山东省聊城市2021-2022学年高二下学期期中数学试题（解析版）(1)

聊城市2021~2022 学年度第二学期期中教学质量检测 高二数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150 分．考试用时120 分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号，考生号，县区和科类填写 到答题卡和试卷规定的位置上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．第Ⅱ卷必须用0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位 置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正 带．不按以上要求作答的答案无效． 第Ⅰ卷 选择题（共60 分） 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1. 用数字1，2，3，4 组成没有重复数字的 三位数，其中奇数的个数为（ ） A. 6 B. 12 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】先排个位，再排百位和十位，即得结果. 【详解】先排个位，有2 种选法，再排百位和十位，有 种排法， 因此共有 种排法， 故选：B 2. 设曲线 在点 处的切线方程为 ，则 （ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的几何意义进行求解即可. 【详解】切线 的斜率为 ， 由 ， 故选：C 3. 设随机变量 ，则 （ ） A. 0.35 B. 0.25 C. 0.2 D. 0.15 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性计算出 的值，然后根据 求解出结果. 【详解】解：∵随机变量 ， ， ∴ ， ， ∴ . 故选：A. 4. 冬奥会越野滑雪项目比赛共分 组，现安排 名志愿者负责这 组的服务工作，每人至少负责组，每组 的服务工作由人完成，则不同的安排方式共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【 分析】分析可知 名志愿者中有人负责两组，另外 人各负责一组，利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】由题意可知， 名志愿者中有人负责两组，另外 人各负责一组， 所以不同的安排方式种数为 . 故选：D. 5. 某班级在一次数学知识竞赛答题活动中，一名选手从2 道数学文化题和3 道作图题中不放回的依次抽取 2 道题，在第一次抽到作图题的前提下第二次抽到作图题的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式即可求解. 【详解】记“第一次抽到作图题”为事件 ，记“第二次抽到作图题”为事件 ， ， 所以 . 故选：B. 6. 若函数 在区间 上单调递减，则实数m 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】函数 在区间 上单调递减，则导函数 在区间 上恒成立,分离参数，即 可求解. 【详解】解： ，则 在 上恒成立，即 恒成立，又 在 上单调递减，故 ， 所以 ，当 时，导数不恒为0， 故选：D. 7. 函数f(x)＝ 的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据 的奇偶性，以及函数的单调性，即可容易选择. 【详解】因为f(－x)＝ =－f(x)，且其定义域为 ，所以f(x)是奇函数， 其图象关于原点对称，排除选项B； 当x≥0 时，f(x)＝ ，则f′(x)＝ ， 当0<x<1 时，f′(x)>0；当x>1 时，f′(x)<0. 所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 只有 选项满足题意. 故选： . 【点睛】本题考查函数图象的辨识，涉及函数奇偶性的判断，利用导数判断函数的单调性，属综合基础题. 8. 若 ，则 （ ） A. 8 B. C. 10 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件需要对二项展开式进行转化，然后利用二项展开式通项再求 即可. 【详解】令 ，则 ，原式转化为： 则二项展开式通项为： 则 故选：C. 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分． 9. 在二项式 的展开式中，系数为有理数的项有( ) A. 第一项 B. 第三项 C. 第四项 D. 第五项 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出二项式 的 展开式通项 ，判断系数为有理数时r 的取值即可判断有理项． 【详解】二项式 的展开式的通项为 ， 则当r=0，2，4 时，系数为有理数， 故系数为有理数的项有第一项、第三项、第五项． 故选：ABD． 10. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ） A. 恒成立 B. 函数 在 上单调递增 C. 函数 的极小值为 D. 函数 只有一个零点 【答案】BCD 【解析】 【分析】对函数求导，确定函数的单调性、极值、最值以及零点个数. 【详解】对于A，当 时， ， ，A 错误； 令 可得 ，解得 ， 令 可得 ，解得 ， 的增区间为： ， 的减区间为： ， 函数 在 上单调递增，B 正确； 对于C，由上可知， 的极小值为： ，C 正确； 对于D，令 ，解得 ， 由 的单调性以及当 时， ， 可知，D 正确. 故选：BCD. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 个不同的球放入 个不同的盒子中，每个盒子里至多放一个球，不同的放法有 种 B. 个不同的球放入 个不同的盒子中，每个盒子放球数量不限，不同的放法有 种 C. 个相同的球放入 个不同的盒子中，每个盒子里至多放一个球，不同的放法有 种 D. 个相同的 球放入 个不同的盒子中，每个盒子不空，不同的放法有 种 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据排列与分步计数原理可判断AB 选项；利用组合计数原理可判断C 选项；利用隔板法可判断 D 选项. 【详解】对于A 选项， 个不同的球放入 个不同的盒子中，每个盒子里至多放一个球，即5 个不同盒子 中有三个盒子各放一个球，不同的放法有 种，A 对； 对于B 选项， 个不同的球放入 个不同的盒子中，每个盒子放球数量不限，即每个球有5 种不同放法， 不同的放法有 种，B 错； 对于C 选项， 个相同的球放入 个不同的盒子中，每个盒子里至多放一个球，即只需确定5 个盒子中哪 三个盒子有球，有不同的放法有 种，C 对； 对于D 选项， 个相同的球放入 个不同的盒子中，每个盒子不空，有两种放法，一是有个盒子放三个其 余各放一个，二是有个盒子放一个其余各放两个，共有 种，D 对. 故选：ACD. 12. 设函数 ，若 为函数 的一个极值点，则下列结论一定正 确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对 求导，再根据极值点的定义，整理等式即可得到结果. 【详解】 为函数 的一个极值点, 即： 故选：B. 第Ⅱ卷 非选择题（共90 分） 三、填空题：本题共4 个小题，每小题5 分，共计20 分 13. 函数 的最小值___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题首先可根据导函数的相关性质求出函数 的单调性，然后根据函数 的单 调性即可得出函数 的最小值． 【详解】因为 ，所以 ， 当 ， ，解得 ，函数 是增函数； 当 ， ，解得 ，函数 是减函数； 故当 时，函数 取最小值， ． 【点睛】本题考查如何求函数的 最值，主要考查根据导函数求函数单调性以及最值，考查计算能力，是简 单题． 14. 为参加学校美术作品评选，高二一班从学生上交的2 幅油画和4 幅国画中选3 幅上交参赛，按要求至少 上交1 幅油画，则不同的选法共有________种．（用数字填写答案） 【答案】 【解析】 【分析】根据组合的定义进行求解即可. 【详解】要求至少上交1 幅油画，不同的选法共有 ， 故答案为： 15. 用红、黄、蓝、绿四种颜色涂在如图所示的六个区域，且相邻两个区域不能同色，则涂色方法总数是_ ________．（用数字填写答案） 【答案】120 【解析】 【分析】所有涂色方法可分为三类，第一类，区域 涂同一种颜色，第二类，区域 涂不同颜色， 区域 涂不同颜色，第三类，区域 涂不同颜色，区域 涂相同颜色，利用综合利用分类加法计 数原理和分步乘法计数原理解决. 【详解】所有的涂色方法可以分为三类： 第一类：区域 涂同一种颜色， 先涂区域 ，有4 种方法，再涂区域 ，有3 种方法，然后涂区域 ，有2 种方法，再涂区域 ，有 1 种方法，最后涂区域 ，有2 种方法，由分步乘法计数原理可得区域 涂同一种颜色的涂色方法有 种，即48 种方法， 第二类：区域 涂不同颜色，区域 涂不同颜色， 先涂区域 ，有4 种方法，再涂区域 ，有3 种方法，然后涂区域 ，有2 种方法，再涂区域 ，有1 种 方法，再涂区域 ，有1 种方法，最后涂区域 ，有1 种方法，由分步乘法计数原理可得区域 涂不同 颜色的涂色方法有 种，即24 种方法， 第三类：区域 涂不同颜色，区域 涂相同颜色， 先涂区域 ，有4 种方法，再涂区域 ，有3 种方法，然后涂区域 ，有2 种方法，再涂区域 ，有1 种 方法，再涂区域 ，有1 种方法，最后涂区域 ，有2 种方法，由分步乘法计数原理可得区域 涂不同 颜色的涂色方法有 种，即48 种方法， 由分类加法计数原理可得涂色方法总数是48+24+48 种方法，即120 种方法. 故答案为：120. 16. 若对任意的 ，均有 成立，则称函数 为 和 在 上的“中 间函数”．已知函数 ，且 是 和 在区间 上的“中间函数”，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“中间函数”的定义列出不等式，将问题转化成不等式恒成立问题，利用参变分离以及构造 函数的方法来解决函数最值，从而求出 的取值范围. 【详解】依题意得：已知条件等价为： 在区间 上恒成立 对于 在区间 上恒成立，变形为： 令 ，易知 单调递增， 对于 在区间 上恒成立，变形为： 令 则 为增函数， 在 单调递增， 综上所述： 即 故答案为： . 【点睛】本题考查了用参变分离的方法解决恒成立的问题，考查了用导数求函数单调性、极值、最值以及 恒成立的等价形式，对学生分析问题和解决问题的能力有一定的要求，属于难题. 四、解答题：本题共6 个小题，满分70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 2 名男生和3 名女生站成一排 （1）2 名男生相邻的站法有多少种？ （2）男生和女生相间的站法有多少种？ （3）男生甲不在排头，女生乙不在排尾的站法有多少种？ 【答案】（1）48 （2）12 （3）78 【解析】 【分析】（1）利用捆绑法即可得出答案； （2）先将2 名男生排好，形成3 个空，再利用插空法即可得出答案； （3）分男生甲在排尾和男生甲既不在排头又不在排尾两种情况讨论，从而可得出答案. 【小问1 详解】 解：先让2 名男生站好，有 种站法， 再将2 名男生当作一个整体，与3 名女生进行排列，有 种排法， 再由分步计数原理可得2 名男生相邻的站法有 种； 【小问2 详解】 解：由于男女相间，可先让2 名男生站好，有 种站法， 再将3 名女生插入2 名男生形成得3 个空当中，每个空一人，有 种方法， 再由分步计数原理可得男生和女生相间的站法有 种； 【小问3 详解】 解：当男生甲在排尾时，有 种排法， 当男生甲既不在排头又不在排尾时， 男生甲有 种排法，女生乙有 种排法，其余3 人有 种排法， 此时共有 种排法， 所以男生甲不在排头，女生乙不在排尾的站法有 种. 18. 甲、乙两名同学在电脑上进行答题测试，每套测试题可从题库中随机抽取．在一轮答题中，如果甲单 独答题，能够通过测试的概率是 ，如果乙单独答题，能够通过测试的概率是 ． （1）甲单独答题三轮，求甲恰有两轮通过测试的概率； （2）在甲，乙两人中任选一人进行测试，求通过测试的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式求解即可； （2）利用条件概率以及相互独立事件的概率乘法公式求解即可． 【小问1 详解】 解：设“甲恰有两轮通过测试”为事件 ，则 ； 【小问2 详解】 解：设“选中甲”为事件 ，“选中乙”为事件 ，“通过测试”为事件 ， 根据题意得， ， ， ， 则 ， 所以在甲，乙两人中任选一人进行测试，求通过测试的概率 ． 19. 已知函数 ． （1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程； （2）若 恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）曲线 在点 处的切线方程为 ； （2）实数m 的取值范围为 . 【解析】 【分析】(1)利用导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式求切线方程；(2)化简不等式可得 ，由已知可得 ，由此可求实数m 的取值范围． 【小问1 详解】 由已知 ，函数 的定义域为 ， 又 ， 所以 ，所以曲线 在点 处的切线的斜率为 ， 又 ， 所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 , 【小问2 详解】 不等式 可化为 ， ， 因为 恒成立， 所以 ， 设 ， 则 ，令 可得 ， 当 时， ，函数 单调递增， 当 时， ，函数 单调递减， 所以当 时，函数 取最大值，最大值为 ， 所以 ， 故实数m 的取值范围为 . 20. （1）若 展开式中 的系数是30，求m 的值； （2）求 展开式中的有理项． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】（1）求出 的展开式的通项，再令 和 ，结合题意可得出答案； （2）求出 的展开式的通项，再令 的指数为整数，从而可得出答案. 【详解】解：（1） 的展开式的通项为 ， ， 令 ，则 ， 令 ，则 ， 故 展开式中 的系数是 ， 即 ， 所以 ； （2） 的展开式的通项为 ， ， 当 时， 为整数， 所以 展开式中的有理项为 . 21. 某超市有5 种不同品牌的签字笔，它们的销售价格（元/支）和市场份额（指该品牌签字笔的销售量在 超市同类产品中所占比例）如下： 签字笔品牌 A B C D E 销售价格 1.5 2.4 3.2 2.2 1.2 市场份额 15 % 10% 30% 20 % 25% （1）从该超市销售的这5 种品牌的签字笔中随机抽取1 支，估计其销售价格低于2.4 元的概率； （2）将该超市销售的这5 种品牌的签字笔依市场份额进行分层抽样，随机抽取20 支签字笔进行质量检测， 其中品牌A 和B 共抽取了多少支？若从这些抽取的品牌A 和B 的签字笔中随机再抽取3 支进行含油墨量检 测．记X 为抽到品牌B 的签字笔数量，求X 的分布列和数学期望． 【答案】（1）销售价格低于2.4 元的概率约为 ； （2）品牌A 和B 共抽取了5 支，分布列见解析， . 【解析】 【分析】（1）求出销售价格低于 元的频率，用频率来估计概率； （2）利用分层抽样的定义求解即可，随机变量 的可能取值为 ，然后求出各自对应的概率，即可 列出分布列，求出期望； 【小问1 详解】 由已知从该超市销售的签字笔中随机抽取支，抽到销售价格低于 元的签字笔的频率为 ，即 ， 故可估计事件“从该超市销售的签字笔中随机抽取支，其销售价格低于 元”的概率为 ； 【小问2 详解】 由题设，品牌 的签字笔抽取了 支， 品牌 的签字笔抽取了 支， 所以品牌A 和B 共抽取5 支， 由已知随机变量 的可能取值为 ． ； ； ． 所以 的分布列为： 的数学期望为 ． 22. 已知函数 ， （为自然对数的底数， ）． （1）求函数 的单调区间； （2）若 ， ，证明：当 时， ． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数 的定义域，求得 ，对实数 的取值进行分类讨论，分析导数 的符号变化，由此可得出函数 的增区间和减区间； （2）求得 ，利用导数求得函数 ，再计算得出 ， ，即可证得结论成立. 【小问1 详解】 解：函数 的定义域为 ， . ①当 时，对任意的 ， ，此时函数 的减区间为 ，无增区间； ②当 时，由 可得 ，由 可得 ， 此时函数 的单调递增区间为 ，递减区间为 . 综上所述，当 时，函数 的减区间为 ，无增区间； 当 时，函数 的单调递增区间为 ，递减区间为 . 【小问2 详解】 证明：当 时， ， 则 ， 令 ，其中 ，则 ， 所以函数 在 上单调递增， 因为 ， ， 所以存在 ，使得 ，即 ，可得 ， 当 时， ，此时函数 单调递增， 当 时， ，此时函数 单调递减， 所以，当 时， ，即 ， 因为 ， ， 综上所述，若 ，当 时， ． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明 （或 ），进而构造辅助函数 ； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.