河南省南阳市第一中学校2021-2022学年下学期高二第四次月考理数试题

南阳一中2022 年春期高二年级第四次月考 理数试题 一、单选题(共60 分) 1．下列导数运算正确的是（ ） A． B． C． D． 2．设随机变量 的分布列如下表所示，则 （ ） 0 1 2 3 4 0.36 0.2 0.1 A．0.14 B．0.24 C．0.34 D． 0.44 3．若 的展开式中各项系数之和为 ，则展开式的常数项为 （ ） A． B． C． D． 4．用反证法证明某命题时，结论是:自然数 中恰有一个是偶数．正 确的反设为（ ） A．三个数至少有两个偶数 B．三个数至少有两个偶数或都是奇数 C．三个数都是偶数 D．三个数都是奇数 5．现有5 个小朋友站成一排照相，如果甲、乙两人必须相邻，而丙、丁 两人不能相邻，那么不同的站法共有（ ） A．12 种 B．16 种 C．24 种 D． 36 种 6．若复数 为纯虚数，其中 ，复数 满足 ，则 的最小值为（ ） A．0 B． C．4 D． 7．函数 的图像大致是（ ） A． B． C． D． 8．已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 9．某社区服务站将5 名志愿者分到3 个不同的社区参加活动，要求每个 社区至少1 人，不同的分配方案有（ ） A．150 种 B．90 种 C．300 种 D． 360 种 10．我国南宋数学家杨辉1261 年所著的《详解九章算法》一书里出现了 如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就在杨辉三角 中，若去除所有为1 的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10， 10，5，……则此数列的前46 项和为（ ） A．2037 B．2060 C．2048 D． 4080 11．定义在 上的函数 满足 ，且 时， .若关于 的方程 有三个不相等的实数根，则实 数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12．函数 是定义在区间 上的可导函数，其导函数为 ， 且满足 ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 二、填空题(共20 分) 13． 的展开式中 的系数为_______． 14． 的值为______ 15．十二生肖是中国特有的文化符号，有着丰富的内涵，它们是成对出 现的，分别为鼠和牛、虎和兔、龙和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对． 现有十二生肖的吉祥物各一个，按照上面的配对分成六组．甲、乙、丙 三位同学依次选一组作为礼物，甲同学喜欢龙和马，乙同学喜欢牛、羊 和猴，丙同学喜欢兔、马、狗．如果甲、乙、丙三位同学选取的礼物中 均包含自己喜欢的生肖，则不同的选法种数为______． 16．已知函数 ，若存在唯一的整数 ，使 ， 则实数 的取值范围是________． 三、解答题(共70 分) 17．袋中有3 个红球，4 个黑球，从袋中随机取球，设取到1 个红球得2 分，取到1 个黑球得1 分，从袋中任取4 个球，记得分为X． (1)求得分X 的可能取值； (2)求得分X 的分布列． 18．用数学归纳法证明： ． 19．已知 展开式中各项的二项式系数和为32. (1)求展开式中的有理项； (2)求展开式中系数最大的项. 20．用，， ，， ，这六个数字的部分或全部组成无重复数字的 自然数. (1)在组成的四位数中，求偶数个数； (2)在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上 的数字都小，则称这个数为“凹数”，如 ， 等都是“凹数”，试 求“凹数”的个数； (3)在组成的四位数中，若将这些数按从小到大的顺序排成一列，试 求第 个数字. 21．已知函数 . (1)若 在 处取得极值，求 在区间 上的值域； (2)若函数 有1 个零点，求a 的取值范围. 22．已知函数 ， (1)讨论函数 的单调性； (2)当 时，求证： .