 1 = + + − a a ∴ 4 5 = a 10 分 19. （1）解：选②， 4 3 30 sin 2 1 1 15 cos 15 sin 15 cos 15 sin 2 2 = − =  − +      2 分 （2）根据式子特点，猜想三角恒等式为 ( ) ( ) 4 3 30 cos sin 30 cos sin 2 2 = −  − − +       5 分 证明： ( ) ( )     −  − − +   30 cos sin 30 cos sin 2 2 ( ) ( )       sin 30 sin cos 30 cos sin sin 30 sin cos 30 cos sin 2 2  +   −  +  + =             2 2 2 2 sin 2 1 cos sin 2 3 sin 4 1 cos sin 2 3 cos 4 3 sin −  − +  + + = 4 3 cos 4 3 sin 4 3 2 2 = + =   12 分 （另证： ( ) ( )     −  − − +   30 cos sin 30 cos sin 2 2 ( )      2 sin 2 1 cos sin 2 3 2 2 60 cos 1 2 2 cos 1 −  − − + + − =  ( )      2 cos 1 4 1 2 sin 4 3 2 2 sin 60 sin 2 cos 60 cos 1 2 2 cos 1 − − − + + + − =   4 3 4 1 1 4 2 cos 4 1 2 sin 4 3 2 sin 4 3 4 2 cos 2 2 cos 1 = − = + − − + + − =      ） 高一数学 第3页 20. 解： （Ⅰ）投资债券类稳健型产品的收益满足函数：y=kx（x>0） ， 由题知，当x=1 时，y=0.125，则k=0.125，即y=0.125x， 2 分 投资股票类风险型产品的收益满足函数： x k y 1 = （x>0） ， 由题知，当x=1 时，y=0.5，则 1 k =0.5，即y=0.5 x ， 4 分 （Ⅱ）设投资债券类稳健型产品x 万元（0≤x≤20） ，则投资股票类风险型产品20-x 万元， 由题知总收益y=0.125x+0.5 20 x − （0≤x≤20） ， 8 分 2 2 2 2 20 (0 t 20), 20 1 1 5 1 0.125(20 t ) 0.5 ( 2) 3, 8 2 2 8 t x x t y t t t t = −  = − = − + = − + + = − − + 令 则 ∴ max 2, 16 , y 3( ) t x = = = 当 即 时 万元 12 分 21. 解：（1） ) (x f x x x x x sin 2 sin sin 1 cos sin 2 2 2 + = + − − + = 2 分 设函数 ) (x f y = 的图象上任一点 ( ) 0 0, y x M 关于原点的对称点为 ( ) y x N , ， 则 y y x x − = − = 0 0 , ， 4 分 点M 在函数 ) (x f y = 的图象上 ), sin( 2 ) ( sin2 x x y − + − = −  即 x x x g sin 2 sin ) ( 2 + − = 7 分 （2）( ) ( ) ( ) 1 sin 1 2 sin 1 2 + − + + − = x x x h   设 x t sin = ，则有( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 , 1 1 2 1 2   − + − + + − = t t t t p   8 分 ① 当 1 − =  时，( ) 1 4 + = t t p 在  1 , 1 − 上是增函数， 1 − =  9 分 ② 当 1 −   时，( ) t p 的对称轴为   + − = 1 1 t . （i）当 1 −   时， 1 1 1 −  + −   ，解得 1 −   ； 10 分 （ii）当 1 −   时， 1 1 1  + −   ，解得 0 1   −  . 11 分 综上可知， 0   . 12 分 22. 解： （1）由( ) ( ) ( ) ( ) 1 log 0 1 log log 1 log 1 2 2 2 2 =  + = + + = − + x x x x x f x f 得到 ( )       +  +  1 1 0 1 0 x x x x 解得 2 1 5 −  x 2 分