广西百色市2021-2022学年高二下学期期末教学质量调研测试数学（理）试题

2022 年百色市普通高中春季学期期末教学质量调研测试试题 高二理科数学 （总分150 分，考试时间120 分钟） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22 题，共4 页，考试结束后， 将答题卡上交。 2.答题前，考生将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡指定位置上。 3.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚。 4.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的）. 1.在复平面内，复数 对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2.某学校推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》4 门校本劳动选修课程，要求每个学生 从中任选2 门进行学习，则甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的选法为（ ） A.16 B.24 C.12 D.36 3.曲线 在点 处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4.飞沫传播是新冠肺炎传播的主要途径，已知患者通过飞沫传播被感染的概率为 ，假设甲、乙两人是否被 飞沫感染相互独立，则甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为（ ） A. B. C. D. 5.《聊斋志异》中有：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术” .在数学中，我们称形如以下形式的等式具有 “穿墙术”： ， ， ，按照规律，若 具有“穿墙术”， 则 的值为（ ） A.62 B.63 C.64 D.65 6.计算 （ ） A. B. C. D. 7.关于 的展开式中共有7 项，下列说法中正确的是（ ） A.展开式中二项式系数之和为32 B.展开式中各项系数之和为1 C.展开式中二项式系数最大的项为第3 项 D.展开式中系数最大的项为第4 项 8.已知随机变量 服从 ，若 ，则 （ ） A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 9.给出下列说法： ①回归直线 恒过样本点的中心 ，且至少过一个样本点； ②两个变量相关性越强，则相关系数 就越接近1； ③将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变； ④在回归直线方程 中，当解释变量 增加一个单位时，预报变量 平均减少0.5 个单位.其中说 法正确的是（ ） A.①②④ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ 10.某教育行政部门为本地两所农村小学招聘了6 名教师，其中体育教师2 名，数学教师4 名.按每所学校1 名 体育教师，2 名数学教师进行分配，则不同的分配方案有（ ） A.24 种 B.14 种 C.12 种 D.8 种 11.如图所示，面积为 的平面凸四边形的第条边的边长记为 ，此四边形内任一点 到第 条边的距离记为 ，若 ，则 .类比以上性质， 体积为 的三棱锥的第个面的面积记为 ，此三棱锥内任一点 到第个面的距离记为 ，若 ，则 等于（ ） A. B. C. D. 12.设函数 若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分）. 13. 的展开式的常数项是_____________.（用数字作答） 14.随机变量 ，若 ，则 _____________. 15.2020 年初，我国派出医疗小组援助相关国家，现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4 个需要援助的国 家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件 “4 个医疗小组去的国家各不相同”，事件 “小 组甲独自去一个国家”，则 _____________. 16.已知定义在 上的偶函数 ，其导函数为 ，若 ， ，则不等式 的解集是_____________. 三、解答题（共70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（10 分）已知复数 ， . （1）求 ； （2）求 . 18.（12 分）已知函数 . （1）求 的极大值； （2）若 在 上的最大值为28，求 的取值范围. 19.（12 分）对某市工薪阶层关于“楼市限购政策”的态度进行调查，随机抽取了50 人，他们月收入（单位： 百元）的频数分布及对“楼市限购政策”赞成的人数如下表. 月收入 频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数 5 10 12 7 2 1 （1）若以月收入45 百元为分界点，由以上统计数据完成下面2×2 列联表，并判断是否有97.5%的把握认为 赞成“楼市限购政策”与月收入有关； 月收入低于45 百元的人数 月收入不低于45 百元的人数 合计 赞成 不赞成 合计 附： ，其中 . 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （2）若从月收入在 和 内的被调查人群中按照分层随机抽样的方法选取6 人进行追踪调查， 并从中选取3 人作问卷调查，求3 人中至少有1 人月收入在 内的概率. 20.（12 分）已知数列 的前 项和为 ，其中 且 . （1）试求： ， 的值，并猜想数列 的通项公式 ； （2）用数学归纳法加以证明. 21.（12 分）某大学为了鼓励大学生自主创业，举办了“校园创业知识竞赛”，该竞赛决赛局有A，B 两类知 识竞答挑战，规则为进入决赛的选手要先从A，B 两类知识中选择一类进行挑战，挑战成功才有对剩下的一 类知识挑战的机会，挑战失败则竞赛结束，第二类挑战结束后，无论结果如何，竞赛都结束.A，B 两类知识 挑战成功分别可获得2 万元和5 万元创业奖金，第一类挑战失败，可得到2000 元激励奖金.已知甲同学成功晋 级决赛，面对A，B 两类知识的挑战成功率分别为0.6，0.4，且挑战是否成功与挑战次序无关. （1）若记X 为甲同学优先挑战A 类知识所获奖金的累计总额（单位：元），写出X 的分布列； （2）为了使甲同学可获得的奖金累计总额期望更大，请帮甲同学制定挑战方案，并给出理由. 22.（12 分）已知函数 . （1）讨论 的单调性； （2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： . 2022 年百色市普通高中春季学期期末教学质量调研测试 高二理科数学参考答案及评分标准 1.【答案】A 解析： ，它所对应的复平面内的点为 ，故选A. 2.【答案】B 解析：本题考查排列组合的计算.甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的选法共有 种.故选B. 3.【答案】C 解析 ∵ ，∴ ， 则 在点 处的切线方程为 ， 即 .故选C. 4. 【答案】D 解析 记甲是通过飞沫传播被感染为事件A ，乙是通过飞沫传播被感染为事件B ， ，甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为： .故选：D. 5.【答案】B 解析 ∵ ， ， ， ， 则 ，故选B. 6. 【答案】A 解析： ，由定积分的几何意义可得， 表示以 为圆心，2 为半径的圆在第一象限的部分所对应的面积，∴ ，又 ，∴ .故选A. 7.【答案】B 解析：二项式 的展开式中共有7 项，则 ， 选项A：所有项的二项式系数和为 ，故A 不正确； 选项B：令 ，则 ，所以所有项的系数的和为1，故B 正确； 选项C：二项式系数最大的项为第4 项，故C 不正确； 选项D：二项式的展开式的通项为 ， 故系数为 ，系数的最大项只从 中选择，经计算可知 时系数最大，所以展开式 中系数最大的项为第3 项，故D 不正确。 8.【答案】C 解析 .故选：C 9.【答案】B 解析：对于①中，回归直线 恒过样本点的中心 ，但不一定过一个样本点，所以 不正确； 对于②中，根据相关系数的意义，可得两个变量相关性越强，则相关系数 就越接近1，所以是正确的； 对于③中，根据方差的计算公式，可得将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差是不变的，所以 是正确的； 对于④中，根据回归系数的含义，可得在回归直线方程 中，当解释变量 增加一个单位时，预 报变量 平均减少0.5 个单位，所以是正确的.故选：B. 10.【答案】C 解析：先把4 名数学教师平分为2 组，有 种方法，再把2 名体育教师分别放入这两组， 有 种方法，最后把这两组教师分配到两所农村小学，共有 种方法.故选C. 11.【答案】D 解析：面积为 的平面凸四边形的第条边的边长记为 ， 此四边形内任一点 到第 条边的距离记为 ，所以由等面积法得， ， 因为 ， ， ， ， ，所以 ， 即 ，故在平面凸四边形中，求解此结论的过程中运用了等面积法求解， 类比上述性质，在三棱锥中，则应使用等体积法求解，三棱锥的体积为 ， 因为体积为 的三棱锥的第个面的面积记为 ， 此三棱锥内任一点 到第个面的距离记为 ， 由等体积法有， ， ∴ ， 因为 ， 所以 ， ， ， ，所以 ， 即 ，故选D. 12.【答案】D 解析：当 时，函数 单调递增； 当 时， ，则 时， ， 所以当 时， ， 时， ， 故当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 在 处取极小值，极小值为 ， 作出函数 的图象如图： 因为函数 有两个零点，所以函数 与 有两个交点， 所以当 时函数 与 有两个交点，所以实数 的取值范围为 故答案为：D 13. 【答案】-20 解析： 的展开式的通项为 ， ，令 ，所以展开式的常数项为 . 14.【答案】 解： ， 所以 ，解得 ， 所以 .故答案为 . 15.【答案】 . 解析 由 ，而 ， ，所以 . 16. 【 答 案 】 解 析 构 造 函 数 ， ， 当 时， ，故 ， 在 上单调递增， 又 为偶函数， 为偶函数，所以 为偶函数，在 单调递减. ，则 ， ； ， 当 时，即 ， ，所以 ； 当 时，即 ， ，所以 综上所述 . 17.解：（1）由题可得： ， 所以 （2）因为 ∴ . 18.解：（1）因为 ，所以 的定义域为 ， 由 解 或 由 解得 ， ∴ 变化时 ， 的变化情况如下表： -3 1 + 0 - 0 + 单调递增 28 单调递减 -4 单调递增 所以当 时， 有极大值 . （2）由（1）知 在 上为增函数，在 上为减函数，在 上为增函数， 且 ， ， 因为 在 上的最大值为28， 所以 的取值范围 . 19.解：（1）根据条件得2×2 列联表： 月收入低于45 百元的人数 月收入不低于45 百元的人数 合计 赞成 27 10 37 不赞成 3 10 13 合计 30 20 50 所以 .所以有97.5%的把握认为赞成“楼市限购政策”与月收入 有关. （2）按照分层随机抽样的方法可知从月收入在 和 内的被调查人群中应抽取的人数分别为 ， . 从6 人中任取3 人的情况有 （种）， 其中3 人中至少有1 人月收入在 内的情况有 （种）. 记“3 人中至少有1 人月收入在 内”为事件 ，则 . 20.解：（1）因为 且 . 所以 ，解得 ， 因为 ，所以 解得 . 由 ，猜想： . （2）证明：①当 时， ，等式成立； ②假设当 时猜想成立，即 那么，当 时，由题设 ， 得 ， ， 所以 ， ， . 因此， ， 所以 . 这就证明了当 时命题成立. 由①②可知命题对任何 都成立. 21.解：（1）由题意可知， 可取的值为2000，20000，70000， ， ， . 故 的分布列为： 2000 20000 70000 0.4 0.36 0.24 （2）记 为甲同学优先挑战类知识所获奖金的累计总额， 甲同学优先挑战A 类知识所获奖金的累计总额的期望为 ， 优先挑战B 类知识所获奖金的累计总额的期望为 . 由题意可知，Y 可取的值为2000，50000，70000， ， ， . （元）， （元）， 因为 ， 所以为了使甲同学可获得的奖金累计总额期望更大，应该优先选择挑战B 类知识. 22.解：（1）函数的定义域为 ， 又 ， 当 时， ，当 时， ， 故 的递增区间为 ，递减区间为 . （2）因为 ，故 ，即 ， 即 故 ， 设 ， ，由（1）可知不妨设 ， . 设 ，则 ， 则 即 ， 即： ，故 ， 要证： ，即证 ，即证 ， 即证： ，即证： ， 令 ， ， 则 ， 先证明一个不等式： . 设 ，则 ， 当 时， ；当 时， ， 故 在 上为增函数，在 上为减函数，故 ， 故 成立. 由上述不等式可得当 时， ，故 恒成立， 故 在 上为减函数，故 ， 故 成立，即 成立. 综上所述， .