安徽省合肥市第六中学2021-2022学年高二下学期期中数学试题（解析版）

合肥六中2021-2022 学年第二学期高二年级期中考试 数学试卷 分值：150 分；时长：120 分钟 一、单选题（共12 小题，每题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的） 1. 如图所示是离散型随机变量X 的概率分布直观图，则 （ ） A. 0.1 B. 0.12 C. 0.15 D. 0.18 【答案】C 【解析】 【分析】根据所有随机变量的概率之和为1，列出方程，可求出答案. 【详解】由题意 ，解得 ． 故选：C． 2. 若 的展开式中的常数项为－20，则a=（ ） A. 2 B. －2 C. 1 D. －1 【答案】D 【解析】 【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求的展开式的常数项. 【详解】已知 的展开式中的通项公式为： ，令 ，求得： ，可 得展开式的常数项为： ，解得： . 故选：D. 3. 从装有6 个红球，3 个白球的袋子中，不放回地依次抽取3 个小球，在第一次抽取到白球的条件下，第二抽到白球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设事件 表示“第一次取到白球”，事件 表示“第二次取到白球”，分别求出 ， 根据条件概率公式即可求出结果. 【详解】设事件 表示“第一次取到白球”，事件 表示“第二次取到白球”， 则 ， 所以在第一次抽取到白球的条件下，第二抽到白球的概率 , 故选：B 4. 若函数 在区间 上只有一个零点，则常数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为函数 与函数 的图像只有一个交点，利用导数研究 的 极值或最值即可得到答案. 【 详解】令 ，则 ， 因为函数 在区间 上只有一个零点 则函数 与函数 的图像只有一个交点 又 ， 在 上单调递增， 则 故选：C. 5. 函数 的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数 有两个零点排除选项A，C；再借助导数探讨函数 的单调性与极值情况即可判断 作答. 【详解】由 得， 或 ，选项A，C 不满足； 由 求导得 ，当 或 时， ，当 时， ， 于是得 在 和 上都单调递增，在 上单调递减， 在 处取极 大值，在 处取极小值，D 不满足，B 满足. 故选：B 6. 若函数 在区间 上有最小值，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对函数 进行求导，可得函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， 在区间 上单调递减，可得 ，令 ，可得 或 ，可得 的图像，由 函数在区间 上有最小值，数形结合可得关于 的不等式，计算可得答案. 【详解】解：由 ，可得 ， 当 ， ，当 或 时， ， 所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，可得 ，令 ，可得 或 ，则 的图像如图所示， 因为函数在区间 上有最小值，故 ， 解得： ， 故选：C. 【点睛】本题主要考查利用导数研究含参函数的最值问题，体现了数形结合的数学思想，考查学生的计算 能力，属于中档题. 7. 用四种颜色给正四棱锥 的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂 不同颜色，则不同的涂法有（ ） A. 72 种 B. 36 种 C. 12 种 D. 60 种 【答案】A 【解析】 【分析】列出表格，使用分类加法，分步乘法公式进行计算. 【详解】如下表 顶点 V A B C D 种数 4 3 2 C 与A 同色1 2 C 与A 不同色1 1 总计 故选：A． 8. 现要安排六名志愿者去四个不同的场馆参加活动，每名志愿者只能去一个场馆.且每个场馆最少安排一名 志愿者，则不同的分配方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】先对志愿者进行分组，然后安排到四个场馆，由此计算出正确答案. 【详解】根据题意，若 名志愿者以 形式分为四个服务小组， 共有 种分配方法； 若 名志愿者以 形式分为 四个服务小组， 共有 种分配方法. 故共有 种分配方法. 故选：C 9. 已知函数 是其导函数，恒有 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数 ， ，根据已知条件判断出 的单调性，由此确定正确 选项. 【详解】因为 ，所以 ， 由 得 ，所以 . 构造函数 ， ， 则 ，所以 在 上为增函数， 因为 ，所以 ，所以 ，即 ，故A 错误； 因为 ，所以 ， 所以 ，即 ，故B 错误； 因为 ，所以 ，所以 ， 即 ，故C 错误； 因为 ，所以 ， 所以 ，即 ，故D 正确. 故选：D 10. 设函数f（x）的导函数为 ，将方程 的实数根称为函数f（x）的“新驻点”.记函数 ， ， 的“新驻点”分别为a，b，c，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“新驻点”的定义，利用导数法结合零点存在定理求解. 【详解】解：∵ ， ∴ ， 解得 . ∵ ，∴ ， 令 ，显然r（x）在（0，+∞）上单调递增， ∵ ， ， ∴ . ∵ ，∴sin . 令 ， 当 时， ， ∴s（x）在（0，π）上单调递增，又 ， . ∴ ，综上得 ， 故选：A. 11. 为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测.现有两种检测方式：（1）逐份检测；（2）混合检 测：将其中k 份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k 份核酸全为阴性，因而这k 份 核酸只要检一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k 份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这 k 份核酸再逐份检测，此时，这k 份核酸的检测次数总共为 次.假设在接受检测的核酸样本中，每份样 本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为 ，若 ，运 用概率统计的知识判断下面哪个p 值能使得混合检测方式优于逐份检测方式.（参考数据： ）（ ） A. 0.1 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 【答案】A 【解析】 【分析】计算混合检测方式，样本需要检测的总次数 的期望 ，又逐份检测方式，样本需要检测的 总次数 ，知 ，利用 求解可得p 的范围，即可得出选项. 【详解】设混合检测方式，样本需要检测的总次数Y 可能取值为1，11. ， ， 故Y 的分布列为： Y 1 11 P 设逐份检测方式，样本需要检测的总次数X，则 要使得混合检测方式优于逐份检测方式，需 即 ，即 ，即 又 ， ， ， . 故选：A. 12. 已知 是方程 的实根，则关于实数 的判断正确的是（ ） ① ② ③ ④ A. ①④ B. ②③ C. ①③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】由 进行化简，得到 ，结合函数的单调性判断出正确答案. 【详解】 单调递增， ， 又 在 上单增， . 而 ， 故 ， 故选：B 二、填空题（每题5 分，共20 分） 13. 学校要求学生从物理，历史，化学，生物，政治，地理这 科中选 科参加考试，规定:先从物理和历 史中任选科，然后从其他 科中选 科，不同的选法种数为__________ 【答案】12 【解析】 【分析】结合分步乘法计数原理以及组合数的计算公式，计算出正确答案. 【详解】先从物理和历史中任选科，然后从其他 科中选 科， 不同的选法种数为： 故答案为： 14. 已知某篮球运动员每次罚球命中的概率为 ，该运动员进行罚球练习（每次罚球互不影响），则在 罚球命中两次时，罚球次数恰为 次的概率是__________ 【答案】 ## 【解析】 【分析】结合独立重复试验概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】 ， 在罚球命中两次时，罚球次数恰为 次， 则第 次命中，前 次命中次， 故所求的概率为 . 故答案为： 15. 的计算结果精确到0.001 的近似值是________ 【答案】0.941 【解析】 【分析】利用二项展开式可求近似值. 【详解】 ， 故答案为：0.941. 16. 已知 ，在满足 的实数对 中，使得 成立的正整数 的最大值为__________ 【答案】6 【解析】 【分析】利用导数求得 的单调性，求得 的取值范围，结合不等式的知识求得 的最大值. 【详解】 ，则 ， 当 时， ， 递增； 当 时， ， 递减. ，又 ， ， 所以 ， 所以 ， 即 ， ，要使得 成立， 只需 ，即 . 所以正整数 的最大值为 . 故答案为： 三、解答题（共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知 的 展开式中前三项的二项式系数之和为46， （1）求n； （2）求展开式中系数最大的项． 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】（1）根据要求列出方程，求出 的值；（2）求出二项式展开式的通项，列出不等式组，求出 的取值范围，从而求出 ，得到系数最大项. 【小问1 详解】 由题意得： ，解得： 或 ，因为 ，所以 （舍 去），从而 【小问2 详解】 二项式的展开式通项为： ，则系数为 ，要求其最大值，则只要满足 ，即{ 9! r ! (9−r )! ⋅2 r≥ 9! (r −1)! (10−r )! ⋅2 r −1 9! r ! (9−r )! ⋅2 r≥ 9! (r+1)! (8−r )! ⋅2 r+1 ) ，解得： ，因为 ，所 以 ，所以系数最大项为 18. 冬奥会志愿者有6 名男同学，4 名女同学.在这10 名志愿者中，三名同学来自北京大学，其余7 名同学 来自北京邮电大学，北京交通大学等其他互不相同的7 所大学.现从这10 名志愿者中随机选取3 名同学， 到机场参加活动.(每位同学被选中的可能性相等). （1）求选出的3 名同学是来自互不相同的大学的概率； （2）设X 为选出的3 名同学中女同学的人数，求随机变量X 的期望和方差. 【答案】（1） ； （2） ， . 【解析】 【分析】（1）利用古典概型概率公式求出即可. （2）由题可知 ，即得分布列，再利用期望，方差公式计算即得. 【小问1 详解】 设A 为选出的3 名同学是来自互不相同的大学，则 ； 【小问2 详解】 由题可知随机变量 的所有可能值为 的分布列为： X 0 1 2 3 P ∴ . 19. 已知函数 ． （1）若函数 在 时取得极值，求实数 的值； （2）若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】（1）求导 ，由 求解； （2）将 对任意 恒成立，转化为 在 恒成立，再利用导数法求得其 最小值解不等式即可. 【详解】（1） ，依题意有 ，即 ， 解得： ， 检验：当 时， ， 所以 ， 此时函数 在 单调递减，在 单调递增，满足在 时取得极值， 综上 . （2）依题意 对任意 恒成立等价转化为 在 恒成立， 因为 ， 令 得： ， ①当 即 时，函数 在 恒成立，则 在 单调递增， 于是 ，解得： ，此时： ； ②当 即 时，函数 在 单调递减，在 单调递增， 于是 ，不合题意，此时： 综上所述：实数 的取值范围是 . 20. 为了丰富老师的课余生活，提升身体素质，学校举行了乒乓球单打比赛，王老师和黄老师进入了决赛， 决赛采用五局三胜制（有一方胜三局即赢得比赛，比赛结束），每局黄老师获胜的概率为 ，王老师获 胜的概率为 ，且每局比赛结果互不影响.求 （1）决赛只比赛三局就结束的概率 （2）假设比赛规定：每局胜者得 分，负者得 分，设黄老师的得分为 ，求随机变量 的分布列和 数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）依题意黄老师连胜三局或王老师连胜三局，根据相互独立事件和互斥事件的概率公式计算 可得； （2）依题意 的所有可能取值为 ， ， ，， ， ，求出所对应的概率，列出分布列，求出数学 期望； 【小问1 详解】 解：设黄老师连胜三局的概率为 ，王老师连胜三局的概率为 则比赛三局就结束的概率 【小问2 详解】 解：依题意 的所有可能取值为： ， ， ，， ， ， 所以 ， ， ， ， ， ． 所以 的分布列如下： 所以 21. 已知函数 （ 为常数） （1）讨论 的单调性 （2）若函数 存在两个极值点 ，且 ，求 的范围. 【答案】（1）答案见解析. （2） 【解析】 【分析】（1）求出 ，再根据判别式来分类讨论求解； （2）求导得到韦达定理，再化简 ，设 ，求出 的 最值即得解. 【小问1 详解】 ∵ ， ，当 时， ， ， 在定义域 上单调递增； 当 时，在定义域 上 ， 时， 在定义域 上单调递增； 当 时，令 得 ， ， ， 时， ； 时 ， 则 在 ， 上单调递增，在 上单调递减. 综上可知：当 时， 在定义域 上单调递增； 当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.（其中 ， ） 【小问2 详解】 由（1）知 有两个极值点，则 ， 的二根为 ， 则 ， ， ， 设 ，又 ，∴ . 则 ， ， ∴ 在 递增， . 即 的范围是 【方法点睛】关于双变量的问题，一般转化成单变量的函数问题来解决.本题就是把双变量的 化成关于 的函数 再来解答. 22. 已知函数 （1）若不等式 对任意的 恒成立，求 的取值范围； （2）设 ，若数列 满足 ，其中 ，当 时，证明： 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过多次求导，确认单调性后再分类讨论可求解； （2）根据（1）得到不等式 放缩可证明不等式. 【小问1 详解】 为奇函数，且 ， ， ， 单调递增且 ， 所以 单调递增， ， ，即 ① ， ， 单调递增，符合题意 ② ， ，当 ，所以一定在 存在 ，使得 ， 在 单调递减， 单调递增，不符合题意. 综上， . 【小问2 详解】 ， ， 由（1）问知， 时， 当 ， 所以 ，对于任意的 都成立，等号成立当且仅当 ， 即 ， 所以 ， 同理， ， 又由 ， 所以 ， 等号取不到， 所以 ，证明完毕. 【点睛】解决本题第一问的关键是多次求导得到单调性和分类讨论思想的运用；解决第二问的关键是根据 第一问及变形整理得到一个不等式，再通过此不等式放缩与求和是其关键.