专题14.3 乘法公式【九大题型】（原卷版）

专题143 乘法公式【九大题型】 【人版】 【题型1 乘法公式的基本运算】.............................................................................................................................1 【题型2 利用完全平方式确定系数】.....................................................................................................................2 【题型3 乘法公式的运算】.....................................................................................................................................2 【题型4 利用乘法公式求值】.................................................................................................................................3 【题型5 利用面积法验证乘法公式】.....................................................................................................................3 【题型6 乘法公式的应用】.....................................................................................................................................4 【题型7 平方差公式、完全平方公式的几何背景】..............................................................................................5 【题型8 整式乘法中的新定义问题】.....................................................................................................................8 【题型9 整式乘法中的规律探究】.........................................................................................................................9 【知识点1 乘法公式】 平方差公式：(+b)(-b)=2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这 个公式叫做平方差公式。 完全平方公式：(+b)2=2+2b+b2，(-b)2=2-2b+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方 和，加上(或减去)它们积的2 倍。这两个公式叫做完全平方公式。 【题型1 乘法公式的基本运算】 【例1】（2022 春•青川县期末）下列各式中计算正确的是（ ） ．（+2b）（﹣2b）＝2 2 ﹣b2 B．（﹣+2b）（﹣2b）＝2 4 ﹣b2 ．（﹣﹣2b）（﹣2b）＝﹣2+4b2 D．（﹣﹣2b）（+2b）＝2 4 ﹣b2 【变式1-1】（2022 春•六盘水期中）下列各式中能用平方差公式计算的是（ ） ．（﹣x+2y）（x 2 ﹣y） B．（3x 5 ﹣y）（﹣3x 5 ﹣y） ．（1 5 ﹣m）（5m 1 ﹣） D．（+b）（b+） 【变式1-2】（2022 春•巴中期末）下列运算正确的是（ ） ．（x+y）（y﹣x）＝x2﹣y2 B．（﹣x+y）2＝﹣x2+2xy+y2 ．（﹣x﹣y）2＝﹣x2 2 ﹣xy﹣y2 D．（x+y）（﹣y+x）＝x2﹣y2 【变式1-3】（2022 秋•天心区校级期中）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ） 1 ．（﹣b）（﹣b﹣） B．（﹣2﹣m2）（m2+2） ．(−1 2 p+q)(q+ 1 2 p) D．（2x 3 ﹣y）（2x+3y） 【题型2 利用完全平方式确定系数】 【例2】（2022 秋•望城区期末）若二项式x2+4 加上一个单项式后成为一个完全平方式，则 这样的单项式共有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．5 个 【变式2-1】（2022•南通模拟）如果多项式x2+2x+k 是完全平方式，则常数k 的值为（ ） ．1 B．﹣1 ．4 D．﹣4 【变式2-2】（2022 秋•青县期末）若9x2﹣（K 1 ﹣）x+1 是关于x 的完全平方式，则常数K 的值为（ ） ．0 B．﹣5 或7 ．7 D．9 【变式2-3】（2022 秋•崇川区校级月考）（x+）（x+b）+（x+b）（x+）+（x+）（x+）是 完全平方式，则，b，的关系可以写成（ ） ．＜b＜ B．（﹣b）2+（b﹣）2＝0 ．＜＜b D．＝b≠ 【题型3 乘法公式的运算】 【例3】（2022 春•龙胜县期中）计算：（1−1 5 2 ）×（1−1 6 2 ）×（1−1 7 2 ）×…×（1−1 99 2）×（1 −1 100 2）的结果是（ ） ．101 200 B．101 125 ．101 100 D．1 100 【变式3-1】（2022 秋•碾子山区期末）先化简，再求值：（2x﹣y）（y+2x）﹣（2y+x） （2y﹣x），其中x＝1，y＝2． 【变式3-2】（2022 春•乳山市期末）用乘法公式进行计算： （1）20192 2018×2020 ﹣ ； （2）112+13×66+392． 【变式3-3】（2022 春•顺德区校级月考）计算：（2+1）（22+1）（24+1）…（264+1） 【题型4 利用乘法公式求值】 【例4】（2022 秋•九龙坡区校级期中）若2﹣b2＝16，（+b）2＝8，则b 的值为（ ） ．−3 2 B．3 2 ．﹣6 D．6 【变式4-1】（2022 春•姜堰区校级月考）已知4m+＝90，2m 3 ﹣＝10，求（m+2）2﹣（3m 1 ﹣）2的值． 【变式4-2】（2022 春•双峰县期中）若x、y 满足x2+y2¿ 5 4 ，xy¿−1 2，求下列各式的值． （1）（x+y）2 （2）x4+y4． 【变式4-3】（2022 春•包河区期中）已知（2022﹣m）（2022﹣m）＝2021，那么（2022 ﹣m）2+（2022﹣m）2的值为（ ） ．4046 B．2023 ．4042 D．4043 【题型5 利用面积法验证乘法公式】 【例5】（2022 春•新泰市期末）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据 两个图形的面积关系得到的数学公式是（ ） ．（﹣b）（+b）＝2﹣b2 B．（+b）2＝2+2b+b2 ．（﹣b）2＝2 2 ﹣b+b2 D．（2﹣b）2＝42 4 ﹣b+b2 【变式5-1】（2022 春•乐平市期末）如图所示，两次用不同的方法计算这个图的面积，可 验证整式乘法公式是（ ） ．（+b）（﹣b）＝2﹣b2 B．（+b）（+2b）＝2+3b+2b2 ．（+b）2＝2+2b+b2 D．（﹣b）2＝2 2 ﹣b+b2 【变式5-2】（2022 春•锦州期末）如图1，在边长为的大正方形中，剪去一个边长为3 的 小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2 所示的长方形，根据两个图 形阴影部分面积相等的关系，可验证的等式为（ ） 1 ．（﹣3）2＝2 6+9 ﹣ B．（+3）2＝2+6+9 ．（+3）＝2+3 D．（+3）（﹣3）＝2 9 ﹣ 【变式5-3】（2022•郫都区模拟）如图，在边长为（x+）的正方形中，剪去一个边长为的 小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个平行四边形，由左右两个阴影部分面积，可 以得到一个恒等式是（ ） ．（x+）2﹣2＝x（x+2） B．x2+2x＝x（x+2） ．（x+）2﹣x2＝（+2x） D．x2﹣2＝（x+）（x﹣） 【题型6 乘法公式的应用】 【例6】（2022 春•榆次区期中）如图1，从边长为（+5）m 的大正方形纸片中剪去一个边 长为（+2）m 的小正方形，剩余部分（如图2）沿虚线剪开，按图3 方式拼接成一个长 方形（无缝隙不重合）则该长方形的面积为（ ） ．9m2 B．（6 9 ﹣）m2 ．（6+9）m2 D．（6+21）m2 【变式6-1】（2022 秋•西峰区期末）如图，正方形BD 和正方形和MFP 重叠，其重叠 部分是一个长方形，分别延长D、D，交P 和MP 于、Q 两点，构成的四边形GD 和 MEDQ 都是正方形，四边形PQD 是长方形．若正方形BD 的边长为x，E＝10，G＝ 20，长方形EFGD 的面积为200．求正方形MFP 的面积（结果必须是一个具体数值）． 1 【变式6-2】（2022 春•湖州期末）如图，把一块面积为100 的大长方形木板被分割成2 个 大小一样的大正方形①，1 个小正方形②和2 个大小一样的长方形③后，如图摆放，且 每个小长方形③的面积为16，则标号为②的正方形的面积是（ ） ．16 B．14 ．12 D．10 【变式6-3】（2022 秋•香坊区校级期中）如图，我校一块边长为2x 米的正方形空地是八年 级1 4 ﹣班的卫生区，学校把它分成大小不同的四块，采用抽签的方式安排卫生区，下 图是四个班级所抽到的卫生区情况，其中1 班的卫生区是一块边长为（x 2 ﹣y）米的正 方形，其中0＜2y＜x． （1）分别用x、y 的式子表示八年3 班和八年4 班的卫生区的面积； （2）求2 班的卫生区的面积比1 班的卫生区的面积多多少平方米？ 【题型7 平方差公式、完全平方公式的几何背景】 【例7】（2008 秋•上海校级期中）我们已经知道利用图形中面积的等量关系可以得到某些 数学公式，如图一，我们可以得到两数差的完全平方公式：（﹣b）2＝2 2 ﹣b+b2 1 （1）请你在图二中，标上相应的字母，使其能够得到两数和的完全平方公式（+b）2＝ 2+2b+b2， （2）图三是边长为的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形，剩下部分拼成图四的形 状，利用这两幅图形中面积的等量关系，能验证公式 ； （3）除了拼成图四的图形外还能拼成其他的图形能验证公式成立，请试画出一个这样 的图形，并标上相应的字母． 【变式7-1】（2022 春•西城区校级期中）阅读学习： 数学中有很多恒等式可以用图形的面积来得到． 如图1，可以求出阴影部分的面积是2﹣b2；如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成 一个矩形，它的长是+b，宽是﹣b，比较图1，图2 阴影部分的面积，可以得到恒等式 （+b）（﹣b）＝2﹣b2． （1）观察图3，请你写出（+b）2，（﹣b）2，b 之间的一个恒等式 ． （2）观察图4，请写出图4 所表示的代数恒等式： ． （3）现有若干块长方形和正方形硬纸片如图5 所示，请你用拼图的方法推出一个恒等 式（+b）2＝2+2b+b2，仿照图4 画出你的拼图并标出相关数据． 1 【变式7-2】（2022 春•武侯区校级期中）[知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个 图形的面积，可以得到一个恒等式． 例如：如图①是一个长为2，宽为2b 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形， 然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： （1）观察图②，请你写出（+b）2、（﹣b）2、b 之间的等量关系是 ； （2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若x+y＝6，xy=11 2 ，求（x﹣y）2的值； [知识迁移]类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式． （3）根据图③，写出一个代数恒等式： ； （4）已知+b＝3，b＝1，利用上面的规律求a 3+b 3 2 的值． 【变式7-3】（2022 春•贺兰县期中）在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和 比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看 到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系 解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化． 请你利用上述方法解决下列问题： 1 （1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式 （2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2 【拓展应用】 提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10 的 两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？ 几何建模： 用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43 为例： （1）画长为47，宽为43 的矩形，如图③，将这个47×43 的矩形从右边切下长40，宽3 的一条，拼接到原矩形的上面． （2）分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43 的矩形面积 或（40+7+3）×40 的矩形与右上角3×7 的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7 ＝5×4×100+3×7＝2021，用文字表述47×43 的速算方法是：十位数字4 加1 的和与4 相 乘，再乘以100，加上个位数字3 与7 的积，构成运算结果． 请你参照上述几何建模步骤，计算57×53．要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注 有关线段） 归纳提炼： 两个十位数字相同，并且个位数字之和是10 的两位数相乘的速算方法是（用文字表 述）：_______________ ________________________________________________________,证明上述速算方法的正 确性． 【题型8 整式乘法中的新定义问题】 【例8】（2022 春•嘉兴期中）定义：对于三个不是同类项的单项式，B，，若+B+可以写 成（+b）2的形式，则称这三项为“完全搭配项”，若单项式x2，4 和m 是完全搭配项， 则m 可能是 ．（写出所有情况） 【变式8-1】（2022 春•成华区月考）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那 么称这个正整数为“神秘数”，如：4＝22 0 ﹣ 2，12＝42 2 ﹣ 2，20＝62 4 ﹣ 2，因此4、12、 20 都是这种“神秘数”． （1）28 和2012 这两个数是“神秘数”吗？试说明理由； 1 （2）试说明神秘数能被4 整除； （3）两个连续奇数的平方差是神秘数吗？试说明理由． 【变式8-2】（2022 春•博山区期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平 方差，那么称这个正整数为：“奇异数”．如8，16，24 都是“奇异数”． （1）写出两个奇异数（8，16，24 除外）； （2）试问偶数6050 是不是奇异数？为什么？ 【变式8-3】（2022•永川区模拟）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称 这个正整数为“智慧数”，否则称这个正整数为“非智慧数”．例如：22 1 ﹣ 2＝3；32﹣ 22＝5；32 1 ﹣ 2＝8；42 3 ﹣ 2＝7；42 2 ﹣ 2＝12；42 1 ﹣ 2＝15；…，等等． 因此3，5，8，…，都是“智慧数”；而1，2，4，…，都是“非智慧数”． 对于“智慧数”，有如下结论： ①设k 为正整数（k≥2），则k2﹣（k 1 ﹣）2＝2k 1 ﹣．∴除1 以外，所有的奇数都是“智 慧数”； ②设k 为正整数（k≥3），则k2﹣（k 2 ﹣）2＝ ．∴都是“智慧数”． （1）补全结论②中的空缺部分；并求出所有大于5 而小于20 的“非智慧数”； （2）求出从1 开始的正整数中从小到大排列的第103 个“智慧数”． 【题型9 整式乘法中的规律探究】 【例9】（2022 春•江阴市期中）观察下列各式（x 1 ﹣）（x+1）＝x2 1 ﹣，（x 1 ﹣） （x2+x+1）＝x3 1 ﹣，（x 1 ﹣）（x3+x2+x+1）＝x4 1…… ﹣ 根据规律计算：（﹣2）2018+ （﹣2）2017+（﹣2）2016+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1 的值为（ ） ．22019 1 ﹣ B．﹣22019 1 ﹣ ．2 2019−1 3 D．2 2019+1 3 【变式9-1】（2022•丰顺县校级开学）解答下列问题． （1）观察下列各式并填空：32 1 ﹣ 2＝8×1；52 3 ﹣ 2＝8×2；①72 5 ﹣ 2＝8× ；②92﹣ 2＝8×4；③ ﹣92＝8×5；④132﹣ 2＝8× 6 ；… （2）通过观察、归纳，请你用含字母（为正整数）的等式表示上述各式所反映的规律； （3）你能运用平方差公式来说明（2）中你所写规律的正确性吗？ 【变式9-2】（2022 秋•肥城市期中）我们知道，1+2+3+…+¿ n(n+1) 2 ，关于这个公式的推 导方法，有很多，比如说小高斯的故事．下面我们利用以前学过的公式，给出另外一种 推导方法： 首先，我们知道：（+1）2＝2+2+1， 变形一下，就是（+1）2﹣2＝2+1， 依次给一些特殊的值：1，2，3，…，我们就能得到下面一列式子： 1 22 1 ﹣ 2＝2×1+1； 32 2 ﹣ 2＝2×2+1； 42 3 ﹣ 2＝2×3+1； … （+1）2﹣2＝2×+1； 观察这列式子，如果把它们所有的等式两端左右相加，抵消掉对应的项，我们可以得到 （+1）2 1 ﹣ 2＝2×（1+2+3+…+）+， 观察这个式子，等式右边小括号内的式子，不就是我们要求的吗？把它记为S 就是： （+1）2 1 ﹣ 2＝2×S+， 把S 表示出来，得到：S＝1+2+3+…+¿ n(n+1) 2 ． 用这个思路，可以求很多你以前不知道的和，请你仿照这个推导思路，推导一下S＝ 12+22+32+…+2的值． 【变式9-3】（2022 春•漳浦县期中）你能化简（﹣1）（99+98+97+…+2++1）吗？ 我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论． （1）先填空：（﹣1）（+1）＝ ；（﹣1）（2++1）＝ ；（﹣1）（3+2++1）＝ ；… 由此猜想：（﹣1）（99+98+97+…+2++1）＝ （2）利用这个结论，你能解决下面两个问题吗？ ①求2199+2198+2197+…+22+2+1 的值； ②若5+4+3+2++1＝0，则6等于多少？ 1