湖北省鄂北六校2021-2022学年高二下学期期中联考试题 数学

2021—2022 学年下学期期中考试 高二数学试卷 主命题学校：枣阳一中命题老师：吕国琦陈小婧邹翠玲范金辉 考试时间：2022 年4 月12 日下午15：00-17：00 试卷满分：150 分 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1. 曲线 在 处的切线的倾斜角为（） A. B. C. D. 【1 题答案】 【答案】B 2. 3 名同学分别从5 个风景点中选择一处游览，不同的 选法种数是 A. 243 B. 125 C. 60 D. 10 【2 题答案】 【答案】B 3. 余弦曲线 在点 处的切线方程为（） A. B. C. D. 【3 题答案】 【答案】A 4. 北京大学一个班级的6 名同学准备去参加冬奥会志愿服务活动，其中甲和乙两位同学要么都去， 要么都不去，其他人根据个人情况可选择去也可选择不去，则这6 名同学不同的去法种数有 （） A. 16 B. 32 C. 48 D. 64 【4 题答案】 【答案】B 5. 在 的展开式中，含 的项的系数为（） A. 25 B. 65 C. D. 【5 题答案】 【答案】D 6. 函数 的图象大致为（） A. B. C. D. 【6 题答案】 【答案】B 7. 已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（） A. B. C. D. 【7 题答案】 【答案】C 8. 函数 有两个零点，则 的取值范围为（） A. B. C. D. 【8 题答案】 【答案】C 二．选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分． 9. 的二项展开式中，下列说法正确的是（） A. 二项式系数最大项是第8 项 B. 展开式中的常数项是第8 项 C. 展开式中不含 的一次幂的项 D. 展开式中有理项有3 项 【9 题答案】 【答案】ACD 10. 曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则下列正确的是（） A. B. C. 在 上单调递增D. 在 上 单调递减 【10 题答案】 【答案】AD 11. 已知函数 的定义域是 ，其导函数是 ，且满足 ， 则下列说法正确的是（） A. B. C. D. 【11 题答案】 【答案】AC 12. 函数 ，则下列说法正确的是（） A. 在 处有最小值 B. 1 是 的一个极值点 C. 当 时，方程 有两异根 D. 当 时，方程 有两异根 【12 题答案】 【答案】BC 三．填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13. 已知函数 满足 ，则 ______________． 【13 题答案】 【答案】 14. 如图，现在用4 种不同的颜色对某市的4 个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不 能用同一种颜色，则不同的着色方法有___________种． 【14 题答案】 【答案】48 15. 的展开式中 的系数为________. 【15 题答案】 【答案】10 16. 已知函数 ，方程 有3 个不同的根，则实数 的取 值范围是___________． 【16 题答案】 【答案】 四．解答题：本题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知 ． （1）求 的值； （2）求 ． 【17 题答案】 【答案】（1） （2） 19. 已知函数 ． （1）求函数 在点 处的切线方程； （2） 在点 处的切线与 只有一个公共点，求 的值． 【19 题答案】 【答案】（1） ； （2） 的值为 ，或 . 21. 从5 名男生和4 名女生中选出4 人去参加数学竞赛． （1）如果选出的4 人中男生、女生各2 人，那么有多少种选法？ （2）如果男生中的小王和女生中的小红至少有1 人入选，那么有多少种选法？ （3）如果被选出的4 人是甲、乙、丙、丁，将这4 人派往2 个考点，每个考点至少1 人，那么 有多少种派送方式？ 【21 题答案】 【答案】（1）60 （2）91 （3）14 23. 如图，则半径为 的 圆（ 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料 ，其中点 在 圆弧上，点 ， 在两半径上，现将此矩形铝皮 卷成一个以 为母线的圆柱形罐子的 侧面(不计剪裁和拼接损耗)，设矩形的边长 ，圆柱的体积为 ． （1）求出体积 关于的 函数关系式，并指出定义域； （2）当 为何值时，才能使做出的 圆柱形罐子的体积 最大？最大体积是多少？ 【23 题答案】 【答案】（1） （2） 25. 已知函数 ． （1）求函数 的极值； （2）若 ，对任意的 恒成立，求 的取值范围． 【25 题答案】 【答案】（1）极小值 ，无极大值． （2） 27. 已知 是实数，函数 ． （1）讨论 的单调性； （2）若 有两个相异的零点 且 ，求证： ． 【27 题答案】 【答案】（1）当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单 调递增，在 上单调递减. （2）证明过程 由（1）可知，要想 有两个相异的零点 ，则 ，不妨设 ，因为 ，所以 ，所以 ，要 证 ，即证 ，等价于 ，而 ，所以等价于证 明 ，即 ， 令 ，则 ，于是等价于证明 成立， 设 ， ，所以 在 上单调递增， 故 ，即 成立， 所以 ，结论得证.