常用的方法是“隔板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这 技法01 捆绑、插空、特殊元素（位置）、隔板、定序倍缩、分组分配、直排环排、涂色解题技巧 技法02 项、系数、三项展开式、二项式乘积解题技巧 排列组合是新高考卷的常考内容，一般会和分类加法原理与分步乘法原理结合在小题中考查，需重点复习. 个元素排成一列，共有 个空，使用 个“挡板”进入空档处，则可将这 个元素划 C．221 D．300 技法02 项、系数、三项展开式、二项式乘积解题技巧 知识迁移 1．二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋ Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)； (2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1 项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C. 若二项展开式的通项为Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1 三项展开式、二项式乘积等结合在小题中考查， 需重点复习. (a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n. 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋… ＝2n−1. 例2-1．（2023·全国·高三专题练习）在 的展开式中，第四项为（ ） A．160 B． C． D． 在 的展开式中，第四项为

常用的方法是“隔板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这 技法01 捆绑、插空、特殊元素（位置）、隔板、定序倍缩、分组分配、直排环排、涂色解题技巧 技法02 项、系数、三项展开式、二项式乘积解题技巧 排列组合是新高考卷的常考内容，一般会和分类加法原理与分步乘法原理结合在小题中考查，需重点复习. 个元素排成一列，共有 个空，使用 个“挡板”进入空档处，则可将这 个元素划 种不同的着色方法. 故选：B. 技法02 项、系数、三项展开式、二项式乘积解题技巧 知识迁移 1．二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋ Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)； (2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1 项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C. 若二项展开式的通项为Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1 二项式定理是新高考卷的常考内容，一般会和项、系数、三项展开式、二项式乘积等结合在小题中考查， 需重点复习. 展开式的通项公式为 （ 且 ） 所以 的各项与 展开式的通项的乘积可表示为： 和 在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为 ， 在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为 所以 的系数为 1．（2023·全国·高三专题练习）二项式 的展开式的常数项为第_____项 A．17 B．18 C．19

所以 ，当 时， ， 在 上单调递增；当 时， ， 在 上单调递减，由此可排除选项 ， 故选：A. 4. 的展开式中 的系数是（） A. 1792 B. C. 448 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式计算出正确答案. 【详解】 的展开式中，含 的项为 . 所以 的系数是 . 故选：D 5. 已知事件A，B 相互独立， ，则 （） A. 0.24 导函数等进行求解. 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分． 9. 在 的展开式中，若第六项为二项式系数最大的项，则n 的值可能为（） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合二项式系数对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】当 数思想 判断数列不等式是否恒成立. 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13. 的展开式中所有项的系数和为_________． 【答案】 ##0.015625 【解析】 【分析】赋值法求解二项式展开式中所有项的系数和. 【详解】令 得： ，即为展开式中所有项的系数和. 故答案为： 14. 函数 在 处的 切线方程为_________． 【答案】 【解析】

2．设随机变量 的分布列如下表所示，则 （ ） 0 1 2 3 4 0.36 0.2 0.1 A．0.14 B．0.24 C．0.34 D． 0.44 3．若 的展开式中各项系数之和为 ，则展开式的常数项为 （ ） A． B． C． D． 4．用反证法证明某命题时，结论是:自然数 中恰有一个是偶数．正 确的反设为（ ） A．三个数至少有两个偶数 B．三个数至少有两个偶数或都是奇数 B． C． D． 12．函数 是定义在区间 上的可导函数，其导函数为 ， 且满足 ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 二、填空题(共20 分) 13． 的展开式中 的系数为_______． 14． 的值为______ 15．十二生肖是中国特有的文化符号，有着丰富的内涵，它们是成对出 现的，分别为鼠和牛、虎和兔、龙和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对． 现有 分，取到1 个黑球得1 分，从袋中任取4 个球，记得分为X． (1)求得分X 的可能取值； (2)求得分X 的分布列． 18．用数学归纳法证明： ． 19．已知 展开式中各项的二项式系数和为32. (1)求展开式中的有理项； (2)求展开式中系数最大的项. 20．用，， ，， ，这六个数字的部分或全部组成无重复数字的 自然数. (1)在组成的四位数中，求偶数个数； (2)在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上

） A.62 B.63 C.64 D.65 6.计算 （ ） A. B. C. D. 7.关于 的展开式中共有7 项，下列说法中正确的是（ ） A.展开式中二项式系数之和为32 B.展开式中各项系数之和为1 C.展开式中二项式系数最大的项为第3 项 D.展开式中系数最大的项为第4 项 8.已知随机变量 服从 ，若 ，则 （ ） A.0.1 B.0.2 C.0.3 D B. C. D. 12.设函数 若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分）. 13. 的展开式的常数项是_____________.（用数字作答） 14.随机变量 ，若 ，则 _____________. 15.2020 年初，我国派出医疗小组援助相关国家，现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4 故选A. 7.【答案】B 解析：二项式 的展开式中共有7 项，则 ， 选项A：所有项的二项式系数和为 ，故A 不正确； 选项B：令 ，则 ，所以所有项的系数的和为1，故B 正确； 选项C：二项式系数最大的项为第4 项，故C 不正确； 选项D：二项式的展开式的通项为 ， 故系数为 ，系数的最大项只从 中选择，经计算可知 时系数最大，所以展开式 中系数最大的项为第3 项，故D 不正确。

【解析】 【分析】根据已知条件需要对二项展开式进行转化，然后利用二项展开式通项再求 即可. 【详解】令 ，则 ，原式转化为： 则二项展开式通项为： 则 故选：C. 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分． 9. 在二项式 的展开式中，系数为有理数的项有( ) A. 第一项 B. 第三项 C. 第四项 D. 第五项 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出二项式 的 展开式通项 ，判断系数为有理数时r 的取值即可判断有理项． 【详解】二项式 的展开式的通项为 ， 则当r=0，2，4 时，系数为有理数， 故系数为有理数的项有第一项、第三项、第五项． 故选：ABD． 10. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ） A. 恒成立 B. 函数 的取值范围为 . 20. （1）若 展开式中 的系数是30，求m 的值； （2）求 展开式中的有理项． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】（1）求出 的展开式的通项，再令 和 ，结合题意可得出答案； （2）求出 的展开式的通项，再令 的指数为整数，从而可得出答案. 【详解】解：（1） 的展开式的通项为 ， ， 令 ，则 ， 令 ，则 ， 故 展开式中 的系数是 ， 即 ， 所以

【解析】 【分析】根据已知条件需要对二项展开式进行转化，然后利用二项展开式通项再求 即可. 【详解】令 ，则 ，原式转化为： 则二项展开式通项为： 则 故选：C. 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分． 9. 在二项式 的展开式中，系数为有理数的项有( ) A. 第一项 B. 第三项 C. 第四项 D. 第五项 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出二项式 的 展开式通项 ，判断系数为有理数时r 的取值即可判断有理项． 【详解】二项式 的展开式的通项为 ， 则当r=0，2，4 时，系数为有理数， 故系数为有理数的项有第一项、第三项、第五项． 故选：ABD． 10. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ） A. 恒成立 B. 函数 的取值范围为 . 20. （1）若 展开式中 的系数是30，求m 的值； （2）求 展开式中的有理项． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】（1）求出 的展开式的通项，再令 和 ，结合题意可得出答案； （2）求出 的展开式的通项，再令 的指数为整数，从而可得出答案. 【详解】解：（1） 的展开式的通项为 ， ， 令 ，则 ， 令 ，则 ， 故 展开式中 的系数是 ， 即 ， 所以

去， 要么都不去，其他人根据个人情况可选择去也可选择不去，则这6 名同学不同的去法种数有 （） A. 16 B. 32 C. 48 D. 64 【4 题答案】 【答案】B 5. 在 的展开式中，含 的项的系数为（） A. 25 B. 65 C. D. 【5 题答案】 【答案】D 6. 函数 的图象大致为（） A. B. C. D. 【6 题答案】 【答案】B 分．在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分． 9. 的二项展开式中，下列说法正确的是（） A. 二项式系数最大项是第8 项 B. 展开式中的常数项是第8 项 C. 展开式中不含 的一次幂的项 D. 展开式中有理项有3 项 【9 题答案】 【答案】ACD 10. 曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则下列正确的是（） A. 如图，现在用4 种不同的颜色对某市的4 个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不 能用同一种颜色，则不同的着色方法有___________种． 【14 题答案】 【答案】48 15. 的展开式中 的系数为________. 【15 题答案】 【答案】10 16. 已知函数 ，方程 有3 个不同的根，则实数 的取 值范围是___________． 【16 题答案】 【答案】 四．解答题：本题共6

， 当 ， 时，原式 【变式训练2】已知 的展开式中不含 和 项． (1)求 的值． (2)先化简，再求值： ． 【答】(1) ；(2) ； ． 【详解】(1) ． 展开式中不含 和 项， ．解得 ． (2) ． 当 时，原式 ． 【变式训练3】(1)试说明代数式 的值与、的值取值有无关系； (2)已知多项式 与 的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为 ，试求 的值； (3)已知二次三项式 ＝s2＋2st＋s−2st−4t2−2t＋4t2＋2t＝s2＋s． 故代数式 的值与s 的取值有关系，与t 的取值无关系； (2) ( ∵ )( )=2x3-x2+2x-2bx2+bx-2b， 又∵多项式 与 的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为 ， 2+ ∴ b=0，-2b=-4，∴=-1，b=2， = ； (3)∵二次三项式 有一个因式是 ， ∴ = = ，∴2m-5=3，5m=k， ∴m=4，k=20，另一个因式为： 【变式训练4】(1)先化简，再求值：已知 ，求 的值． (2)若 中不含， 项，求m，的值． 【答】(1) ，22；(2) ， ． 【详解】(1) ， ， ， ∴ 且 ，解得： ， ， ． (2) ， ∵展开式中不含x、x2项， ∴ ， ， 解得： ， ． 类型二、与几何的综合问题 例1 如图，将边长为 的正方形剪出两个边长分别为，的正方形(阴影部分)．观察 图形，解答下列问题： (1)根据题

求出答案. 【详解】由题意 ，解得 ． 故选：C． 2. 若 的展开式中的常数项为－20，则a=（ ） A. 2 B. －2 C. 1 D. －1 【答案】D 【解析】 【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求的展开式的常数项. 【详解】已知 的展开式中的通项公式为： ，令 ，求得： ，可 得展开式的常数项为： ，解得： . 故选：D. 3. 从装有6 个红球，3 个白球的袋子中，不放回地依次抽取3 在罚球命中两次时，罚球次数恰为 次， 则第 次命中，前 次命中次， 故所求的概率为 . 故答案为： 15. 的计算结果精确到0.001 的近似值是________ 【答案】0.941 【解析】 【分析】利用二项展开式可求近似值. 【详解】 ， 故答案为：0.941. 16. 已知 ，在满足 的实数对 中，使得 成立的正整数 的最大值为__________ 【答案】6 【解析】 【分析】利用导数求得 故答案为： 三、解答题（共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知 的 展开式中前三项的二项式系数之和为46， （1）求n； （2）求展开式中系数最大的项． 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】（1）根据要求列出方程，求出 的值；（2）求出二项式展开式的通项，列出不等式组，求出 的取值范围，从而求出 ，得到系数最大项. 【小问1 详解】 由题意得：